2020高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 單元質(zhì)量測(cè)評(píng)（二）2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元質(zhì)量測(cè)評(píng)(二）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題)兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分）1．已知f(x)＝eq\f(lnx，x2),則f′(e）＝（)A.eq\f（1,e3) B。eq\f(1,e2)C．－eq\f（1，e2） D．－eq\f(1,e3)答案D解析∵f′（x)＝eq\f（\f（x2,x)－2xlnx,x4)＝eq\f（1－2lnx，x3)，∴f′（e)＝eq\f(1－2lne,e3）＝－eq\f（1,e3).2．函數(shù)f(x）＝eq\f(x2,x－1)(）A．在(0，2）上單調(diào)遞減B．在(－∞,0)和（2，＋∞）上單調(diào)遞增C．在（0，2）上單調(diào)遞增D．在（－∞，0）和(2，＋∞）上單調(diào)遞減答案B解析f′(x）＝eq\f（2xx－1－x2,x－12)＝eq\f(x2－2x，x－12)＝eq\f(xx－2，x－12）。令f′（x）＝0，得x1＝0,x2＝2.∴x∈（－∞，0)和x∈（2，＋∞）時(shí)，f′（x)>0,x∈(0，1)和x∈(1，2)時(shí)，f′（x）<0，故選B.3.eq\f（1，3)eq\i\in（－\f(π,4)，eq\f（π，4），)cos2xdx＝()A.eq\f（1,3)B.eq\f（2,3）C。eq\f(\r（2），3)D．－eq\f（\r(2）,3)答案A解析eq\f(1,3）eq\i\in（－\f(π，4),eq\f(π,4)，)cos2xdx＝eq\f(1，3）×eq\f(1,2)sin2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（π，4）,－\f（π,4）))＝eq\f(1,3）.4．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′（x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖,則f（x）的圖象可能是()答案D解析由題中f′（x)圖象知，當(dāng)x∈（－∞，0)時(shí)，f（x）為減函數(shù),排除選項(xiàng)A，B,又f′(0）＝c＝0，即f（x)有一個(gè)極值點(diǎn)為0。故選D.5．函數(shù)f（x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(）A．2B．1C．0D．由a確定答案C解析f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1）2≥0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值．6．若函數(shù)f（x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在區(qū)間［－2，－1]上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為（)A．－5B．7C．10D．－19答案A解析∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)（x－3)，當(dāng)x∈［－2,－1］時(shí),f′（x)≤0，所以f(x)在[－2，－1]內(nèi)單調(diào)遞減，所以最大值為f（－2）＝2＋a＝2，∴a＝0，最小值f（－1)＝a－5＝－5。7．已知y＝f（x）是定義在R上的函數(shù),且f（1)＝1,f′（x)>1，則f(x)>x的解集是（）A．（0，1） B．（－1,0)∪(0,1）C．（1，＋∞） D．(－∞,－1）∪(1，＋∞）答案C解析不等式f(x)>x可化為f(x）－x>0,設(shè)g（x）＝f(x）－x，則g′（x）＝f′(x)－1，由題意g′(x）＝f′(x）－1〉0，∴函數(shù)g(x）在R上單調(diào)遞增，又g(1)＝f(1）－1＝0，∴原不等式?g(x)〉0?g（x)>g(1)．∴x〉1，故選C。8．已知a>0,函數(shù)f（x）＝x3－ax在[1,＋∞)上單調(diào)遞增,則a的最大值是（)A．0B．1C．2D．3答案D解析f′（x)＝3x2－a，要使函數(shù)f（x)在［1,＋∞）上單調(diào)遞增，則f′(x)＝3x2－a≥0（x∈[1，＋∞)）恒成立，即a≤3x2(x∈[1，＋∞))恒成立．又當(dāng)x∈［1，＋∞)時(shí)，3x2≥3，且a>0,所以0<a≤3,故a的最大值是3.9．曲線(xiàn)y＝ln(2x－1）上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x－y＋3＝0的最短距離為()A。eq\r(5）B．2eq\r(5）C．3eq\r（5）D．2答案A解析設(shè)曲線(xiàn)上的點(diǎn)A(x0，ln(2x0－1))到直線(xiàn)2x－y＋3＝0的距離最短,則曲線(xiàn)上過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x－y＋3＝0平行．因?yàn)閥′＝eq\f（1,2x－1)·（2x－1）′＝eq\f(2，2x－1），所以,解得x0＝1.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0）．所以點(diǎn)A到直線(xiàn)2x－y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2×1－0＋3|，\r(22＋－12）)＝eq\f（5，\r(5)）＝eq\r（5).10．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋ax在(0，1)內(nèi)有極大值，在(1,2）內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1,\f(4，3)）) B.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(0,\f（4，3）））C．（－∞，0）∪（1,＋∞) D.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（4，3))）答案A解析f′(x)＝x2－2ax＋a，由題意知,f′（x)＝0在（0，1)，(1，2）內(nèi)都有根，且f′（0）>0，f′（1）〈0，f′(2）>0，由題意知,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a>0，,1－a〈0，,4－3a>0))?1〈a<eq\f(4，3),故選A.11．設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f（x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1）＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x)－f（x)<0，則使得f（x)>0成立的x的取值范圍是(）A．