統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章參數(shù)估計(jì)課件

案例：食品的包裝質(zhì)量檢查某食品公司生產(chǎn)的某規(guī)格袋裝食品，產(chǎn)量基本保持穩(wěn)定，規(guī)定每袋食品合格重量不低于100g。為對(duì)產(chǎn)品包裝質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，該公司質(zhì)檢部門(mén)采用抽樣技術(shù)：每天抽取一定數(shù)量的食品，檢測(cè)袋裝重量是否符合要求?，F(xiàn)某一天生產(chǎn)的一批8000袋食品中采用不重復(fù)抽樣，隨機(jī)抽取了25袋檢查。通過(guò)樣本觀測(cè)分析發(fā)現(xiàn)，平均每袋重量105.36g，檢測(cè)人員以95%的把握程度確信，該整批食品重量在101.45~109.27g之間，且估計(jì)誤差不超過(guò)4g。1第4章參數(shù)估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)要求：理解——參數(shù)估計(jì)的兩種方法

——2類(lèi)抽樣誤差的實(shí)質(zhì)及計(jì)量掌握——參數(shù)估計(jì)的優(yōu)良評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

——單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法

——樣本容量的確定學(xué)習(xí)重點(diǎn)：估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：?jiǎn)我豢傮w參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2第4章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題二、參數(shù)估計(jì)的兩種方法一、估計(jì)量與估計(jì)值第四章參數(shù)估計(jì)

(Parameterestimation）3第4章參數(shù)估計(jì)（一）總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)（pointestimation）1、含義：利用樣本計(jì)算的估計(jì)值直接作為對(duì)應(yīng)總體參數(shù)的取值。例如:用樣本均值或中位數(shù)作為總體均值的估計(jì)值，用樣本比率作為總體比率的估計(jì)值，用修正樣本方差作為總體方差的估計(jì)值。2、實(shí)質(zhì)：抽樣分布曲線(xiàn)上的一個(gè)確定數(shù)值（點(diǎn)）該估計(jì)值能否直接作為真實(shí)的參數(shù)使用？二、參數(shù)估計(jì)的兩種方法5第4章參數(shù)估計(jì)3、估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（點(diǎn)估計(jì)）（1）無(wú)偏性（unbiasedness）：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望（均值）等于被估計(jì)的總體參數(shù)。即：可以證明，樣本均值、樣本比率、修正樣本方差分別是總體均值、總體比率、總體方差的無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)。無(wú)偏有偏AB●6第4章參數(shù)估計(jì)樣本均值的分布樣本中位數(shù)的分布例：與正態(tài)分布的中位數(shù)相比，樣本均值是有效估計(jì)量（2）有效性（efficiency）基于相同樣本容量計(jì)算的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，方差較小的那個(gè)為有效估計(jì)量。即：若兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，存在，則前者為有效估計(jì)量?！?第4章參數(shù)估計(jì)（3）相合性（一致性）（consistency）樣本容量越大，估計(jì)值越接近被估計(jì)的參數(shù)。AB小樣本容量大樣本容量P(X)x8第4章參數(shù)估計(jì)（二）總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（intervalestimation）1、含義：在對(duì)參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，以一定的置信水平估計(jì)出包含估計(jì)量與參數(shù)二者誤差信息的區(qū)間。2、置信水平（confidencelevel）：表明估計(jì)量和總體參數(shù)的誤差不超過(guò)一定范圍的概率，記為1-α。顯著性水平α形式：[估計(jì)值-允許出現(xiàn)的誤差，估計(jì)值+允許出現(xiàn)的誤差]10第4章參數(shù)估計(jì)0常用Z與置信水平的對(duì)應(yīng)關(guān)系（雙邊顯著性水平α）Z=1，P

=0.6827;Z=1.64，P=0.9；Z=1.96，P=0.95;Z=2，P=0.9545;Z=2.58，P=0.99;

Z=3，P=0.99731-α既定，重復(fù)抽樣12第4章參數(shù)估計(jì)4、區(qū)間估計(jì)的基本思路：思路：利用實(shí)際抽樣資料，計(jì)算出待估總體參數(shù)值在給定置信水平下的上限和下限，即參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍。對(duì)于總體參數(shù)θ，計(jì)算出樣本的兩個(gè)估計(jì)值θ1和θ2，使被估計(jì)指標(biāo)θ落在區(qū)間[θ1，θ2]內(nèi)的概率為1-α，即P（θ1≤θ≤θ2)=1一α。則稱(chēng)區(qū)間[θ1，θ2]為總體指標(biāo)θ的置信區(qū)間，其估計(jì)置信水平為1一α，稱(chēng)α為顯著性水平，θ1是置信下限，θ2是置信上限。14第4章參數(shù)估計(jì)一、抽樣誤差（Samplingerror）（一）有關(guān)誤差的概念1、抽樣誤差：是指由于隨機(jī)抽樣的偶然因素使抽樣估計(jì)值與總體參數(shù)之間存在的偏差。2、分類(lèi)：抽樣平均誤差：反映抽樣誤差一般水平的指標(biāo)。

