初等數論 教學大綱文檔

附錄1：教學大綱的格式為便于各院系編輯印制課程教學大綱，建議理論課程、實驗課程、專業(yè)實習課程分別采用以下格式：1（小括號內為說明文字：初等數論ElementaryNumberTheory課程編號（【學分數】2【學時數】36

課程類別】專業(yè)主干課適用專業(yè)】數學與應用數學【編寫日期】2006.9讓學生了解經常出現在生活中的自然數和整數的一些性質，了解初等數論與算數的關的整數解是很有意義的事情。二、教學內容和學時分配第一章1.2.3.4.5.第二章1.2.3.4.第三章1.2.3.4.5.6.第四章1.2.3.4.第五章

整數的可除性（6學時）整除的概念帶余數除法最大公因數與輾轉相除法整除的進一步性質及最小公倍數質數算數基本定理函數[x],{x}及其在數論中的一個應用不定方程（4學時）二元一次不定方程多元一次不定方程勾股數費馬問題的介紹同余（6學時）同余的概念及其基本性質剩余類及完全剩余系簡化剩余系與歐拉函數歐拉定理費馬定理及其對循環(huán)小數的應用公開密鑰—RSA體制三角和的概念同余式（6學時）基本概念及一次同余式孫子定理高次同余式的解數及解法質數模的同余式二次同余式與平方剩余（8學時）必備項：即該項內容必須填寫。一般二次同余式單質數的平方剩余與平方非剩余勒讓德符號前節(jié)定理的證明雅可比符號和數模的情形把單質數表成二數平方和把正整數表成平方和第六章原根與指標（6學時指數及其基本性質原根存在的條件指標及n次剩余2a及合數模的指標組特征函數（一）總論數解是很有意義的事情。學時（課堂講授學時+課程實驗學時）36主要內容：整數的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式與平方剩余、原根與指標教學要求：有關定義、定理、性質等概念的內容按“知道、了解和理解”三個層次要求；有關計算、解法、公式和法則等方法的內容按“會、掌握、熟練掌握”三個層次要求。重點、難點（可選項2）（如實驗、習題課、討論課、其它實踐活動：（二）第一章整數的可除性 學時（課堂講授學+課程實驗學主要內容：最大公因數與輾轉相除法整除的進一步性質及最小公倍數函數[x],{x}及其在數論中的一個應用教學要求：1、理解整數整除、公因子、公倍數的概念及相關性質，理解剩余定理，熟練掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍數的方法。2、理解素數與合數的概念、素數的性質，理解整數的素數分解定理，會用篩法求素數。3、了解函數[x]與{x}的概念、性質，n!的素數分解、組合數為整數的性質。4、了解抽屜原理的簡單與一般形式、會用抽屜原理構造一些具有特殊性質整數。重點、難點（可選項）整除的概念[x],{x}及其在數論中的一個應用（如實驗、習題課、討論課、其它實踐活動：1學時習題課可選項：即該項內容可根據具體情況確定是否填寫。（三）第二章不定方程 學時（課堂講授學課程實驗學主要內容：二元一次不定方程多元一次不定方程勾股數費馬問題的介紹教學要求：1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整數解的條件，熟練掌握利用剩余定理（輾轉相除法）求二元一次不定方程的方法。2重點難點：二元一次不定方程、多元一次不定方程、勾股數、費馬問題的介紹其他教學環(huán)節(jié)：0.5學時習題課（四）第三章同余 學時6主要內容：同余的概念及其基本性質剩余類及完全剩余系簡化剩余系與歐拉函數公開密鑰—RSA體制三角和的概念教學要求：1、理解整數同余的概念及同余的基本性質，熟練掌握整數具有素因子的條件，會利用同余簡單驗證整數乘積運算的結果。2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟練掌握判斷剩余系的方法，理解歐拉函數的定義及性質。3、了解歐拉定理、Fermat小定理，掌握循環(huán)小數的判定方法。馬定理及其對循環(huán)小數的應用、三角和的概念其他教學環(huán)節(jié)：0.5學時習題課（五）第四章同余式學時：6主要內容：基本概念及一次同余式孫子定理高次同余式的解數及解法質數模的同余式教學要求：1、理解同余式的定義，掌握一次同余式有解的條件，熟練掌握求解一次同余式。2、理解中國剩余定理，掌握中國剩余定理的簡單應用，掌握求解簡單同余式方程組的方法。3、了解高次同余式解的個數的判斷方法，知道解高次同余式的方法，了解模整數同余式與模素數同余式的關系，掌握求簡單的（3、4次）同余式解的方法。4、了解素數模同余式的次數化簡、Wilson定理，了解同余式的次數與解的個數的關系，知道n次同余式有n個解的條件。重點難點：一次同余式、孫子定理、高次同余式、質數模的同余式其他教學環(huán)節(jié)：0.5學時習題課（六）第五章二次同余式與平方剩余學時8主要內容：一般二次同余式單質數的平方剩余與平方非剩余勒讓德符號前節(jié)定理的證明雅可比符號和數模的情形把單質數表成二數平方和把正整數表成平方和教學要求：1、理解二次同余式的一般形式、模整數同余與模素數冪同余的關系、平方剩余與平方非剩余的概念。2、理解單素數的平方剩余與平方非剩余的歐拉判定法，了解單素數的平方剩余與平方非剩余的個數。3、了解Legendre符號的定義、性質及Jacobi符號的定義、性質，熟練掌握利用Legendre和Jacobi符號判斷同余式的解的存在性。4、掌握非素數模的二次同余式有解的條件及解的個數的有關結論。重點難點：二次同余式、單質數的平方剩余與平方非剩余、勒讓德符號、雅可比符號、和數模的情形、把單質數表成二數平方和、把正整數表成平方和其他教學環(huán)節(jié)：1學時習題課（七）第六章原根與指標主要內容：指數及其基本性質原根存在的條件指標及n次剩余模及合數模的指標組特征函數

學時6教學要求：1、了解原根的定義、階數的定義及其基本性質。2、會討論原根存在的條件，掌握求原根的簡單方法。3、會利用原根得到整數簡化剩余系的方法。4、了解指標的定義、性質，掌握指標的應用（討論同余式有解的條件及解的個數）。n次剩余、模及合數模的指標組、特征函數其他教學環(huán)節(jié)：