2008A題數(shù)碼相機(jī)定位

數(shù)碼相機(jī)定位問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。參照系統(tǒng)標(biāo)定的方法建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；對由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)；設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)建立的模型，并對方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。符號(hào)說明r..對應(yīng)兩點(diǎn)的距離(i=1,2,3;j=1,2,3,4)婦y待定系數(shù)七，y.,乙.，n，y'，Z'對應(yīng)點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)iiiiii(i=1,2,3)t1，12，七關(guān)系系數(shù)r光學(xué)中心到像平面的距離r兩部相機(jī)之間的距離模型假設(shè)兩部相機(jī)的型號(hào)相同即像距相等。假設(shè)像平面在光學(xué)中心的正后方，即建立的二維坐標(biāo)系原點(diǎn)在原三維坐標(biāo)系的z軸上。靶標(biāo)可以認(rèn)為是一個(gè)平面，并且是硬性物體，其上任意兩點(diǎn)的距離不發(fā)生變化。模型的建立及求解問題一：給出相機(jī)成像的原理參照圖如下圖（1）：圖（1）對于第一個(gè)問題，我們需要建立一個(gè)模型來確定靶標(biāo)上任意圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。系統(tǒng)標(biāo)定的實(shí)際做法是在物平面上畫若十個(gè)圓，由于物平面和像平面有存在著夾角，所以他們的像一般會(huì)變形，所以在像平面中我們難以確定一個(gè)不規(guī)則的圖形的幾何中心，并且?guī)缀沃行乃鶎?yīng)的實(shí)物并不一定是圓的圓心。

1、靶標(biāo)和像的關(guān)系我們知道，任意兩個(gè)圓都存在公切線，當(dāng)相機(jī)成像之后公切線仍然存在，并且這些切線也是相片上那些不規(guī)則圖形的公切線。根據(jù)這個(gè)原理，我們在物平面上畫3個(gè)圓o，O2，氣分別取他們之間的三條外公切線組成一個(gè)三角形ABC。（如圖2）。在像平面中我們也能通過軟件給3個(gè)圓的成像做出3條公切線，這3條線組成的三角形就是ABC的像A'B'Co（如圖3）圖（2）圖（3）2、在像平面建立二維坐標(biāo)我們采取直接在像平面上建立二維坐標(biāo)的方式。首先，我們默認(rèn)像平面為一個(gè)有限的長方形，其分辨率1024X768可以當(dāng)作平面的劃分，并且用來標(biāo)記坐標(biāo)，我們把平面看成1024X768個(gè)小方格。把坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在長方形的中心，這樣x,y坐標(biāo)的范圍就分別在(-512,512),(-384,384)。3、確定像坐標(biāo)與靶坐標(biāo)上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系我們知道，三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。在圖2中我們設(shè)A',礦,C'在像平面上的坐標(biāo)為A'(x',")，B(廠,y')，C'(x',")。TOC\o"1-5"\h\z112233由于x-y平面平行于像平面，建立的二維坐標(biāo)系原點(diǎn)在原三維坐標(biāo)系的z軸上。故我們可以知道A',B'C在三維坐標(biāo)系上的坐標(biāo)A'(x提，,廠)，111B(x',y',")，C(x',y',")。222333其中廠="="=R，R為像距(即三維坐標(biāo)中心到二維平面的距離)另外，在物平面上設(shè)A(x,y,z)，B(x,y,z)，C(x,y,z)111222333根據(jù)成像的原理，在三維坐標(biāo)系中AOA',BOB',COC'則有關(guān)系：r,,x.