實(shí)質(zhì)：估計(jì)量抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差抽樣允許誤差：極限誤差，抽樣允許的最大誤差

實(shí)質(zhì)：估計(jì)區(qū)間的半徑第二節(jié)單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)15第4章參數(shù)估計(jì)（二）抽樣平均誤差(Meansamplingerror)不重復(fù)抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差和總體離散程度、樣本容量、總體容量有關(guān)：重復(fù)抽樣下，樣本均值的抽樣平均誤差與總體離散程度以及樣本容量大小兩個(gè)因素有關(guān)：1、樣本均值的抽樣平均誤差16第4章參數(shù)估計(jì)2、樣本比率p的抽樣平均誤差在不重復(fù)抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差和總體離散程度、樣本容量、總體容量有關(guān)：在重復(fù)抽樣的條件下，樣本比率的抽樣平均誤差與總體的離散程度以及樣本容量大小兩個(gè)因素有關(guān)：17第4章參數(shù)估計(jì)3、抽樣平均誤差所反映的內(nèi)容可通過(guò)調(diào)整樣本單位數(shù)來(lái)控制抽樣平均誤差。重復(fù)抽樣條件下，樣本均值（比率）分布的平均誤差僅為總體標(biāo)準(zhǔn)差的，不重復(fù)抽樣時(shí)誤差更小。4、影響抽樣平均誤差大小的因素：1）總體離散程度2）樣本容量n3）抽樣方法4）抽樣調(diào)查的組織形式18第4章參數(shù)估計(jì)（三）抽樣允許誤差(Ultimatesamplingerror)1、含義：進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，對(duì)應(yīng)于一定置信水平下允許出現(xiàn)的最大誤差范圍。稱(chēng)為總體均值的估計(jì)區(qū)間或置信區(qū)間。稱(chēng)為總體比率的估計(jì)區(qū)間或置信區(qū)間。2、抽樣允許誤差的表示：20第4章參數(shù)估計(jì)（四）抽樣允許誤差與抽樣平均誤差的關(guān)系以樣本均值服從正態(tài)分布的重復(fù)抽樣為例，正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化后，滿(mǎn)足：Z021第4章參數(shù)估計(jì)（1）已知允許誤差，估計(jì)給定誤差下的置信區(qū)間抽取樣本，代入樣本估計(jì)量函數(shù)（如均值或比率），計(jì)算結(jié)果作為對(duì)應(yīng)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。若總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，進(jìn)入下一步。否則，計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差。將抽樣極限誤差除以抽樣平均誤差求Z值，查《標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表》求出相應(yīng)的置信水平。根據(jù)給定的抽樣極限誤差，構(gòu)造估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間。給出結(jié)論。以？%的置信水平，估計(jì)某參數(shù)取值在？——？之間。23第4章參數(shù)估計(jì)例2：對(duì)某型號(hào)電子元件進(jìn)行耐用性能檢查，抽查的資料分組列表如下，要求耐用時(shí)數(shù)的允許誤差為10.5小時(shí)，試估計(jì)該批電子元件的平均耐用時(shí)數(shù)?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)（已知抽樣允許誤差）—12251175112510751025975925875組中值x100合計(jì)11200以上31150-120091100-1150431050-1100351000-10506950-10002900-9501900以下元件數(shù)f耐用時(shí)間（小時(shí)）1055501225352510125462253587558501850875xf269475.0028730.2542840.7543472.2516350.7532558.7538881.5034060.5032580.25（x-x）2f24第4章參數(shù)估計(jì)抽取樣本，代入樣本估計(jì)量函數(shù)（均值或比率），計(jì)算結(jié)果作為相應(yīng)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。若總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，進(jìn)入下一步。否則，

