2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)真題源大題分類講義之專題11 圓錐曲線中的探究性問題（解析版）

11.圓錐曲線中的探究性問題一．探求點(diǎn)【例1】（2019年·新課標(biāo)Ⅱ）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn).故，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【例2】（2022年高三數(shù)學(xué)新高考測評卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)F到C的漸近線的距離為1.（1）求C的方程.（2）若直線與C的右支相切，切點(diǎn)為P，與直線交于點(diǎn)Q，問x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為，又由雙曲線的右焦點(diǎn)為，可得，所以到漸近線的距離，所以，所以C的方程為.（2）由題意易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立與C的方程，消去y，得，因?yàn)橹本€與C的右支相切，所以，（雙曲線右支上的點(diǎn)需滿足的條件），得，則，設(shè)切點(diǎn)，則，，設(shè)，因?yàn)镼是直線與直線的交點(diǎn)，所以，，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)，使得，則，故存在，使得，即，所以x軸上存在定點(diǎn)，使得.【例3】（2015年·新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線交與M,N兩點(diǎn)，（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【解析】（1）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的導(dǎo)數(shù)值為-，曲線C在處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，，，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.∴.∴==.當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.【方法技巧】圓錐曲線中的存在性問題具有開放性和發(fā)散性，此類問題的條件和結(jié)論不完備.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論．（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件．（3）當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意．二．探求直線【例4】（江西省贛州市2022屆高三上學(xué)期期末）已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設(shè)過點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【解析】（1）由,由,,故,∴,∴,∴，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不合題意，不妨設(shè)直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因?yàn)椋?，得，即?），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.【方法技巧】存在性問題的求解方法（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．（2）反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法．【演練提高】1.（河南省駐馬店市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）已知橢圓的左、右端點(diǎn)分別為，，其離心率為，過的右焦點(diǎn)的直線與交于異于，的，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．（1）求的方程．（2）若直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求出此定直線方程；若不是，請說明理由．【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橹本€斜率不存在時(shí)，可得，由題意得，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，則，，所以，由題意可得直線的方程為，直線的方程為，則，即，把代入上式，得，即，故點(diǎn)在定直線上．2.（天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段檢測）已知橢圓C：（a＞b＞0）上的點(diǎn)到它兩個焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn).（1）求圓O和橢圓C的方程；（2）設(shè)P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點(diǎn)（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點(diǎn)M，N，試判斷QM與QN所在的直線是否互相垂直，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可得，解得，，所以圓的方程為，橢圓的方程為．（2）．證明：設(shè)，，，，則，即，又由得，由，得，所以，，，．，，所以，所以．3.（江蘇省泰州中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線x＝－4上的動點(diǎn)，過P作兩條相異直線和，其中與拋物線C：交于A、B兩點(diǎn)，與C交于M、N點(diǎn)，記、和直線OP的斜率分別為、和．（1）當(dāng)P在x軸上，且A為PB中點(diǎn)時(shí)，求|k1|；（2）當(dāng)AM為△PBN的中位線時(shí)，請問是否存在常數(shù)μ，使得？若存在，求出μ的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由條件知P（-4，0）且，設(shè)，所以消去x可得，所以又因?yàn)锳為PB中點(diǎn)，所以．所以所以，所以，所以；（2）設(shè)，所以，所以．．因?yàn)锳M為△PBN的中位線，所以A為PB的中點(diǎn)，M是PN的中點(diǎn)，所以，即，即又，所以所以，所以①．．．同理，②由①②可知：是滿足方程的兩個根．所以．所以所以．．．．．，所以，所以所以存在常數(shù)使得成立．4.（安徽省六安市示范高中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以此橢圓的上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得

①

因?yàn)?，所以?/p>

由①②得③，由②③得，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)能構(gòu)成等腰直角，其中B(0，1)，由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)邊所在直線的方程為(不妨設(shè))聯(lián)立直線方程和橢圓方程得：，得，用代替上式中的，得，由得，即，，故存在三個滿足題設(shè)條件的內(nèi)接等腰直角三角形.5.（江西省宜春市2022屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測）已知橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)（），分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線m交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)，A，B三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形OAPB，是否存在直線m，使得點(diǎn)P在橢圓C上？若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由.【解析】（1）橢圓的離心率為，，

又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，解得則橢圓的方程為：（2）依題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線方程與，整理得，則，設(shè)，由四邊形為平行四邊形，得，則，即，若點(diǎn)落在橢圓上，則，

即，

整理得，令，故上式等價(jià)于，解得（舍去），故斜率存在時(shí)，不存在直線滿足題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程，此時(shí)存在點(diǎn)在橢圓上.綜上，存在直線：，使得點(diǎn)在在橢圓上.6.（山西省臨汾市2022屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面α相切，兩個球分別與平面α相切于點(diǎn)，，丹德林（）利用這個模型證明了平面x與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點(diǎn)，這兩個球也稱為Dandelin雙球.若平面α截圓錐得的是焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為的橢圓，圓錐的頂點(diǎn)V到橢圓頂點(diǎn)的距離為，圓錐的母線與橢圓的長軸垂直，圓錐的母線與它的軸的夾角為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0），過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線BQ與直線交于點(diǎn)E，試問直線EA是否垂直于直線l？若是，寫出證明過程；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題知∶由，解得

