2020高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一課導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用【例1】已知曲線y＝eq\f（1，3）x3＋eq\f(4，3)。(1）求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;（2)求曲線過點(diǎn)P(2，4）的切線方程；（3）求斜率為4的曲線的切線方程．［解]（1）∵P(2，4）在曲線y＝eq\f(1,3）x3＋eq\f(4,3）上，且y′＝x2，∴在點(diǎn)P(2，4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′｜x＝2＝4.∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2），即4x－y－4＝0.（2)設(shè)曲線y＝eq\f（1,3）x3＋eq\f(4,3)與過點(diǎn)P（2，4)的切線相切于點(diǎn)Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x0，\f（1,3）x\o\al(3,0）＋\f（4，3)）)，則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0）.∴切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x\o\al(3,0）＋\f(4，3）))＝xeq\o\al（2，0）(x－x0），即y＝xeq\o\al(2,0）·x－eq\f（2，3)xeq\o\al（3,0）＋eq\f（4,3）?！唿c(diǎn)P(2，4）在切線上，∴4＝2xeq\o\al（2，0)－eq\f（2，3）xeq\o\al(3，0)＋eq\f(4,3),即xeq\o\al(3，0)－3xeq\o\al（2,0)＋4＝0,∴xeq\o\al(3,0）＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0）＋4＝0.∴xeq\o\al（2，0)(x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1)＝0，∴（x0＋1）(x0－2）2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.（3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率k＝xeq\o\al(2,0)＝4，∴x0＝±2.∴切點(diǎn)為(2，4)或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－2，－\f(4,3))）.∴斜率為4的曲線的切線方程為y－4＝4(x－2)和y＋eq\f(4，3)＝4(x＋2),即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況（1）若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(2）如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先求出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．注意：曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，例如，y＝x3在(1，1）處的切線l與y＝x3的圖象還有一個(gè)交點(diǎn)(－2,－8)．1．（1)曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1，1）處切線的斜率等于________．（2）已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是________．（填序號）（1）2(2)②［（1)y′＝ex－1＋xex－1＝（x＋1）ex－1,故曲線在點(diǎn)(1，1）處的切線斜率為y′eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1))＝2.(2)從導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小,x＝0時(shí)最大，所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小，在x＝0時(shí)變化率最大．①中,在x＝0時(shí)變化率最小，故錯(cuò)誤；③中，變化率是越來越大的，故錯(cuò)誤；④中，變化率是越來越小的,故錯(cuò)誤；②正確．]函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例2】已知函數(shù)f（x)＝x3－ax－1。(1）若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1）內(nèi)單調(diào)遞減？若存在,求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．[思路探究］研究函數(shù)的單調(diào)性可通過判斷導(dǎo)數(shù)的符號來解決．因?yàn)樯婕皡?shù)a，所以要分類討論．[解］(1）由已知,得f′(x）＝3x2－a。因?yàn)閒（x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝3x2－a≥0在（－∞,＋∞）上恒成立,即a≤3x2對x∈R恒成立．因?yàn)?x2≥0，所以只需a≤0。又因?yàn)楫?dāng)a＝0時(shí)，f′(x）＝3x2≥0,f（x）＝x3－1在R上單調(diào)遞增，所以a≤0。故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0.(2)由f′（x）＝3x2－a≤0在(－1，1）內(nèi)恒成立，得a≥3x2在x∈（－1,1)內(nèi)恒成立．因?yàn)椋?<x<1，所以3x2〈3，所以只需a≥3。因?yàn)楫?dāng)a＝3時(shí)，f′（x)＝3（x2－1)，在x∈(－1，1）上，f′（x)〈0，即f（x)在（－1，1）上單調(diào)遞減，所以a≥3.故存在實(shí)數(shù)a≥3,使f（x）在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法步驟(1)確定函數(shù)f（x）的定義域．（2）計(jì)算函數(shù)f（x)的導(dǎo)數(shù)f′（x)．（3)解不等式f′（x)〉0，得到函數(shù)f（x)的遞增區(qū)間;解不等式f′(x)<0，得到函數(shù)f（x)的遞減區(qū)間．注意:求函數(shù)單調(diào)區(qū)間一定要先確定函數(shù)定義域，往往因忽視函數(shù)定義域而導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．設(shè)函數(shù)f(x）＝alnx＋eq\f（x－1,x＋1）（a≠0),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．