計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差。根據(jù)給定的置信水平,反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表得到Z值。用抽樣平均誤差乘Z值計(jì)算抽樣極限誤差，估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間。得出結(jié)論。以？%的置信水平，估計(jì)某參數(shù)取值在？——？之間。（2）已知置信水平，估計(jì)給定置信下的區(qū)間26第4章參數(shù)估計(jì)例3：某紗廠某時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)10萬(wàn)個(gè)單位的紗，按隨機(jī)不重復(fù)抽樣方式抽取2000個(gè)單位檢驗(yàn)，結(jié)果合格率為95%。試以95%的把握程度，估計(jì)該批紗合格品率及合格品數(shù)量的區(qū)間范圍。解：已知合格率區(qū)間下限：合格率區(qū)間上限：因此以95%的置信水平估計(jì)該批紗合格率在94.06%和95.94%之間，合格品數(shù)量在94060—95940個(gè)之間。合格品數(shù)量上限：合格品數(shù)量下限：樣本比率的抽樣平均誤差：由得Zα/2=1.9627第4章參數(shù)估計(jì)練習(xí)：1、某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差為6分鐘）。分析：大樣本，總體容量未知，當(dāng)做重復(fù)抽樣來(lái)處理，總體方差已知，所以直接構(gòu)造正態(tài)分布來(lái)估計(jì)即可。2、一家保險(xiǎn)公司收集到36個(gè)投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡數(shù)據(jù)，試確立投保人年齡90％的置信區(qū)間。分析：總體分布和容量未知，方差也未知，在大樣本條件下，用樣本方差估計(jì)總體方差，采用重復(fù)抽樣條件下的正態(tài)分布估計(jì)即可。28第4章參數(shù)估計(jì)2、小樣本條件下，一般只討論均值估計(jì)（1）總體若服從正態(tài)分布，方差已知，則構(gòu)造估計(jì)量的正態(tài)分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，過(guò)程類(lèi)似于大樣本條件。例4：一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，按規(guī)定每袋的重量不低于100g。為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門(mén)經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取25袋，測(cè)得每袋重量。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95％。30第4章參數(shù)估計(jì)解：總體服從正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差已知，考慮到總體容量未知，按重復(fù)抽樣來(lái)處理，所以直接構(gòu)造正態(tài)分布來(lái)估計(jì)即可。計(jì)算樣本均值的抽樣平均誤差：因此可以作如下估計(jì)，即以95%的置信水平，估計(jì)該批食品的平均包裝重量在101.44-109.28克之間。根據(jù)給定的抽樣允許誤差，構(gòu)造總體均值的估計(jì)區(qū)間：由置信水平為95%，得知下限為上限為計(jì)算區(qū)間估計(jì)的允許誤差：31第4章參數(shù)估計(jì)2、小樣本條件下（2）總體若服從正態(tài)分布，方差未知，則構(gòu)造估計(jì)量的t分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，自由度為（n-1)t032第4章參數(shù)估計(jì)正態(tài)分布的小樣本條件下，均值區(qū)間估計(jì)步驟：抽取樣本，代入均值估計(jì)量函數(shù)，作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)值。計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)給定的置信水平和自由度，反查t分布概率表，確定t值。估計(jì)參數(shù)的置信區(qū)間。給出結(jié)論。以？%的置信水平，估計(jì)總體均值在？—？之間例5：例4中假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，估計(jì)總體平均每包重量的95%的置信區(qū)間33第4章參數(shù)估計(jì)解：總體服從正態(tài)分布但標(biāo)準(zhǔn)差未知，n=25，在小樣本條件下構(gòu)造t分布來(lái)估計(jì)總體均值。計(jì)算樣本均值的抽樣平均誤差：因此可以作如下估計(jì)，即以95%的置信水平，估計(jì)該批食品的平均包裝重量在101.38-109.34克之間。根據(jù)給定的抽樣允許誤差，構(gòu)造總體均值的估計(jì)區(qū)間：由置信水平為95%，自由度df=n-1=24，得下限為上限為計(jì)算區(qū)間估計(jì)的允許誤差：34第4章參數(shù)估計(jì)練習(xí)：3、從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)容量為16的隨機(jī)樣本，計(jì)算其均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為8。請(qǐng)建立總體均值的95%的置信區(qū)間。分析：總體方差未知的正態(tài)分布的小樣本參數(shù)估計(jì)，利用t分布4、某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽?。辜瑴y(cè)得其平均長(zhǎng)度為2.14mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差

=0.15mm，試建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。35第4章參數(shù)估計(jì)根據(jù)置信水平和自由度，推算

分位數(shù)。（二）總體方差的區(qū)間估計(jì)抽取樣本，計(jì)算修正樣本方差，作為總體方差的點(diǎn)估計(jì)值。給出估計(jì)區(qū)間0

給出結(jié)論。36第4章參數(shù)估計(jì)解：依據(jù)已知計(jì)算修正樣本方差：因此可以作如下估計(jì)，即以概率為95%的保證程度，估計(jì)該批電子元件耐用時(shí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差在45.81—60.61小時(shí)之間。根據(jù)顯著性水平例2【續(xù)】：試以95%的置信水平估計(jì)該批電子元件耐用時(shí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。和自由度查卡方分布表得：代入置信區(qū)間公式計(jì)算出總體方差的估計(jì)區(qū)間：總體標(biāo)準(zhǔn)差的相應(yīng)估計(jì)區(qū)間：