（－∞，－1）∪（0,1） B．(－1,0）∪（1，＋∞)C．（－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1）∪（1，＋∞)答案A解析當(dāng)x>0時(shí)，令F(x)＝eq\f（fx,x)，則F′(x)＝eq\f(xf′x－fx，x2）〈0，∴當(dāng)x〉0時(shí)，F(xiàn)(x)＝eq\f（fx，x）為減函數(shù)．∵f(x)為奇函數(shù)，且由f（－1)＝0,得f(1）＝0，故F（1）＝0.在區(qū)間（0，1)上,F（x)>0；在（1，＋∞）上，F(xiàn)(x)<0，即當(dāng)0〈x〈1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f（x)<0。又f(x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈（－∞,－1)時(shí),f(x)〉0；當(dāng)x∈(－1,0)時(shí),f（x)<0.綜上可知，f(x）>0的解集為（－∞,－1）∪（0,1)．故選A.12．已知函數(shù)f(x）＝eq\f(a，x）－1＋lnx，若存在x0>0,使得f（x0）≤0有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)〉2B．a(chǎn)〈3C．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)≥3答案C解析函數(shù)f（x)的定義域是(0,＋∞），不等式eq\f（a,x)－1＋lnx≤0有解,即a≤x－xlnx在（0，＋∞）上有解，令h（x）＝x－xlnx，可得h′（x)＝1－(lnx＋1）＝－lnx，令h′(x）＝0,可得x＝1，當(dāng)0〈x<1時(shí),h′(x）>0，當(dāng)x〉1時(shí)，h′(x）<0，可得當(dāng)x＝1時(shí),函數(shù)h（x）＝x－xlnx取得最大值1，要使不等式a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，只要a小于等于h（x）的最大值即可，即a≤1。所以選C.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．若曲線(xiàn)y＝e－x上點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)2x＋y＋1＝0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．答案（－ln2,2)解析設(shè)P（x0，y0),∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為k＝－＝－2,∴－x0＝ln2,∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－ln2,2）．14．直線(xiàn)y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有三個(gè)相異的公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案（－2，2)解析令f′（x）＝3x2－3＝0,得x＝±1，可求得f(x）的極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，如圖所示，當(dāng)－2<a<2時(shí),恰有三個(gè)不同公共點(diǎn)．15．已知f（a）＝eq\i\in(0，1，)（2ax2－a2x)dx，則函數(shù)f（a)的最大值為_(kāi)_______．答案eq\f（2,9)解析f（a）＝eq\i\in(0,1，)（2ax2－a2x)dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3)ax3－\f(1,2）a2x2）)eq\o\al（1，0）＝－eq\f（1,2）a2＋eq\f(2,3）a，這個(gè)關(guān)于a的二次函數(shù)當(dāng)a＝－eq\f(\f（2,3）,2×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）)））＝eq\f(2，3)時(shí)取得最大值，即所求的最大值是feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2，3)）)＝－eq\f(1，2)×eq\f(4,9)＋eq\f(2，3）×eq\f(2,3）＝eq\f（2,9）。16．周長(zhǎng)為20cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,則圓柱體積的最大值為_(kāi)_______cm3。答案eq\f（4000π,27)解析設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,則寬為10－x（0<x〈10)，由題意可知所求圓柱的體積V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3，∴V′（x)＝20πx－3πx2。由V′(x）＝0，得x＝0（舍去)，x＝eq\f(20，3），且當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(20,3）））時(shí)，V′(x）〉0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3),10))時(shí),V′(x）<0，∴當(dāng)x＝eq\f(20，3)時(shí),V(x）取得最大值為eq\f(4000,27)πcm3.三、解答題（本大題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿(mǎn)分10分)已知曲線(xiàn)y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線(xiàn)l1平行于直線(xiàn)4x－y－1＝0，且點(diǎn)P0在第三象限．（1)求P0的坐標(biāo);（2)若直線(xiàn)l⊥l1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線(xiàn)l的方程．解（1）由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1。當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4。又因?yàn)辄c(diǎn)P0在第三象限,所以切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（－1,－4）．（2）因?yàn)橹本€(xiàn)l⊥l1，l1的斜率為4，所以直線(xiàn)l的斜率為－eq\f(1，4)，因?yàn)閘過(guò)切點(diǎn)P0,點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（－1,－4），所以直線(xiàn)l的方程為y＋4＝－eq\f（1，4)（x＋1），即x＋4y＋17＝0。