結構力學的影響線及其應用

結構力學

STRUCTUREMECHANICS第一頁，共四十七頁。第10章第10章影響線及其應用10.1影響線的概念一、移動荷載對結構的作用二、解決移動荷載作用的途徑1、移動荷載對結構的動力作用:啟動、剎車、機械振動等。2、由于荷載位置變化，而引起的結構各處的反力、內力、位移等各量值的變化及產生最大量值時的荷載位置。

1、利用以前的方法解決移動荷載對結構的作用時，難度較大。例如吊車在吊車梁上移動時，RB、MC的求解。RABAP1lRBP2dC第二頁，共四十七頁。三、影響線的概念CBAP1=12、影響線是研究移動荷載作用問題的工具。根據疊加原理，首先研究一系列荷載中的一個，而且該荷載取為方向不變的單位荷載。當方向不變的單位荷載沿結構移動時，表示結構某指定處的某一量值（反力、內力、撓度等）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。例如：當Ｐ＝１在ＡＢ梁上移動時，ＲＡ、ＲＢ、ＭＣ、ＱＣ的變化規(guī)律就分別稱為反力ＲＡ、ＲＢ、彎矩ＭＣ、剪力ＱＣ影響線。第10章第三頁，共四十七頁。一、靜力法10.2用靜力法繪制靜定結構影響線二、簡支梁的影響線ＲB＝x/lCBAP1=1xＲＡ＝(l-x)/ll1RA影響線1RＢ影響線

把荷載Ｐ＝１放在結構的任意位置，以x表示該荷載至所選坐標原點的距離，由靜力平衡方程求出所研究的量值與x之間的關系（影響線方程）。根據該關系作出影響線。１、反力影響線第10章第四頁，共四十七頁。2、彎矩影響線BACCRBQCQCMCMCRA（1）當P=1作用在AC段時，研究CB：（2）當P=1作用在CB段時，研究CB：彎矩響線也可根據反力影響線繪制。第10章第五頁，共四十七頁。3、剪力影響線BACCRBQCQCMCMCRA（1）當P=1作用在AC段時，研究CB：（2）當P=1作用在CB段時，研究CB：剪力影響線也可根據反力影響線繪制。第10章第六頁，共四十七頁。三、影響線與量布圖的關系CBAP=1l/2/2lEDMC影響線yDyEyCCBAPl/2/2lEDM圖yEyCyD分析以上兩種情況，豎標相同，物理意義不同。1、影響線：表示當單位荷載沿結構移動時，結構某指定截面某一量值的變化情況。2、量布圖（內力圖或位移圖）：表示當荷載位置固定時，某量值在結構所有截面的分布情況。第10章第七頁，共四十七頁。四、伸臂梁的影響線CBADx1xablcd作RA、RB、MC、QC影響線時，可取A點為坐標原點，方法同簡支梁；作QD、MD影響線時，可取D為坐標原點。試繪制圖示伸臂梁的反力影響線，及C和D截面的彎矩、剪力影響線。1d/l(l+d)/lad/ld/lclab/la/lb/l1RA影響線RB影響線MC影響線QC影響線MD影響線QD影響線第10章第八頁，共四十七頁。例10?1試作圖示外伸梁的反力RA、RB、MC、QC、MD、QD、影響線以及支座B截面的剪力影響線。第10章11RA影響線RB影響線當P=1在C截面以左當P=1在C截面以右當P=1在D截面以左當P=1在D截面以右a1a/lab/lb/l1bMC影響線QC影響線DddCxBAP=1lab1MD影響線QD影響線111RB左影響線RB右影響線l1CxBAP=1labl2DddCxBAP=1lab1MD影響線QD影響線第九頁，共四十七頁。一、基本原理10.3用機動法作影響線二、優(yōu)點P=1XXPABP=11RA影響線

以X代替A支座作用，結構仍能維持平衡。使其發(fā)生虛位移，依虛位移原理：結論：為作某量值的影響線，只需將與該量值相應的聯系去掉，并以未知量X代替；而后令所得的機構沿X的正方向發(fā)生單位位移，則由此所得的虛位移圖即為所求量值的影響線。機動法是以虛位移原理為依據把作影響線的問題轉化為作位移圖的幾何問題。不需要計算就能繪出影響線的輪廓。X·X+P·P=0X=－PP/X=－P/X令X=1，則X=－P第10章第十頁，共四十七頁。三、舉例試作圖示外伸梁C截面的彎矩、剪力影響線。ABP=1CbeadA+=1MCQCMC影響線ab/lae/lbd/lQC影響線11a/lb/le/ld/lCC1C2（1）令+=1，則虛位移圖即為所求之MC影響線圖。由+=h/a+h/b=1求得h=ab/l（2）令C1C+CC2=1，則虛位移圖即為所求之QC影響線圖。由比例關系可求得