=tx<y=ty'TOC\o"1-5"\h\z「''(/=1,2,3)(1.1)z=tz'Iiii所以A,B,C的坐標(biāo)表示為A(tx',ty',tz')，B(tx',ty',tz')，111111222222C(tx,,ty',tz')。3333334、計(jì)算t，t，t的值123對于靶坐標(biāo)，任何兩點(diǎn)之間的距離都可以通過測量得出，設(shè)測得值IAB1=rIBC1=rIAC1=r尤-尤)2+(y-y)2+(z-z)2=r212121212TOC\o"1-5"\h\z則有］G-尤)2+(y-y)2+(z-z)2=r2(1.2)八j口23232323G-尤)2+(y-y)2+(z-z)2=r2、13131313此方程只有Z,,,Z三個(gè)未知數(shù)，所以能求得解。1235、靶標(biāo)上任意圓圓心對應(yīng)在像平面上的像坐標(biāo)根據(jù)以上得到的數(shù)據(jù)，給出靶標(biāo)上任意圓的圓心D，我們可以測量D與A,B,C之間的距離來確定D的坐標(biāo)設(shè)d的坐標(biāo)為D(x,y,z)，D到A,B,C之間的距離分別為IADI=z,|BDI=七，|CDI=r34(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2=r211114TOC\o"1-5"\h\z則有<(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2=r2(13)則有22224(L3)(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2=r2、33334此方程也只有x,y,z三個(gè)未知數(shù)，所以能求得D點(diǎn)坐標(biāo)D(x,y,z)。D'為D在像平面上對應(yīng)的點(diǎn)根據(jù)的DOD'共線關(guān)系可得D，點(diǎn)的坐標(biāo)為D'(-,y,z)ttt而D'在像平面上，故z/1=R，所以t=z/R所以D'的坐標(biāo)就確定了D，(~R,%,R)(其中x，y，z是與x，y，z有關(guān)的常數(shù)，廣1，2,3)yiii問題二：我們來解決實(shí)際問題。我們用AutoCAD打開題目給出的照片文件，然后我們把相片上的不規(guī)則圖形按橢圓擬合在通過CAD上的捕捉切點(diǎn)的功能分別找到3條公切線，并設(shè)這3條公切線的交點(diǎn)為m',N',q'，如圖(4):

圖(4)通過CAD上的坐標(biāo)定位，找到M',N',q'在CAD上的坐標(biāo)，再通過一定的轉(zhuǎn)換把他們的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到像平面上(即以像素為單位)。M',N',q，在像平面上的坐標(biāo)為m'(-226.11,238.802)N'(223.1317,201.5533)Q-(-277.2719,-202.0605)另外在物平面上，我們找到M,N,Q間的長度關(guān)系，如下圖(5)：圖（5）|MN|=140.9706（mm）=532.8689（像素）|MQ|=140.9706（mm）=532.8689（像素）|NQ|=199.3625（mm）=753.5904（像素）根據(jù)我們上面建立的模型，把以上數(shù)據(jù)帶入方程（1.2）可以算得ft=-1.18431"=-1.1785（其余數(shù)據(jù)舍去，算法理由在附錄1中給出［2］）2t=-0.9919I3算出M,N,Q在三維坐標(biāo)系上坐標(biāo)M（267.8,-282.8,-1867.6）n（-263.0,-237.5,-1858.5）Q（275.0,200.4,-1564.2）由于距離的測量是存在誤差的，這樣用距離公式進(jìn)行計(jì)算，很有可能會(huì)找不到目標(biāo)點(diǎn)，所以我們下面采用向量的方法解決此問題。