二階系統(tǒng)的階躍響應課件

第三節(jié)二階系統(tǒng)的階躍響應3.3二階系統(tǒng)的階躍響應1一、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學模型

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡化為二階系統(tǒng)來研究。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩頻率或自然頻率。這兩個參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)如圖所示。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應2特征根為：注意：當不同時，特征根有不同的形式，系統(tǒng)的階躍響應形式也不同。它的階躍響應主要有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：⒈當時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當時，特征方程有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為衰減的振蕩過程。⒊當時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。⒋當時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應3輸入階躍信號和階躍響應之間的誤差：誤差曲線呈現(xiàn)等幅振蕩形式。即系統(tǒng)在無阻尼情況下，不能跟蹤輸入的單位階躍信號。

3.3二階系統(tǒng)的階躍響應5⒉當時，系統(tǒng)極點為：稱為阻尼振蕩頻率。

3.3二階系統(tǒng)的階躍響應63.3二階系統(tǒng)的階躍響應73.3二階系統(tǒng)的階躍響應兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應系統(tǒng)極點為：極點的負實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。注意：。83.3二階系統(tǒng)的階躍響應階躍響應函數(shù)為：⒊當時，極點為：兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應103.3二階系統(tǒng)的階躍響應兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應⒋當時，極點為：即特征方程為特征方程還可為123.3二階系統(tǒng)的階躍響應兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應14過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應還可以寫為：

其中：

由于-p1和-p2均為負實數(shù)，所以過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應由兩個衰減的指數(shù)項組成。因而過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是非振蕩的單調(diào)上升曲線。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應15當阻尼系數(shù)z遠大于1，即–p1>>-p2時，在兩個衰減的指數(shù)項中，后者衰減的速度遠遠快于前者，即此時二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應主要由前者來決定，或者說主要由極點–p1決定，因而過阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點-p1的一階系統(tǒng)來近似表示。

3.3二階系統(tǒng)的階躍響應163.3二階系統(tǒng)的階躍響應

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應如下表所示：單位階躍響應極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負實根單調(diào)上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應173.3二階系統(tǒng)的階躍響應可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應183.3二階系統(tǒng)的階躍響應稱為阻尼角，這是由于。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標203.3二階系統(tǒng)的階躍響應⒉峰值時間：當時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標21⒊最大超調(diào)量：故：將峰值時間代入最大超調(diào)量僅與阻尼系數(shù)有關(guān)。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標233.3二階系統(tǒng)的階躍響應衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標243.3二階系統(tǒng)的階躍響應衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標⒋調(diào)節(jié)時間：可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達式是困難的。由右圖可知響應曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。263.3二階系統(tǒng)的階躍響應當t=t’s時，有：

由于實際響應曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實際響應來估算調(diào)節(jié)時間。即認為響應曲線的包絡(luò)線進入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。當z較小時，近似取，且所以衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標273.3二階系統(tǒng)的階躍響應衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標283.3二階系統(tǒng)的階躍響應衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標303.3二階系統(tǒng)的階躍響應⒌振蕩次數(shù)N：由此可見振蕩次數(shù)N僅與阻尼系數(shù)z有關(guān)。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標31通常希望系統(tǒng)的輸出響應既有充分的快速性，又有足夠的阻尼。因此，為了獲得滿意的二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應特性，阻尼系數(shù)應選擇在0.4和0.8之間。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應32工程上常取阻尼系數(shù)作為系統(tǒng)設(shè)計的依據(jù)，該阻尼系數(shù)稱為最佳阻尼系數(shù)。在這種情況下，典型二階系統(tǒng)的超調(diào)量為：上升時間tr為：峰值時間tp為：調(diào)整時間ts為：3.3二階系統(tǒng)的階躍響應33當阻尼系數(shù)z一定時，無阻尼振蕩頻率wn越大，上升時間、峰值時間和調(diào)整時間越短，響應速度越快。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應34阻尼系數(shù)z是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在z≥1的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但ts長。當z≤0時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。越大，（當一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。3.3二階系統(tǒng)的階躍響應35這是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間ts就可以描述瞬態(tài)過程的性能。利用牛頓迭代公式求出ts。（二）非振蕩瞬態(tài)過程：⒈對于，極點為：牛頓迭代公式：對f(x)=0，其根可迭代求出-3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標36⒉當時，極點為：若令3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標37在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項，所以是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。當時利用牛頓迭代公式可得當時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似式中此時調(diào)節(jié)時間由較大的時間常數(shù)決定。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標383.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標39此時，極點s2遠離虛軸，且c(t)中包含極點s2的指數(shù)項的系數(shù)絕對值大，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快。這時出現(xiàn)的問題是c(0)≠0。當時，極點為：，同時，c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項在解中所占比重小。因此可以考慮在瞬態(tài)過程中忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標40需要說明的是，在所有非振蕩過程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的時間響應，即希望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0.7左右。而不希望處于過阻尼情況(調(diào)節(jié)時間過長)。但對于一些特殊的不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)(如液位控制)和大慣性系統(tǒng)(如加熱裝置，艦船靠岸)，則可采用z>1的過阻尼系統(tǒng)。這時，閉環(huán)傳函應寫成時間常數(shù)形式，通過略去小時間常數(shù)來降階，而不能簡單地略去大極點來降階。這樣才能既保證降階的系統(tǒng)的初值和終值都與原系統(tǒng)一樣。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應非振蕩瞬態(tài)過程的性能指標41典型二階系統(tǒng)響應特性的小結(jié)⒈極點位置與階躍響應形式的關(guān)系單位階躍響應極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負實根單調(diào)上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應典型二階系統(tǒng)響應特性的小結(jié)423.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應z=0z=0.3z=1z=2z=00<z<1z=1z=2-1<z<0z=－0.05z=-1典型二階系統(tǒng)響應特性的小結(jié)⒈極點位置與階躍響應形式的關(guān)系典型二階系統(tǒng)響應特性的小結(jié)z=－143①阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6946.37°50.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7838.74°20.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15⒉極點位置與特征參數(shù)z、wn及性能指標的關(guān)系3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應44②wn是極點到原點的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應45③極點距虛軸的距離與系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間成反比(0<z<0.8)對于臨界阻尼和過阻尼時，此規(guī)律也存在。-1-2-3-40ts=4ts=2ts=1式中3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應46[例]：求如下隨動系統(tǒng)的特征參數(shù),分析與性能指標的關(guān)系。+n-電壓放大器+-+-功放C-K1K2R電動機傳遞函數(shù)為電壓放大器和功放的傳遞函數(shù)分別為K1和K2，可得方框圖3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應瞬態(tài)過程的性能指標例子47閉環(huán)傳遞函數(shù)為：⒈T不變，K↑下面分析瞬態(tài)性能指標和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系(假設(shè)):→N↑。→z↓→

