2020高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末質(zhì)量檢測(cè)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末質(zhì)量檢測(cè)（二）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．直線l與平面α不平行，則(）A．l與α相交B．l?αC．l與α相交或l?αD．以上結(jié)論都不對(duì)解析：直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交．因?yàn)橹本€l與平面α不平行，所以l與α相交或l?α.答案：C2．若直線a、b異面,直線b、c異面，則直線a、c的位置關(guān)系是(）A．異面直線B．相交直線C．平行直線D．以上都有可能解析：如圖，當(dāng)c為AD、A1B1、A1D1的位置時(shí)，均滿足b，c異面，則c與a的位置關(guān)系分別為相交、平行、異面．故選D.答案：D3．若直線a與平面α不垂直，則平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有（）A．0條B．1條C．無數(shù)條D．不確定解析：若直線a與平面α不垂直，則當(dāng)直線a∥平面α?xí)r,平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a是異面垂直直線；當(dāng)直線a?平面α?xí)r，在平面α內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線a相交且垂直；當(dāng)直線a與平面α相交但不垂直時(shí)，在平面α內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線a垂直．所以，若直線a與平面α不垂直，則在平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有無數(shù)條．答案：C4．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B在平面β內(nèi),則在平面β內(nèi)且過點(diǎn)B的所有直線中(）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線解析:當(dāng)直線a?平面β,且點(diǎn)B在直線a上時(shí)，在平面β內(nèi)且過點(diǎn)B的所有直線中不存在與a平行的直線．故選A.答案：A5．若α∥β,A∈α，C∈α，B∈β,D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β內(nèi)的射影長(zhǎng)分別為9和5,則AB、CD的長(zhǎng)分別為（)A．16和12B．15和13C．17和11D．18和10解析：如圖，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分別為M、N，設(shè)AB＝x,則CD＝28－x，BM＝9，ND＝5，∴x2－81＝（28－x)2－25，∴x＝15，28－x＝13。答案:B6．正方體ABCD－A′B′C′D′中，E為A′C′的中點(diǎn)，則直線CE垂直于（）A．ACB．BDC．A′D′D．AA′解析:連接B′D′（圖略）,∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E。而CE?平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.答案：B7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，作截面EFGH(如圖)交C1D1,A1B1，AB,CD分別于E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的形狀為()A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．梯形解析：因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD于GH，交平面A1B1C1D1于EF，則有GH∥EF，同理EH∥FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形．答案:A8．對(duì)于直線m,n和平面α，β,γ，有如下四個(gè)命題:①若m∥α，n⊥m,則n⊥α；②若m⊥α，n⊥m,則n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ；④若m⊥α,m?β,則α⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)A．1B．2C．3D．4解析:①中n與α位置關(guān)系不確定;②中n可能在α內(nèi)；③中α與γ位置關(guān)系不確定；由面面垂直的判定定理可知④正確．故選A.答案：A9．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn),AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2eq\r(5），則異面直線BD與AC所成的角為(）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如圖,取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE即為異面直線BD與AC所成的角(或其補(bǔ)角)．由條件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(5）,所以∠BDE＝60°,故選C。答案：C10．［2019·貴陽市監(jiān)測(cè)考試]如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是（）A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析:A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P,所以AP⊥平面PBC,又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮CP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC,AP?平面APC，所以AP⊥BC,故C正確;D中,由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B。答案:B11．在等腰Rt△ABC中,AB＝BC＝1，M為AC的中點(diǎn),沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1,則二面角C－BM－A的大小為()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：如圖所示,由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝eq\r（2).∵M(jìn)為A′C的中點(diǎn)，∴MC＝AM＝eq\f(\r（2)，2),且CM⊥BM，AM⊥BM,∴∠CMA為二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1,MC＝AM＝eq\f（\r(2）,2），∴∠CMA＝90°.答案：C12．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，則點(diǎn)P到對(duì)角線BD的距離為（)A.eq\f(\r（29），2）B。eq\f（13,5)C。eq\f(17,5)D.eq\f（\r(119),5）解析：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接PE。∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE?！逜E＝eq\f（AB·AD,BD)＝eq\f(12，5)，PA＝1，∴PE＝eq\r(1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(12,5）））2）＝eq\f（13，5)。答案：B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．如圖,正方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．解析:∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC,∴F為DC中點(diǎn)．