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然EA⊥直線l當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，可設(shè)其方程為∶，聯(lián)立整理得∶，顯然由韋達(dá)定理得∶直線的方程為∶令，得因?yàn)椋?，所以，韋達(dá)定理代入得∶即，所以EA⊥直線l.7.（廣東省六校2022屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，，動圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相外切，記動圓的圓點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）試問，在軸上是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的動直線交于，兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)動圓的半徑長為，則，，.因此，圓心的軌跡為以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線的右支，設(shè)的方程為（），則根據(jù)雙曲線定義，，，因此的方程為（）.（說明：沒寫的范圍扣1分）（2）不存在滿足條件的點(diǎn)，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，則直線的方程為，由消去并整理，得，設(shè)、，則，，（*）由，得，即，將，代入上式并化簡，得.將（*）式代入上式，有，解得.而當(dāng)直線交于，兩點(diǎn)時(shí)，必須有且.當(dāng)時(shí)，，，由無解，則當(dāng)時(shí)，不符合條件.因此，不存在滿足條件的點(diǎn).8.（上海市松江區(qū)2022屆高三一模）（1）求雙曲線的方程；（2）若對任意的，直線與雙曲線總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意可知，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的方程為；（2）聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)易知時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，不符合題意，所以，且，即，所以，所以，解得，所以；（2）設(shè)，所以，當(dāng)斜率不存在時(shí)，可知不符合，所以設(shè)直線，所以，①聯(lián)立，得，所以

②，把②代入①化簡得：，所以當(dāng)時(shí)，得，此時(shí).9.（江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2022屆高三2月第一次聯(lián)考）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上的動點(diǎn)，Q為P在動直線y＝t（t＜0）上的投影．當(dāng)△PQF為等邊三角形時(shí)，其面積為．（1）求C的方程；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與C相切，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線OQ與線段AB交于點(diǎn)M．試問：是否存在t，使得△QMA和△QMB面積相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，∵為等邊三角形時(shí)，其面積為，∴，解得，∵Q為在動直線上的投影，∴；當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，由拋物線的定義知，，∴，解得，∴C的方程為；（2）設(shè)，，則，，∵，∴，∴切線，即，聯(lián)立方程，∴∵．∴，，∵△QMA和△QMB的面積相等，且A，M，B在同一條直線上，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴，即，則，所以存在，使得△QMA和△OMB的面積相等恒成立．10.（黑龍江省2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期校際聯(lián)合考試1）圓的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定點(diǎn)，對任意過點(diǎn)的直線（在橢圓上且異于兩點(diǎn)），都有.若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得：，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知：，；①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由得：或，若，，則，，，解得：；若，，同理可求得：；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，則；設(shè)直線，由得：，，解得：，，又，同理可得：，，，整理可得：，當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上所述：存在滿足題意的點(diǎn)，使得恒成立，此時(shí).11.（安徽省六校教育研究會2022屆高三下學(xué)期2月第二次聯(lián)考）已知點(diǎn)A，B是拋物線x2=2py(p為常數(shù)且p>0)上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩個點(diǎn)，且.（1）求證：直線AB過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)M，記OMA、OAB、OMB的面積分別為S1、S2、S3;是否存在定值使得S2=S1S3?若存在，求出值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)，，易知直線AB斜率存在，可設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立，消去y得∴∴∵點(diǎn)不同于原點(diǎn)，∴，∴，∴，∴直線的方程為，即直線過定點(diǎn)（2）設(shè)，，由求導(dǎo)得:，

∴，過點(diǎn)A的切線方程為：……①同理可求得過點(diǎn)B的切線方程為：……②聯(lián)立①②得:，解此方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為.由（1）得，

∴，∵直線的方程為：，∴點(diǎn)到的距離為，∴同理可求得：而.∵直線AB方程為，∴原點(diǎn)O到AB的距離∴，∴∴，∴，即存在定值使得恒成立.12.（天津市濱海新區(qū)七所重點(diǎn)學(xué)校2022屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考）已知橢圓：（）的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，所在的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），問是否存在直線使得的面積是面積的倍？若存在，求直線的方程，并求此時(shí)四邊形的面積，若不存在，請說明理由.【解析】（1）因?yàn)橹獧E圓：（）的焦距為，所以，又因?yàn)樵摍E圓過，所以，因此，因此該橢圓的方程為：；（2）顯然直線存在斜率，設(shè)為，該直線方程設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立，得，或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，則有成立，因此點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為：，把它代入橢圓方程中，得：，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，它的橫坐標(biāo)為：，即，點(diǎn)到直線的距離為：，點(diǎn)到直線的距離為：，假設(shè)存在直線使得的面積是面積的倍，則有：，因?yàn)闉榫€段