教學(xué)設(shè)計(jì)：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

§回歸分析的基本思想及其初步（1）【學(xué)情分析】：教學(xué)對(duì)象是高二理科學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)會(huì)用最小二乘法建立線性回歸模型的知識(shí)，并能用所學(xué)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題?；貧w分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要內(nèi)容，在教學(xué)中，要結(jié)合實(shí)例進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，理解只有兩個(gè)變量相關(guān)性顯著時(shí)，回歸方程才具有實(shí)際意義。在起點(diǎn)低的班級(jí)中注重讓學(xué)生參與實(shí)踐，結(jié)合畫圖表的方法整理數(shù)據(jù)，鼓勵(lì)學(xué)生通過收集數(shù)據(jù)，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，從而認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)，達(dá)到學(xué)習(xí)的目的?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：回憶線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，理解用最小二乘法求回歸模型的步驟，了解判斷兩變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度——相關(guān)系數(shù)。（2）過程與方法：本節(jié)內(nèi)容先從大學(xué)中女大學(xué)生的甚高和體重之間的關(guān)系入手，求出相應(yīng)的回歸直線方程。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)自己已有知識(shí)的不足之處，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生不滿足于已有知識(shí)，勇于求知的良好個(gè)性品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)取?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：了解線性回歸模型與函數(shù)模型的差異；了解兩變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度——相關(guān)系數(shù)?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：了解兩變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度——相關(guān)系數(shù)；了解線性回歸模型與一次函數(shù)模型的差異。【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境問題一：一般情況下，體重與身高有一定的關(guān)系，通常個(gè)子較高的人體重比較大，但這是否一定正確？（是否存在普遍性）師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生判斷體重與身高之間的關(guān)系（函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系）生：思考、討論。問題二：統(tǒng)計(jì)方法解決問題的基本過程是什么？師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶用最小二乘法求回歸直線方程的方法。生：回憶、敘述回歸分析的基本過程：⑴畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖；⑵判斷是否線性相關(guān)⑶求回歸直線方程（利用最小二乘法）⑷并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)復(fù)習(xí)回歸分析用于解決什么樣的問題。復(fù)習(xí)回歸分析的解題步驟二、例題選講探究活動(dòng)：對(duì)于一組具有線性相關(guān)的數(shù)據(jù)（x,y）,(x,y)……,(x,y),我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分別為：=+,=其中=,=.(,)稱為樣本點(diǎn)的中心。你能推導(dǎo)出這兩個(gè)計(jì)算公式嗎？從已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)我們知道，截距和斜率分別是使Q（α,β）=取最小值時(shí)α，β的值。由于Q（α，β）===+2+n(-β-α),注意到=（）=（）［］=（［n］=0,所以Q（α,β）=+n()=β-2β++n(=n(+-+在上式中，后兩項(xiàng)和α，β無關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，因此要Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值均為0，即有β=，α=.這正是我們所要推導(dǎo)的公式。下面我們通過案例，進(jìn)一步學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其應(yīng)用。問題三：思考例1：從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表所示。求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359題目中表達(dá)了哪些信息？師：讀例1的要求，引導(dǎo)學(xué)生理解例題含義。（例題含義：①數(shù)據(jù)體重與身高之間是一種不確定性的關(guān)系②求出以身高為自變量x，體重為因變量y的回歸方程。③由方程求出當(dāng)x=172時(shí)，y的值。生：思考、討論、敘述自己的理解，歸納出題目中的信息。根據(jù)以前所學(xué)的知識(shí)，讓學(xué)生自己動(dòng)手求出回歸方程求解過程如下：①畫出散點(diǎn)圖，判斷身高x與體重y之間存在什么關(guān)系（線性關(guān)系）？②列表求出相關(guān)的量，并求出線性回歸方程代入公式有所以回歸方程為③利用回歸方程預(yù)報(bào)身高172cm當(dāng)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)總結(jié)求線性回歸方程的步驟：第一步：作散點(diǎn)圖—→第二步：求回歸方程—→第三步：代值計(jì)算復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)方法解決問題的基本過程。學(xué)生動(dòng)手畫散點(diǎn)圖，老師用EXCEL的作圖工作演示，并引導(dǎo)學(xué)生找出兩個(gè)變量之間的關(guān)系。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，并借助EXCEL的統(tǒng)計(jì)功能鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代工具來處理數(shù)據(jù)。三、探究新知問題四：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？（不一定，但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右.）師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生比較函數(shù)模型與線性回歸模型的不同，并引出相關(guān)系數(shù)的作用。生：思考、討論、解釋解釋線性回歸模型與一次函數(shù)的不同從散點(diǎn)圖可觀察出，女大學(xué)生的體重和身高之間的關(guān)系并不能用一次函數(shù)來嚴(yán)格刻畫（因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關(guān)系）.