18．(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)f（x)＝a2lnx－x2＋ax(a〉0）．（1)求f（x)的單調(diào)區(qū)間；（2)求所有使e－1≤f（x)≤e2對(duì)x∈[1，e］恒成立的a的值．解(1）因?yàn)閒(x）＝a2lnx－x2＋ax，其中x〉0，所以f′（x）＝eq\f(a2,x）－2x＋a＝－eq\f（x－a2x＋a，x）。由于a〉0，所以f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為（a,＋∞)．(2）由題意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由（1）知f（x）在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈［1，e]恒成立．只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f1＝a－1≥e－1，,fe＝a2－e2＋ae≤e2,）)解得a＝e.19．(本小題滿(mǎn)分12分）在拋物線(xiàn)y＝－x2＋1上找一點(diǎn)P(x1，y1)，且點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，使此切線(xiàn)與拋物線(xiàn)及兩坐標(biāo)軸所圍平面圖形的面積最小．解由于y′＝－2x，因此過(guò)點(diǎn)P（x1,y1)的切線(xiàn)方程為y－y1＝－2x1(x－x1)，該切線(xiàn)與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x\o\al(2，1）＋1，2x1），0)），B(0,1＋xeq\o\al(2，1）),所求面積S＝eq\f(1,2)·eq\f（x\o\al（2,1)＋1,2x1)·（1＋xeq\o\al(2，1))－eq\i\in（0,1，）(－x2＋1）dx＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x\o\al（3,1)＋2x1＋\f（1,x1)))－eq\f（2,3)，則S′＝eq\f（1,4)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,1）＋2－\f(1,x\o\al（2，1））)）＝eq\f（1，4）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(3x1－\f（1,x1)))·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1，x1)))。令S′＝0，因?yàn)閤1>0，所以x1＝eq\f(\r(3）,3)。由于此問(wèn)題中面積的最小值存在，且面積關(guān)于x1的函數(shù)在(0，＋∞)內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，故x1＝eq\f(\r（3）,3)，y1＝eq\f（2，3）就是所求的點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，即取切點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3),3)，\f（2,3）））時(shí),所求的平面圖形的面積最小．20．(本小題滿(mǎn)分12分）已知某公司生產(chǎn)的某品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件，需另投入1。9萬(wàn)元，設(shè)R（x）(單位:萬(wàn)元)為銷(xiāo)售收入,據(jù)市場(chǎng)調(diào)查知R（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(10x－\f(1，30）x30≤x≤10，，\f(200，3）x〉10，)）其中x是年產(chǎn)量（單位：千件)．（1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？解(1)依題意有：W＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（10x－\f（1，30）x3－10－1。9x0≤x≤10，,\f(200，3)－10－1.9xx>10。)）即W＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(1，30）x3－100≤x≤10，,\f（170,3）－1.9xx〉10。))(2）設(shè)f（x）＝－eq\f（1,30）x3＋8。1x－10（0≤x≤10)，f′（x)＝－eq\f（1，10)x2＋8.1，由f′（x)＝0,得x＝9或x＝－9(舍去)．當(dāng)0≤x≤9時(shí),f′(x)≥0；當(dāng)9≤x≤10時(shí)，f′(x）≤0，所以當(dāng)x＝9時(shí)，f（x）取得最大值38。6.當(dāng)x〉10時(shí)，eq\f(170,3）－1。9x〈eq\f（113，3)<38。6.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大．21．(本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝xea－x＋bx，曲線(xiàn)y＝f(x）在點(diǎn)（2，f(2))處的切線(xiàn)方程為y＝(e－1)x＋4。(1)求a，b的值;(2）求f（x)的單調(diào)區(qū)間．解（1）因?yàn)閒（x）＝xea－x＋bx，所以f′(x）＝（1－x）ea－x＋b。依題設(shè)，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝2e＋2,，f′2＝e－1,)）即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2ea－2＋2b＝2e＋2,，－ea－2＋b＝e－1，）)解得a＝2，b＝e。(2）由(1)知f(x）＝xe2－x＋ex.由f′（x）＝e2－x（1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x）與1－x＋ex－1同號(hào)．令g（x)＝1－x＋ex－1，則g′（x）＝－1＋ex－1。所以當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，g′(x)＜0，g（x）在區(qū)間（－∞，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí),g′（x)＞0,g（x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故g（1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值，從而g（x）＞0，x∈(－∞，＋∞）．綜上可知,f′(x）＞0,x∈(－∞,＋∞)．故f（x)的單