又根據(jù)幾何向量知識(shí)得到：對于任意一點(diǎn)H都有：MU=uMN+v而貝UOH=（1-u-v）OM+uoN+voq根據(jù)上面公式我們可以求得Oa,OB,元，OD,OE所對應(yīng)的u，v值如下表：表（1）：OAOBOCODOEu(on)u0.08510.29790.79450.79450.0851v(OQ)0.08510.08510.08510.79450.79451-u—v(OM)0.82980.61700.1204-0.58900.1204M,N,Q的坐標(biāo)均已求出，故我們可以得到A,B,C,D,E在三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)如下表：表（2）：坐標(biāo)軸ABCDEx223.2110.3-153.3-148.2228.3y-237.8-228.2-205.7137.1105.0z-1841.0-1839.1-1834.6-1619.3-1625.8（單位：像素）經(jīng)過MATLAB編程可得到其像A',b',C',D',礦的坐標(biāo)為（程序見附錄2）[2]：表（3）：坐標(biāo)軸A'B'C'D'E'x-191.2-94.6131.8144.3-221.5y203.7195.7176.8-133.5-101.8z1577.01577.01577.01577.01577.0（單位：像素）所以圓心像點(diǎn)A',B‘,C',D'，礦在像平面上的二維坐標(biāo)分別為坐標(biāo)軸A'B'C'D'E'x-191.2-94.6131.8144.3-221.5y203.7195.7176.8-133.5-101.8（單位：像素）問題二：由于空間中一點(diǎn)我們是以點(diǎn)所在的像素小方格得到他的坐標(biāo)，這樣得到點(diǎn)的坐標(biāo)就會(huì)產(chǎn)生誤差，且和相機(jī)分辨率有關(guān)了，假如圖像識(shí)別精度達(dá)到1個(gè)像素級(jí)，那么對于空間一物點(diǎn)，設(shè)其在像平面上的第Z?行，第j列的像素中。只要該點(diǎn)在該像素內(nèi)，則該點(diǎn)坐標(biāo)即已經(jīng)確定這樣得到誤差有：(3.1)其中[X],[y]分別為對x,y求整以M-(-226.11,238.802)，n'(223.1317,201.5533)，Q，(-277.2719,-202.0605)為例，m在像平面上坐標(biāo)為(267.8,-282.8)則得到坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)之間的誤差由(3.1)式得：exm=0.11〈eym=0.198exn=0.8683(32)eyn=0.4467fexq=0.2719〈eyq=0.0605理想坐標(biāo)與實(shí)際物理坐標(biāo)關(guān)系為：x=x+Ex,y=y+Ey從而得到m',N'q的理想坐標(biāo)分別為(-226.22,238.614),(222.2634,201.1066),(-277.5438,-202.1210)在根據(jù)問題2提出的模型可得到新的A',B',C',D',E'在像平面上的坐標(biāo)為表(4)：坐標(biāo)軸A'B'C'D'E'x-191.4-95.0131.0143.1-221.9y203.5195.4176.4-134.0-102.0z1577.01577.01577.01577.01577.0(單位：像素)與原來的A',B',C',D',E，的坐標(biāo)比較得表(5)：相對誤差A(yù)'B'C'D'E'dxx0.12%0.39%0.63%0.87%0.17%dyy0.10%0.15%0.22%0.38%0.17%dzz00000(其中竺表示所求坐標(biāo)與理想坐標(biāo)之間的相對誤差)x問題四：其模型可看成是由兩個(gè)單照相機(jī)成像組合而成，其示意圖如圖(6)所示:

圖（6）圖（6）中匕，l2為p（x”,乙）經(jīng)過兩光學(xué)中心的光線。確定了他們兩之間的距離r也就固定了兩部相機(jī)的相對位置.兩相機(jī)的像距都是r,c1,C2分別為左

右相機(jī)的像平面，P1，P2為物平面上坐標(biāo)點(diǎn)p（x,y,z）在兩個(gè)像平面上的像?？臻g點(diǎn)P與像點(diǎn)P（x,y）,P（x,y）對應(yīng)關(guān)系是一個(gè)三維到二維平面的變換。又P,O,P1112221三個(gè)點(diǎn)共線得關(guān)系：x=—X1z(4.1)-Ry——Y1z由小孔成像和三角關(guān)系得到：(4.2)二XR(4.3)x2z-R二YR(4.4)y2z-R由（4.1），（4.2），（4.3），（4.4）得：—ZX——xR1(4.5)—ZY——yR1(4.6)—rR(4.7)ZR—x-x由像平面可以得到x,x,y的具體值，又由模型1得到z的值，即x,x12121R,Z已知，由式（4.7）得:(4.8)=（R-Z）（X-x）R(4.8)即可計(jì)算出，的值。