在數(shù)據(jù)表中身高為165cm的3名女大學(xué)生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數(shù)來描述體重與身高的關(guān)系，那么身高為165cm的3名女在學(xué)生的體重應(yīng)相同.這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結(jié)果（即殘差變量或隨機(jī)變量）引入到線性函數(shù)模型中，得到線性回歸模型，其中殘差變量中包含體重不能由身高的線性函數(shù)解釋的所有部分.當(dāng)殘差變量恒等于0時(shí)，線性回歸模型就變成一次函數(shù)模型.因此，一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.問題五：如何衡量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱呢？相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，它們的散點(diǎn)圖越接近一條直線，這時(shí)用線性回歸模型擬合這組數(shù)據(jù)就越好，此時(shí)建立的線性回歸模型是有意義；相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0，兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系幾乎不存在，它們的散點(diǎn)圖越離散，通常當(dāng)大于時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。問題六：例1中由體重與身高建立的線性相關(guān)關(guān)系有無意義？生：動(dòng)手計(jì)算本例中兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)，，表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而表明我們建立的回歸模型是有意義的。引導(dǎo)學(xué)生了解線性回歸模型與一次函數(shù)的不同引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，通常先進(jìn)行相關(guān)性的檢驗(yàn)，確認(rèn)兩變量間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱再求線性回歸方程。結(jié)合實(shí)例的分析和研究，正確地進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。四、鞏固練習(xí)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下表的統(tǒng)計(jì)資料。試求：使用年限x23456維修費(fèi)用y⑴畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；⑵若x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程y＝bx+a的回歸系數(shù)a、b；⑶估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？答案：⑴散點(diǎn)圖如圖：⑵由已知條件制成下表：123452345649162536；；；于是有⑶回歸直線方程是，當(dāng)時(shí)，（萬元）即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是萬元。鞏固知識(shí)五、小結(jié)熟練掌握求線性回歸方程的步驟；⑴畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖；⑵判斷是否線性相關(guān)；⑶求回歸直線方程（利用最小二乘法）；⑷并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)。理解線性回歸模型與一次函數(shù)的不同；一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.了解相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與解釋。相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，它們的散點(diǎn)圖越接近一條直線，這時(shí)用線性回歸模型擬合這組數(shù)據(jù)就越好，此時(shí)建立的線性回歸模型是有意義；相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0，兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系幾乎不存在，它們的散點(diǎn)圖越離散，通常當(dāng)大于時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。反思?xì)w納練習(xí)與測試設(shè)有一個(gè)回歸方程為，則變量增加一個(gè)單位時(shí)，則（C）A．平均增加個(gè)單位B．平均增加個(gè)單位C．平均減少個(gè)單位D．平均減少個(gè)單位在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面哪個(gè)敘述是正確的（B）A．預(yù)報(bào)變量在軸上，解釋變量在軸上B．解釋變量在軸上，預(yù)報(bào)變量在軸上C．可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在軸上D．可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在軸上已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過（D）A．（2，2）點(diǎn)B．（，0）點(diǎn)C．（1，2）點(diǎn)D．（，4）點(diǎn)已知兩個(gè)相關(guān)變量與具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)取值1，2，3，4時(shí)，通過觀測得到的值分別為，，，，這組樣本點(diǎn)的中心是（D）A．(2，B．(3，C．，7)D．，一位母親記錄了兒子3—9歲的身高，數(shù)據(jù)（略），由此建立的身高與年齡的回歸模型為y=+，用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（C）A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83cm左右D．身高在145.83cm以下在一次實(shí)驗(yàn)中，測得（x，y）的四組值分別是A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），則y與x之間的回歸直線方程為（A）A．B．C．D．有下列關(guān)系：⑴人的年齡與其擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；⑵曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；⑶蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；⑷森林中的同一樹木，其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系；⑸學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系。其中有相關(guān)關(guān)系的是__________。答案：⑴⑶⑷許多因素都會(huì)影響貧窮，教育也許是其中之一，在研究這兩個(gè)因素的關(guān)系時(shí)，收集了美國50個(gè)州的成年人受過9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比（）的數(shù)據(jù)，建立的回歸直線方程如下：。斜率的估計(jì)等于說明__________________，成年人受過9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比（）之間的相關(guān)系數(shù)__________________（填充“大于0“或”小于0“）。答案：⑴⑶⑷若施化肥量x與小麥產(chǎn)量y之間的回歸直線方程