［解]函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?0,＋∞)．f′(x)＝eq\f(a，x）＋eq\f（2,x＋12）＝eq\f(ax2＋2a＋2x＋a，xx＋12）。當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f(x)在（0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a＜0時(shí)，令g（x)＝ax2＋（2a＋2）x＋a，由于Δ＝（2a＋2）2－4a2＝4（2a＋1），①當(dāng)a＝－eq\f(1，2)時(shí)，Δ＝0，f′（x)＝eq\f（－\f(1,2）x－12,xx＋12）≤0,函數(shù)f(x)在(0,＋∞）上單調(diào)遞減．②當(dāng)a＜－eq\f（1,2）時(shí)，Δ＜0，g(x）＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x）在(0,＋∞）上單調(diào)遞減．③當(dāng)－eq\f（1,2)＜a＜0時(shí),Δ＞0.設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)g（x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1＝eq\f(－a＋1＋\r（2a＋1），a)，x2＝eq\f(－a＋1－\r(2a＋1）,a)。因?yàn)閤1＝eq\f（a＋1－\r（2a＋1）,－a)＝eq\f(\r（a2＋2a＋1）－\r(2a＋1),－a）＞0，所以，x∈(0，x1)時(shí)，g（x）＜0，f′（x)＜0,函數(shù)f（x)單調(diào)遞減，x∈(x1，x2）時(shí)，g（x）＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x）單調(diào)遞增，x∈(x2，＋∞)時(shí)，g（x）＜0，f′(x）＜0,函數(shù)f（x)單調(diào)遞減．綜上可得，當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a≤－eq\f（1，2)時(shí)，函數(shù)f（x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)－eq\f(1,2）＜a＜0時(shí)，f（x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f(－a＋1＋\r(2a＋1）,a))），eq\f（－a＋1－\r（2a＋1),a)，＋∞上單調(diào)遞減，在eq\f(－a＋1＋\r(2a＋1),a)，eq\f(－a＋1－\r（2a＋1),a)上單調(diào)遞增．函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)【例3】已知函數(shù)f（x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點(diǎn)P（1,0)，且在點(diǎn)P處的切線與直線3x＋y＝0平行．(1)求函數(shù)f（x)的解析式;(2)求函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，t](0<t〈3）上的最大值和最小值;（3）在（1）的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)＝c在區(qū)間［1，3］上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．[思路探究］（1)由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝－3,））求出a,b即可．(2）對t分0〈t≤2與2<t<3兩種情況求最值．（3)構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f（x）－c轉(zhuǎn)化為g(x)在［1，3]上有實(shí)根求解．［解］(1）因?yàn)閒′(x)＝3x2＋2ax，曲線在P(1，0）處的切線斜率為：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，又函數(shù)過（1,0)點(diǎn),即－2＋b＝0，b＝2。所以a＝－3，b＝2，f(x）＝x3－3x2＋2.（2)由f（x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2。①當(dāng)0<t≤2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上f′（x)<0，f(x）在［0，t］上是減函數(shù),所以f（x)最大值＝f（0）＝2,f（x）最小值＝f（t)＝t3－3t2＋2.②當(dāng)2〈t〈3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x)，f（x）的變化情況如下表：x0（0,2）2（2，t)tf′(x)0－0＋f（x)2極小值－2t3－3t2＋2f(x）最小值＝f(2)＝－2，f(x）最大值為f(0)與f（t）中較大的一個(gè)．f(t)－f（0）＝t3－3t2＝t2（t－3)<0.所以f(x)最大值＝f（0）＝2.（3）令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c,g′（x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈［1，2)上，g′（x)〈0;在x∈（2，3］上，g′（x)〉0。要使g(x)＝0在［1，3］上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（g1≥0，,g2<0，,g3≥0。)）解得－2<c≤0。1．求函數(shù)的極值的方法(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(2)求方程f′（x）＝0的根．(3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù),則f（x)在這個(gè)根處無極值．2．求函數(shù)的最值的方法(1)求f（x）在(a,b）內(nèi)的極值．(2）將f（x)的各極值與f（a）,f(b)比較得出函數(shù)f(x)在［a,b]上的最值．3．已知函數(shù)f（x）＝－x3＋12x＋m.(1)若x∈R，求函數(shù)f(x)的極大值與極小值之差；（2）若函數(shù)y＝f(x）有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍;(3）當(dāng)x∈［－1,3]時(shí)，f（x)的最小值為－2，求f(x）的最大值．［解](1)f′(x)＝－3x2＋12.當(dāng)f′(x)＝0時(shí),x＝－2或x＝2.當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，－2＜x＜2.當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，x＜－2或x＞2?！鄁(x)在(－∞，－2），（2，＋∞)上單調(diào)遞減，在（－2,2)上單調(diào)遞增．