d%↑→wn↑→wd↑→zwn=1/2T不變，ts幾乎不變總之，K增大振蕩加?。虎睰不變，T↑→N↑?！鷝↓→

d%↑→wn↓→wd↓→zwn=1/2T↓→ts↑實際系統(tǒng)中T往往不能變，要使系統(tǒng)性能好，則K↓，這對控制精度不利。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應瞬態(tài)過程的性能指標例子48磁盤驅(qū)動讀取系統(tǒng)例:1.假定簧片是完全剛性的,則有:3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應493.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應50四、改善二階系統(tǒng)響應特性的措施+n-電壓放大器+-+-功放3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應改善二階系統(tǒng)響應特性的措施513.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程[0,t1]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應出現(xiàn)正向超調(diào)。[t1,t2]誤差信號為負，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出達到最大值。[t2,t3]誤差信號為負，此時反向修正作用大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。改善二階系統(tǒng)響應特性的措施52二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1

點時。[t1,t2]反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。即在[0,t2]內(nèi)附加一個負信號，在[t2,t4]內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應改善二階系統(tǒng)響應特性的措施53a.輸出量的速度反饋控制--+-b.誤差的比例+微分控制將輸出量的速度信號c'(t)采用負反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構(gòu)成一個內(nèi)反饋回路。簡稱速度反饋。以誤差信號e(t)與誤差信號的微分信號e'(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡稱PD控制。又稱微分順饋為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和微分順饋是較常用的校正方法。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應改善二階系統(tǒng)響應特性的措施54a.輸出量的速度反饋控制---與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應改善二階系統(tǒng)響應特性的措施55+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應改善二階系統(tǒng)響應特性的措施56五、具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：零極點分布圖3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應具有零點的二階系統(tǒng)57由上圖可看出：使得比響應迅速且有較大超調(diào)量。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應具有零點的二階系統(tǒng)分析58設(shè)為零點和極點實部之比3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應具有零點的二階系統(tǒng)分析59具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應為：式中：，零極點分布圖3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應具有零點的二階系統(tǒng)分析60根據(jù)上式可以得出主要性能指標如下：式中：，，零極點分布圖3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應具有零點的二階系統(tǒng)分析61+-比例+微分控制的性能顯然，這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)?，而無阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調(diào)量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。這點可從前面所介紹的公式算出，也可由p75圖3-21看出。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應比例+微分控制的性能62具有零點的二階系統(tǒng)分析3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應63比例微分控制與測速反饋控制的比較⒈附加阻尼來源：比例微分控制的阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)的輸入端誤差信號的速度，而測速反饋控制的阻尼作用產(chǎn)生于系統(tǒng)的輸出端響應的速度，因此對于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對應較大的的穩(wěn)態(tài)誤差。⒉使用環(huán)境：比例微分控制對噪聲有明顯的放大作用，當系統(tǒng)輸入端噪聲嚴重時，一般不宜選用比例微分控制。同時微分器的輸入信號為系統(tǒng)的誤差信號，其能量水平低，需要相當大的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器；而測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)電機的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場合比較廣泛。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應64比例微分控制與測速反饋控制的比較⒊對開環(huán)增益和自然頻率的影響：比例微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和自然頻率均無影響；測速反饋控制雖不影響自然頻率，但卻會降低開環(huán)增益。因此，對于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益。開環(huán)增益的加大，必然導致系統(tǒng)自然頻率增大，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時，可能引起系統(tǒng)共振。⒋對動態(tài)系統(tǒng)的影響：比例微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的條件下，比例微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會大于測速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應65[解]：①③當T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當T不變時K=?3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應瞬態(tài)過程的性能指標例3-166[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標。--3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應瞬態(tài)過程的性能指標例3-267這時的瞬態(tài)性能指標為：顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了倍。上例中，若要求，則：3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應瞬態(tài)過程的性能指標例3-268[解]：[例3-3]對典型的