2020高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列（第1課時）等比數(shù)列學(xué)案 5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時等比數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解等比數(shù)列的定義（重點)。2。掌握等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用(重點、難點）.3。熟練掌握等比數(shù)列的判定方法(易錯點)．1。通過等比數(shù)列的通項公式及等比中項的學(xué)習(xí)及應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.借助等比數(shù)列的判定與證明,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1．等比數(shù)列的概念（1）文字語言：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．（2）符號語言：eq\f(an＋1，an）＝q（q為常數(shù)，q≠0，n∈N*）．思考：能將定義中的“每一項與前一項的比”理解為“每相鄰兩項的比”嗎？[提示］不能．2．等比中項（1)前提:三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列．(2)結(jié)論：G叫做a，b的等比中項．(3）滿足的關(guān)系式：G2＝ab．思考：當(dāng)G2＝ab時，G一定是a，b的等比中項嗎？［提示］不一定,如數(shù)列0，0，5就不是等比數(shù)列．3．等比數(shù)列的通項公式一般地，對于等比數(shù)列{an｝的第n項an，有公式an＝a1·qn－1．這就是等比數(shù)列{an｝的通項公式，其中a1為首項，q為公比．4．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項公式可整理為an＝eq\f(a1,q)·qn，而y＝eq\f(a1，q)·qx（q≠1)是一個不為0的常數(shù)eq\f（a1，q）與指數(shù)函數(shù)qx的乘積,從圖象上看，表示數(shù)列{eq\f（a1，q）·qn}中的各項的點是函數(shù)y＝eq\f（a1,q)·qx的圖象上的孤立點．思考：除了課本上采用的不完全歸納法，還能用什么方法求數(shù)列的通項公式．[提示]還可以用累乘法．當(dāng)n>2時，eq\f（an，an－1)＝q，eq\f(an－1，an－2）＝q，…，eq\f（a2,a1)＝q，∴an＝a1·eq\f（a2，a1）·eq\f(a3,a2）…eq\f(an－1，an－2)·eq\f（an，an－1）＝a1·qn－1.1．2＋eq\r（3）和2－eq\r（3）的等比中項是(）A．1B．－1C．±1D．2C［設(shè)2＋eq\r(3）和2－eq\r(3)的等比中項為a，則a2＝（2＋eq\r(3）)（2－eq\r（3)）＝1。即a＝±1。］2．下列數(shù)列為等比數(shù)列的序號是________．①2，22，3×22；②eq\f（1，a），eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3），eq\f（1,a4),eq\f(1，a5）(a≠0)；③s－1，（s－1）2,(s－1）3,(s－1）4，(s－1）5;④0，0,0,0，0.②［eq\f（22,2）≠eq\f(3×22，22)，所以①不是等比數(shù)列；②是首項為eq\f(1,a)，公比為eq\f（1，a）的等比數(shù)列；③中，當(dāng)s＝1時，數(shù)列為0，0,0，0，0,所以不是等比數(shù)列；④顯然不是等比數(shù)列．]3．等比數(shù)列｛an}中，a2＝2，a5＝eq\f（1，4），則公比q＝________．eq\f(1，2）[由定義知eq\f(a2，a1)＝eq\f(a3，a2）＝eq\f(a4，a3）＝eq\f(a5,a4)＝q,則a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝eq\f（1,4),②所以②÷①得q3＝eq\f(1，8），所以q＝eq\f(1,2）.］4．在等比數(shù)列｛an｝中，a4＝27,q＝－3，則a7＝________．－729[由等比數(shù)列定義知eq\f（a7,a6）＝eq\f(a6，a5）＝eq\f(a5，a4）＝q。所以a5＝a4q＝27×（－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3）＝243，a7＝a6q＝243×(－3）＝－729。]等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用【例1】在等比數(shù)列｛an}中．(1)已知a1＝3,q＝－2，求a6；（2）已知a3＝20，a6＝160，求an.［解］(1）由等比數(shù)列的通項公式得，a6＝3×(－2）6－1＝－96.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a1q2＝20，，a1q5＝160,）)解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(q＝2,，a1＝5。））所以an＝a1qn－1＝5×2n－1。1．等比數(shù)列的通項公式涉及4個量a1，an,n,q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個,在這四個量中，a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．2．關(guān)于a1和q的求法通常有以下兩種方法:(1）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組,求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．（2)充分利用各項之間的關(guān)系,直接求出q后，再求a1，最后求an,這種方法帶有一定的技巧性,能簡化運算．1．在等比數(shù)列｛an}中，（1）若它的前三項分別為5，－15，45，求a5；(2）若a4＝2，a7＝8,求an.［解］(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5,q＝eq\f（a2,a1）＝－3，∴a5＝405.（2）因為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a4＝a1q3，，a7＝a1q6，)）所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a1q3＝2,①，a1q6＝8，②）)由eq\f（②，①）得q3＝4，從而q＝eq\r(3,4）,而a1q3＝2，于是a1＝eq\f（2，q3)＝eq\f（1，2），所以an＝a1qn－1＝2eq\s\up15(\f（2n－5，3)）.等比中項【例2】（1)等比數(shù)列{an｝中，a1＝eq\f（1,8），q＝2，則a4與a8的等比中項是（）A．±4B．4C．±eq\f（1,4）D．eq\f(1,4）(2)已知b是a，c的等比中項，求證：ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項．思路探究：（1）用定義求等比中項．（2)證明(ab＋bc）2＝（a2＋b2)（b2＋c2）即可．(1）A［由an＝eq\f（1，8）·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4與a8的等比中項為±4.］（2）[證明]b是a，c的等比中項，則b2＝ac，且a,b，c均不為零，又(a2＋b2)(b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以（ab＋bc)2＝（a2＋b2)(b2＋c2），即ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項．