C1C=b/l;C2=a/l第10章第十一頁，共四十七頁。第10章1（e）QD影響線d（c）MD影響線dlABP=1l2l1D（a）外伸梁例10?3用機動法作圖示外伸梁上截面D的彎矩和剪力影響線。1（b）求MD虛位移圖MD（d）求QD虛位移圖QDQD１例10?４用機動法作多跨靜定梁MK、QK、RB、MD、QE影響線（P260)。第十二頁，共四十七頁。一、間接荷載對結構的作用10.4間接荷載作用下的影響線

間接荷載對結構的作用可以視為結點荷載作用，只不過該荷載的大小隨P=1的位置改變而變化。第10章（a）原體系dlAP=1DabECFB（e）QF影響線11yCyDyP=1xd（b）縱梁x/d(d-x)/dCDBA（c）主梁（d）MF影響線yCyDy第十三頁，共四十七頁。二、間接荷載作用下影響線的作法三、練習：１、先作出直接荷載作用下的影響線；2、將所有相鄰兩個結點之間影響線豎標的頂點用直線相連，即得該量值在結點荷載作用下的影響線，即間接荷載作用下的影響線。3、依據：（1）影響線定義；（2）疊加原理。第10章第十四頁，共四十七頁。練習：試繪制圖示結構ME、QE影響線。ME影響線(直)15/83/25/45/43/4QE影響線(直)5/83/81/21/41/41/4ME影響線(間接)QE影響線(間接)第10章第十五頁，共四十七頁。一、桁架上的荷載可視為間接荷載（結點荷載）10.5桁架的影響線二、桁架影響線的繪制方法三、桁架影響線的繪制舉例

桁架上的荷載一般也是通過橫梁和縱梁而作用于桁架的結點上，故可按“間接荷載作用下的影響線”對待。1、將P=1依次放在它移動過程中所經過的各結點上，分別求出各量值，即各結點處影響線豎標。2、用直線將各結點豎標逐一相連，即得所求量值的影響線。第10章第十六頁，共四十七頁。第10章ⅠFHDAB（a）l=8dah1GCEIOαⅡP=1h1h2ⅠⅡh（一）NCE影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側移動，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側移動，研究其左半部：2d/h16d/h1（b）NCE影響線3d/2h1例題；試繪制圖示桁架NCE、NDE、NDF、NEF影響線。第十七頁，共四十七頁。第10章ⅠFHDAB（a）l=8dah1GCEIOαⅡP=1h1h2ⅠⅡh2d/h16d/h1（b）NCE影響線3d/2h1（二）NDE影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側移動，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側移動，研究其左半部：(8d+a)/h2(2d+a)/h2（c）NDE影響線例題；試繪制圖示桁架NCE、NDE、NDF、NEF影響線。（d）（e）NEF影響線NDF影響線5d/h1/sinα1/sinα3d/h第十八頁，共四十七頁。例題；試繪制圖示桁架NFG、NCD、NFD影響線。（一）NFG影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側移動，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側移動，研究其左半部：NFG影響線第10章第十九頁，共四十七頁。（二）NCD影響線：

1、作1-1截面，令P=1在截面左側移動，研究其右半部：

2、作1-1截面，令P=1在截面右側移動，研究其左半部：第10章NCD影響線第二十頁，共四十七頁。（三）NFD影響線：1、作1-1截面，令P=1在截面左側移動，研究其右半部：2、作1-1截面，令P=1在截面右側移動，研究其左半部：第10章NFD影響線第二十一頁，共四十七頁。（1）什么是影響線，影響線是如何定義的？（2）如何用靜力法繪制影響線？（3）如何用機動法繪制影響線？復習思考第二十二頁，共四十七頁。影響線定義當方向不變的單位荷載沿結構移動時，表示結構某一指定截面的某一量值（反力、內力、撓度等）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。返回第二十三頁，共四十七頁。靜力法繪制影響線將荷載Ｐ＝１放在結構的任意位置，以x表示該荷載至所選坐標原點的距離，由靜力平衡方程求出所研究的量值與x之間的關系（影響線方程）。根據該關系作出影響線。返回第二十四頁，共四十七頁。機動法繪制影響線為作某量值的影響線，只需將與該量值相應的聯系去掉，并以未知量X代替；而后令所得的機構沿X的正方向發(fā)生單位位移，則由此所得的虛位移圖即為所求量值的影響線。第二十五頁，共四十七頁。機動法繪制影響線為作某量值的影響線，只需將與該量值相應的聯系去掉，并以未知量X代替；而后令所得的機構沿X的正方向發(fā)生單位位移，則由此所得的虛位移圖即為所求量值的影響線。靜力法繪制影響線把荷載Ｐ＝１放在結構的任意位置，以x表示該荷載至所選坐標原點的距離，由靜力平衡方程求出所研究的量值與x之間的關系（影響線方程）。根據該關系作出影響線。影響線定義當方向不變的單位荷載沿結構移動時，表示結構某一指定截面的某一量值（反力、內力、撓度等）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。第二十六頁，共四十七頁。一、當荷載位置固定時，求某量值的大小10.7影響線的應用1、集中荷載位置固定時，求某量值的大小y1y2y3ab/lMC影響線y1y2y3b/lQC影響線a/l第10章ABbClaP1P2P3DEF第二十七頁，共四十七頁。2、分布荷載位置固定時，求某量值的大小y1y2y3ab/lMC影響線y1y2y3b/lQC影響線a/lABbClaq(x)DE利用影響線求MC若q(x)為均布荷載，則上式成為：利用影響線求QC3、當集中荷載與均布荷載同時作用時，求某量值的大小第10章第二十八頁，共四十七頁。2110.50.50.250.254、舉例試利用影響線求C截面的彎矩和剪力。15kn8kn/m2m2m4m2mABC依據公式：第10章第二十九頁，共四十七頁。