∴f(x）極小值＝f（－2)＝－16＋m.f(x)極大值＝f(2）＝16＋m?！鄁(x)極大值－f(x)極小值＝32。（2）由(1)知要使函數(shù)y＝f（x)有三個(gè)零點(diǎn)，必須eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx極小值＜0，，fx極大值＞0，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－16＋m＜0,，16＋m＞0，)）∴－16＜m＜16?！鄊的取值范圍為(－16，16)．（3）當(dāng)x∈[－1,3]時(shí)，由(1)知f（x）在［－1，2)上單調(diào)遞增，f（x)在［2,3］上單調(diào)遞減，f（x)的最大值為f（2）．又f（－1)＝－11＋m,f（3)＝m＋9,∴f（－1)＜f(3）,∴在［－1，3］上f(x)的最小值為f（－1)＝－11＋m,∴－11＋m＝－2，∴m＝9。∴當(dāng)x∈［－1，3］時(shí)，f（x）的最大值為f(2)＝（－2）3＋12×2＋9＝25。生活中的優(yōu)化問題【例4】某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米,體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．(1）將V表示成r的函數(shù)V（r),并求該函數(shù)的定義域；(2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．［解]（1）因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．又據(jù)題意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r）（300－4r2），從而V（r)＝πr2h＝eq\f(π,5)（300r－4r3)．因?yàn)閞〉0，又由h〉0可得r<5eq\r（3)，故函數(shù)V（r)的定義域?yàn)椋?,5eq\r(3)）．（2)因?yàn)閂(r)＝eq\f（π,5)(300r－4r3)，所以V′（r）＝eq\f(π，5）（300－12r2)．令V′（r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5（因r2＝－5不在定義域內(nèi),舍去）．當(dāng)r∈(0，5)時(shí)，V′(r）〉0，故V（r）在（0，5)上為增函數(shù);當(dāng)r∈(5，5eq\r(3)）時(shí),V′（r)〈0，故V(r)在（5,5eq\r(3)）上為減函數(shù)．由此可知，V（r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8。即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí),該蓄水池的體積最大．1．優(yōu)化問題的常見類型關(guān)于生活中的優(yōu)化問題涉及面極廣，常見的有：(1）幾何體的面積、體積問題;(2)最低成本與最大效益問題；(3）生產(chǎn)分配與投資理財(cái)問題；（4）下料設(shè)計(jì)與廠址選點(diǎn)問題．2．解決優(yōu)化問題的注意點(diǎn)（1）利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題，往往歸結(jié)為函數(shù)的最大(小)值，一定要考慮實(shí)際問題的意義,不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去；(2)在解決優(yōu)化問題時(shí)，將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示出來的同時(shí)，還要確定函數(shù)關(guān)系中自變量的定義域．（3）有些優(yōu)化問題除用導(dǎo)數(shù)法求解外，有時(shí)還可用配方法、基本不等式法等，解題時(shí)要注意方法的靈活選用．4．書店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊書存放一年要耗庫存費(fèi)40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分__________次進(jìn)貨、每次進(jìn)__________冊，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少．1015000［設(shè)每次進(jìn)書x千冊（0〈x<150），手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和為y元，由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量一半，即eq\f（x,2),故有y＝eq\f（150，x)×30＋eq\f（x，2)×40，y′＝－eq\f（4500,x2）＋20＝eq\f(20x＋15x－15，x2),∴當(dāng)0<x〈15時(shí)，y′<0，當(dāng)15〈x<150時(shí)，y′〉0.故當(dāng)x＝15時(shí),y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為eq\f(150，15)＝10(次)．即該書店分10次進(jìn)貨,每次進(jìn)15000冊書，所付手續(xù)費(fèi)與庫存費(fèi)之和最少．]函數(shù)方程思想【例5】設(shè)函數(shù)f（x)＝x3－6x＋5,x∈R.（1)求f（x）的極值點(diǎn);（2)若關(guān)于x的方程f（x)＝a有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3）已知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f（x)≥k（x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．［解](1）f′(x）＝3（x2－2),令f′(x）＝0，得x1＝－eq\r(2),x2＝eq\r（2).當(dāng)x∈（－∞,－eq\r（2）)∪(eq\r（2），＋∞）時(shí),f′(x）＞0，當(dāng)x∈(－eq\r（2),eq\r（2）)時(shí)，f′（x)＜0，因此x1＝－eq\r（2），x2＝eq\r(2）分別為f（x)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)．(2)由(1)的分析可知y＝f（x)圖象的大致形狀及走向如圖所示．要使直線y＝a與y＝f(x)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，需5－4eq\r(2)＝f（eq\r（2)）＜a＜f(－eq\r（2））＝5＋4eq\r（2）。則方程f（x）＝a有3個(gè)不同實(shí)根時(shí)，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(5－4eq\r(2），5＋4eq\r(2)）．（3)法一：f（x)≥k（x－1)，即（x－1）(x2＋x－5）≥k(x－1）,因?yàn)閤＞1