等比中項應(yīng)用的三點注意(1)由等比中項的定義可知eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab），所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項．（2)在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項和后一項的等比中項．（3）a，G,b成等比數(shù)列等價于G2＝ab(ab〉0)．2．若1,a,3成等差數(shù)列，1,b，4成等比數(shù)列，則eq\f（a,b）的值為（）A．±eq\f（1,2)B．eq\f（1，2）C．1D．±1D［由題知2a＝1＋3，∴a＝2。由b2＝4得b＝±2，∴eq\f(a，b)＝±1.]3．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0,a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于（)A．2B．4C．6D．8B[∵an＝（n＋8）d，又∵aeq\o\al（2，k)＝a1·a2k，∴[(k＋8）d］2＝9d·（2k＋8)d,解得k＝－2（舍去),k＝4.]等比數(shù)列的判斷與證明［探究問題］1．若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，易知有eq\f（an＋1,an)＝q（q為常數(shù)，且q≠0)或aeq\o\al（2,n＋1）＝an·an＋2（an≠0，n∈N*)成立．反之,能說明數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？［提示]能．若數(shù)列{an｝滿足eq\f（an＋1，an)＝q（q為常數(shù)，q≠0)或aeq\o\al（2，n＋1)＝an·an＋2（an≠0,n∈N＊)都能說明{an｝是等比數(shù)列．2．若數(shù)列{an｝是公比為q的等比數(shù)列，則它的通項公式為an＝a1·qn－1（a，q為非零常數(shù)，n∈N*)．反之,能說明數(shù)列｛an}是等比數(shù)列嗎?［提示］能．根據(jù)等比數(shù)列的定義可知．【例3】已知數(shù)列的前n項和為Sn＝2n＋a，試判斷{an｝是否是等比數(shù)列．思路探究：①如何由求和公式得通項公式？②a1是否適合an＝Sn－Sn－1（n≥2）？需要檢驗嗎？[解]an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2）．當(dāng)n≥2時eq\f（an＋1,an）＝eq\f（2n，2n－1）＝2;當(dāng)n＝1時,eq\f(an＋1，an)＝eq\f（a2，a1）＝eq\f（2，2＋a).故當(dāng)a＝－1時，數(shù)列{an}成等比數(shù)列，其首項為1，公比為2;當(dāng)a≠－1時，數(shù)列｛an}不是等比數(shù)列．1．(變條件）將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變?yōu)椤癝n＝2－an"．求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列．［證明]∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝（2－an＋1)－（2－an）＝an－an＋1，∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2）an知an≠0,∴eq\f（an＋1，an)＝eq\f(1，2），∴{an}是等比數(shù)列．2．（變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“Sn＝2n＋a”變?yōu)椤癮1＝1，an＋1＝2an＋1"證明數(shù)列｛an＋1}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列｛an}的通項公式．[解］因為an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0.所以eq\f（an＋1＋1,an＋1）＝2(n∈N*），所以數(shù)列｛an＋1｝是等比數(shù)列．所以{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1。判斷一個數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列的方法（1)定義法：若數(shù)列{an｝滿足eq\f(an＋1,an）＝q（q為常數(shù)且不為零)或eq\f（an，an－1)＝q(n≥2，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列．(2）等比中項法：對于數(shù)列｛an｝，若aeq\o\al（2，n＋1）＝an·an＋2且an≠0，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列．（3)通項公式法：若數(shù)列｛an}的通項公式為an＝a1qn－1（a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．1．等比數(shù)列的判斷或證明(1）利用定義：eq\f(an＋1，an)＝q（q為與n無關(guān)的常數(shù)且不為零）．（2）利用等比中項:aeq\o\al（2，n＋1)＝anan＋2（n∈N*)．2．兩個同號的實數(shù)a,b才有等比中項,而且它們的等比中項有兩個(±eq\r（ab））,而不是一個(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方．3．等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量,已知其中三個量可求得第四個量．1．判斷正誤（1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列． （)（2）等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零． （)(3）常數(shù)列一定為等比數(shù)列． (）(4)任何兩個數(shù)都有等比中項． (）［答案]（1)×（2)×(3）×（4)×［提示](1）錯誤，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個常數(shù)時，該數(shù)列才是等比數(shù)列；（2）錯誤，當(dāng)公比為零時，根據(jù)等比數(shù)列的定義，數(shù)列中的項也為零；（3）錯誤，當(dāng)常數(shù)列不為零數(shù)列時,該數(shù)列才是等比數(shù)列；（4）錯誤．當(dāng)兩數(shù)同號時才有等比中項，異號時不存在等比中項．2．在等比數(shù)列{an}中,若a2＝4，a5＝－32,則公比q應(yīng)為（）A．±eq\f（1，2)B．±2C.eq\f(1，2)D．－2D[因為eq\f（a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2。]3．在等比數(shù)列{an}中,若公比q＝4，且前三項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________．4n－1[由題意知a1＋4a1＋16a1＝21,解得a1＝1，所以通項公式an＝4n－1.]4．已知數(shù)列｛an}是首項為2,公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)eq\s\up20（an)，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式．［解］依題意an＝2＋（n－1