備注：I根據(jù)Bug瞄chi提出的針扎模型，空間任意一點(diǎn)F在圖像上的投影位置為光心。與p點(diǎn)的連線口P勺圖像平面的交點(diǎn)。列出透視方程fXcfYc壽=方一,y=/<7匕。其中（E為的物理圖像坐標(biāo)，（入6電，及7）為空間點(diǎn)F在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：本模型通過找到公切線交點(diǎn)不會(huì)由于角度問題而在圖像中丟失的特性巧妙的解決了圖像變形問題；利用MATLAB處理了大量的公式計(jì)算，以及繁瑣的坐標(biāo)運(yùn)算；第二問中采取向量的方法避免了求坐標(biāo)時(shí)可能產(chǎn)生無解的錯(cuò)誤。缺點(diǎn)：本模型假設(shè)中把圖像中不規(guī)則圖形近似為橢圓會(huì)使數(shù)據(jù)產(chǎn)生一定誤差，在此問題上如能得到解決數(shù)據(jù)將會(huì)進(jìn)一步精確。具體做法可以采用某種圖像處理工具直接找到不規(guī)則圓滑圖形的切線。摘要本文對相機(jī)定位的系統(tǒng)標(biāo)定這一步驟進(jìn)行了分析，利用空間坐標(biāo)變換、向量計(jì)算、曲線擬合和誤差分析的數(shù)學(xué)方法處理問題。問題一：為了解決物平面與像平面可能存在夾角這個(gè)問題，建立三維的空間坐標(biāo)系。在物平面中，首先選出三個(gè)圓，作出每兩個(gè)圓的公切線，組成三角形。使三個(gè)圓切于三角形內(nèi)部。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就是物平面中三個(gè)定點(diǎn)。在像平面中，找到與之對應(yīng)的圓的像，同樣方法得到對應(yīng)的三個(gè)定點(diǎn)的像。通過相機(jī)成像的原理找到定點(diǎn)與像之間的關(guān)系，再通過物平面可以確定的距離關(guān)系建立方程組，這個(gè)方程組可以解決物與像之間的關(guān)系系數(shù)"。然后利用這些系數(shù)再加上空間距離關(guān)系，計(jì)算出物平面上任意一點(diǎn)在像平面上的空間坐標(biāo)。最后利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到該點(diǎn)在像平面上對應(yīng)像的二維坐標(biāo)。問題二：給出靶標(biāo)和其像，利用問題一建立的模型，結(jié)合空間向量的知識(shí)得到解決的方案，來確定給出的五個(gè)圓的圓心在其對應(yīng)的像平面的像坐標(biāo)。問題三：由于圖像識(shí)別精度，實(shí)際得到的坐標(biāo)是有誤差的，我們可以得到靶標(biāo)上點(diǎn)的像的另外一組坐標(biāo)值，再按問題二的方法就可得到靶標(biāo)上圓的圓心的像的另外一組像坐標(biāo)，與原來的圓心形成的像坐標(biāo)進(jìn)行相對誤差分析，從而檢驗(yàn)問題一中建立的模型的準(zhǔn)確性。問題四：其模型可看成是由兩個(gè)單個(gè)照相機(jī)成像組合而成，根據(jù)成像原理進(jìn)行分析，最后可得到兩個(gè)相機(jī)的相對位置r的值。關(guān)鍵詞：坐標(biāo)變換相對位置雙目定位曲線擬合參考文獻(xiàn)：賈云得，機(jī)器視覺[M].北京：北京科學(xué)出版社，2000:1-85.鄭阿奇，MATLAB實(shí)用教程.北京：電子工業(yè)出版社，2007.8.附錄：附錄1(MATLAB程序):>>A1=[-226.11,238.802,1577];>>B1=[223.1317,201.5533,1577];>>C1=[-277.2719,-202.0605,1577];>>t=[0.6854,0.3146,0];>>h1=[-1.1843,-1.1785,-0.9919];>>h2=[-1.0348,-1.1623,-1.1794];>>a=[-1.1843,-1.0348];>>b=[-1.1785,-1.1623];>>c=[-0.9919,-1.1794];>>A=a'*A1;>>B=b,*B1;>>C=c'*C1;>>H1=[A(1,:);B(1,:);C(1,:)];>>H2=[A(2,:);B(2,:);C(2,:)];>>a1=t*H1;>>a2=t*H2;>>g=[-84.9284,228.2597,1577];>>o1=a1./g；o1=

-1.1870-1.1766-1.1825>>o2=a2./go