補充例題

試利用影響線計算圖示多跨靜定梁在所給荷載作用下的ME、QE值。

FEA60kN6mBCGH3mD3m3m3m60kN3m3m3m4.5m40kN40kN10kN/m2.25m1.5m0.75mME影響線0.51/30.51/6QE影響線第10章第三十頁，共四十七頁。二、判別最不利荷載位置1、移動均布荷載最不利位置的確定當均布荷載布滿對應影響線正號面積時，有SMAX。當均布荷載布滿對應影響線負號面積時，有SMIN。CABMC影響線MCMAXMCMINCABQC影響線QCMINQCMAX第10章（１）任意斷續(xù)分布第三十一頁，共四十七頁。第10章（b）一段長度為d的移動均布荷載ab/lABbClaqddxdxy1y2均布荷載從當前的位置上右移一微段dx，MC的增量為：當dMC／dx＝０時，MC有極值。所以有：y1＝y(tǒng)2dMC＝q(y2dx–y1dx)結論：一段長度為d的移動均布荷載，當移動至兩端點所對應的影響線豎標相等時，所對應的影響線面積最大，此時量值S有最大值。

第三十二頁，共四十七頁。2、一組集中荷載作用下最不利位置的確定（影響線為三角形情況）（1）基本原理（2）一般情況下臨界荷載的判定（荷載、影響線如圖示）當荷載位于某一位置時S1=p1y1+p2y2++piyi

++pnyn當荷載向右移動x時S2=p1(y1+y1)+p2(y2+y2)+

+pi(yi+yi)++pn(yn+yn)S的增量

S=S2-S1=p1y1+p2y2+

+piyi++pnyn=（p1+p2+

+pi)X·h/a–(pi+1+Pi+2++pn)X·h/bP1P2Pi-1PnPn-1Piabhy1y2Yi-1yiYn-1yn分析式S=piyi，可知：當影響線頂點附近有較大和較密集的荷載時，有可能是最不利荷載位置。當荷載個數不多時，可以逐一計算集中荷載位于影響線頂點時的S值，并將計算結果加以比較，對應S值最大的情況，即為最不利荷載位置。第10章第三十三頁，共四十七頁。根據高等數學，當S為x的二次或二次以上函數時，函數的極值發(fā)生在ds/dx=0處，現在S=piyi為x的一次函數，故極值發(fā)生在斜率ds/dx變號的尖角處。這一極值條件可用S是否改變符號來判斷。要使S變號，必須有某一個荷載由影響線的一邊過渡到另一邊。即：只有當某一集中荷載位于影響線頂點時，才有可能使S變號，使S取得極值。這是必要條件，但不是充分條件。根據以上分析，由前式可知求極大值的條件為：（p1+p2+

+pk)X·h/a–(pk+1+Pk+2++pn)X·h/b≥0（p1+p2+

+pk-1)X·h/a–(Pk+pk+1++pn)X·h/b≤0也可以簡寫為通過影響線頂點，使S變號的荷載稱為“臨界荷載”。常用PK表示。第10章第三十四頁，共四十七頁。例題求圖示簡支梁在吊車荷載作用下，B支座的最大反力。P1=P2=478.5KN,P3=P4=324.5KN5.25m4.8m1.25mP1P2P3P4ABC6m6mP1P2P3P4（一）解：(1)考慮P2在B點的情況(圖一)：經檢驗,P2為臨界荷載:

(2)考慮P3在B點的情況(圖二)：經檢驗,P2為臨界荷載:

結論:比較(1)、(2),P2在B點最不利。RBMAX=784.28KNRB影響線0.12510.8750.75810.2RB=478.5×(1+0.125)+324.5×0.875=784.28KNRB=478.5×0.758+324.5×(1+0.2)=752.10KN（二）P1P2P3P4第10章第三十五頁，共四十七頁。一、簡支梁的絕對最大彎矩10.9簡支梁的內力包絡圖和絕對最大彎矩

2、如何確定絕對最大彎矩:

1、定義:

發(fā)生在簡支梁的某一截面,而比其它任意截面的最大彎矩都大的彎矩.。（1）絕對最大彎矩必是該截面的最大彎矩。（2）絕對最大彎矩必然發(fā)生在某一荷載之下。（3）集中荷載是有限的。取某一集中荷載作為產生絕對最大彎矩的臨界荷載，計算該荷載移動過程中的最大彎矩；類似地，求出其它荷載下的最大彎矩并加以比較，其中最大者即為絕對最大彎矩。第10章第三十六頁，共四十七頁。

3、PK位置的確定

PK所在截面的彎矩：Mk(x)=RA·x－M左-----------（1）式中M左為PK以左所有荷載對k截面的彎矩。MB=0:

RA·l－R(l－x－a)=0RA=R(l－x－a)/l----------(2)代(2)入(1):Mk(x)=R(l－x－a)x/l－M左求MK(X)的極值:

dMk(x)/dx=R(l－2x－a)/l=0∴x=(l－a)/2或x=l－x－aPK位置為

:PK與梁上所有荷載的合力對稱與中截面。第10章P1PkRPnABP2Pl/2l/2xal－x－akRARB第三十七頁，共四十七頁。

3、計算步驟（1）先找出可能使跨中產生最大彎矩的臨界荷載。（2）使上述荷載與梁上所有荷載的合力對稱于中截面，計算此時臨界荷載所在截面的最大彎矩。（3）類似地，計算出其它截面的最大彎矩并加以比較，其中最大者即為絕對最大彎矩。第10章第三十八頁，共四十七頁。例題求圖示簡支梁在吊車荷載作用下的絕對最大彎矩。已知：P1=P2=P3=P4=280KN解：1、考慮P2為臨界荷載的情況

(1)梁上有4個荷載（圖一）4.8m4.8m1.44mP1P2P3P4AB6m6mR=280×4=1120kNa=1.44/2=0.72mMB=0RA

×12-1120×(6-0.36)=0RA=526.4kn(M)X=5.64=RA×5.64－280×4.8=1624.9kN.m

RP1P2P3P4（圖一）AB6m6m0.36m0.36maRA=526.4kN第10章第三十九頁，共四十七頁。(2)梁上有3個荷載(圖二)：4。8m4.8m1.44mP1P2P3P4AB6m6mR=280×3=840kN依合力矩定理：R×a=P1×4.8-P3×1.44a=280×(4.8-1.44)/840=1.12mMB=0RA

×12-840×(6+0.56)=0RA=439.2kn(M)X=6.56=RA×6.56-280×4.8=1668.4kN.m

比較(1)、(2)，絕對最大彎矩(M)x=6.56=1668.4kN.m`2、考慮P3為臨界荷載的情況：通過與前面類似地分析，可知另一絕對最大彎矩：(M)x=5.44=1668.4kN.m

RAB6m6m（圖二）P1P2P3P40.56m0.56maRA=459.2kn例題求圖示簡支梁在吊車荷載作用下的絕對最大彎矩。已知：P1=P2=P3=P4=280KN第10章第四十頁，共四十七頁。二、簡支梁的內力包絡圖1、定義把梁上各截面內力的最大值和最小值按同一比例標在圖上，連成曲線。這一曲線即為內力包絡圖。2、繪制方法一般將梁分為十等份，先求出各截面的最大彎矩值，再求出絕對最大彎矩值；最后，將這些值按比例以豎標標出并連成光滑曲線。3、吊車梁內力包絡圖繪制舉例第10章第四十一頁，共四十七頁。一、用靜力法繪制超靜定梁影響線的工作十分繁雜10.9用機動法作超靜定梁影響線的概念ABx1=MAP=1基本體系ABlxP=1l-xAMP圖Bx(1-x)/ll-xxP=1例題試繪制圖示超靜定梁MA

影響線。由上式可知：

MA是x的三次函數。依上式繪出影響線如下：ABP=1MA

影響線l-xABM1圖x1=11(1-x)/lx第10章第四十二頁，共四十七頁。P=1二、用機動法繪制超靜定梁影響線基本體系P=1XkXk=1由基本體系：（外荷載是單位力）（位移互等定理）P=1k結論：為作某量值Xk的影響線，只要去掉與Xk相應的約束，并使所得的基本結構沿XK的正方