故EF＝eq\f(1,2）AC＝eq\r（2)。答案：eq\r(2）14．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,平面ACD1與平面BB1D1D的位置關(guān)系是________．解析：因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD.又因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD,所以D1D⊥AC。因?yàn)镈1D∩DB＝D，所以AC⊥平面BB1D1D.因?yàn)锳C?平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BB1D1D。答案：垂直15．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC,M，N分別是AD，BE的中點(diǎn),將三角形ADE沿AE折起,則下列說法正確的是________（填序號(hào))．①不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi)),都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置，都有MN⊥AE；③不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD.解析：分別取CE，DE的中點(diǎn)Q,P,連接MP，PQ,NQ，可證MNQP是矩形，所以①②正確；因?yàn)镸N∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，則PQ∥CE,又PQ與CE相交，所以③錯(cuò)誤；當(dāng)平面ADE⊥平面ABCD時(shí)，有EC⊥AD,④正確．故填①②④.答案：①②④16．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2），PA⊥平面ABCD，PA＝1,則PC與平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA＝eq\f（PA,AC)＝eq\f(1,\r(3)）＝eq\f（\r(3）,3）,∴∠PCA＝30°。答案:30°三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．(10分）如圖所示，空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB，AD的中點(diǎn),G，H分別在BC，CD上,且BG：GC＝DH:HC＝1：2.求證：(1)E，F(xiàn)，G,H四點(diǎn)共面；（2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上．證明：（1）∵BG：GC＝DH：HC,∴GH∥BD.又∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，∴EF∥GH，∴E,F，G，H四點(diǎn)共面．(2）∵G,H不是BC，CD的中點(diǎn)，∴EF∥GH，且EF≠GH，∴EG與FH必相交．設(shè)交點(diǎn)為M,而EG?平面ABC，HF?平面ACD，∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD，∴M∈AC，即GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上．18．(12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．(1）證明MN∥平面PAB；（2）求四面體N－BCM的體積．解析：(1)證明：由已知得AM＝eq\f(2，3）AD＝2。如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝eq\f（1，2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT。因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為eq\f（1，2）PA.如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r（AB2－BE2）＝eq\r(5）。由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5），故S△BCM＝eq\f（1,2)×4×eq\r（5）＝2eq\r(5）。所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝eq\f(1，3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5），3）。19．（12分）S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn),且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．（1)求證:SD⊥平面ABC;（2)若AB＝BC，求證:BD⊥平面SAC。證明：(1)如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB,∴△SAB為等腰三角形，∴SE⊥AB。又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD。在△SAC中,SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC。(2）由于AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D,∴BD⊥平面SAC。20．（12分)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N,G分別是AB，AD,EF的中點(diǎn)．（1）求證：BE∥平面MDF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG。證明：（1)如圖，連接AE,則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O,連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF。(2）因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG。又M為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN,又BD?平面MNG，MN?平面MNG,所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG。21．（12分）[2019·菏澤檢測(cè)]如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．(1)求證：OE∥平面BCC1B1；(2）若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.證明：(1）連接BC1，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，所以O(shè)為AC1的中點(diǎn),又因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),所以O(shè)E∥BC1，因?yàn)镺E?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1,所以O(shè)E∥平面BCC1B1.（2）因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因?yàn)锳C1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1,A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,因?yàn)锽C?平面A1BC，所以AC1⊥BC。22．（12分)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，連接ED,EC，EB和DB。（1)求證：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：（1）證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2，BB1＝BC＝1，E為D1C1的中點(diǎn)．所以△DD1E為等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°。所以∠DEC＝90°,即DE⊥EC。在長(zhǎng)方體