2014年北京高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

3來源于網(wǎng)絡(luò)3來源于網(wǎng)絡(luò)絕密★啟封并使用完畢前2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)已知集合A={xlx2—2x=0},B={0,1,2}，若ApB=(1)(2)(3)(A){0}(B){0,1}(C){0,2}(D){0,1,2}下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+a｝上為增函數(shù)的是(B)y=(x-1)2(C)y=2-x(d)y二(2)(3)(A){0}(B){0,1}(C){0,2}(D){0,1,2}下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+a｝上為增函數(shù)的是(B)y=(x-1)2(C)y=2-x(d)y二log0gx+1)x=—1+cos0y=2+sin0'(o為參數(shù))的對稱中心(A)在直線y=2x上(B)在直線y=-2x上(C)在直線y=x—1上(D)在直線y=x+1上⑷當(dāng)m=7,n=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(A)7(B)42(C)210(D)840⑸設(shè)｛a｝是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“｛a｝”為遞增數(shù)列的nn(A)充分且不必要條件(B)必要且不充分條件(C)充分且必要條件(D)既非充分也非必要條件⑹若x,y⑹若x,y滿足<x+y—2>0kx一y+2>0且z=y—x的最小值為—4，則k的值是y>0(A)2(B)-2(C)2(D)⑺在空間坐標(biāo)系O-(A)2(B)-2(C)2(D)⑺在空間坐標(biāo)系O-xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1Q，若S，s,-2S3分別表示三棱錐D—ABC在xOy，yOz，zOx則坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A)S1=S2=S3(B)S=S且S豐S(C)S=S且(A)S1=S2=S3(B)123113322315)5)D6)D(7)D(8)B來源于網(wǎng)絡(luò)來源于網(wǎng)絡(luò)來源于網(wǎng)絡(luò)(8)有語文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績評定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若A同學(xué)每科成績不低于B同學(xué)，且至少有一顆成績比B高，則稱“A同學(xué)比B同學(xué)成績好，”現(xiàn)在若干同學(xué)，他們之中沒有一個人比另一個人成績好，且沒有任意兩個人語文成績一樣，數(shù)學(xué)成績也一樣的。問滿足條件的多少學(xué)生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)復(fù)數(shù)(10)已知向量a、二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)復(fù)數(shù)(10)已知向量a、b滿足Ia1=1，b=(2,1)且九a+b=0，則I九1=(11)在設(shè)曲線C經(jīng)過點3)，且話-x2=1具有相同漸近線'則C的方程是(12)若等差數(shù)列｛a｝滿足a+a+a>0，a+a<0，則當(dāng)n=n789710時，｛a｝的前n項和最大.n(13)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有種．(14)，則f((14)，則f(x)的最小正周期為設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(?x+申)(A,3,申是常數(shù)，A>0,e>0)，若f(x)在區(qū)間工，］上具有單調(diào)性，且62三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟。三、兀1(15)(本小題13分)如圖，在AABC中，上B=3，AB=8，點D在BC邊上，且CD=2，COSZADC=-(I)求sinZBAD.(i[)求bd，AC的長.(16)(本小題13分)李明在10場籃球比賽中的投籃情況如下(假設(shè)各場比場次投籃次數(shù)(16)(本小題13分)李明在10場籃球比賽中的投籃情況如下(假設(shè)各場比場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512獨(dú)立)I)賽相互從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；[)(III)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，另一場不超過0.6的概率；[)(III)記x是表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比

E(X)和x的大小。(17)(本小題14分)如圖，正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM和MD的中點，在五棱錐P-ABCDE中,F為PE的中點，平面ABC與棱PD，PC分別相較于點G、H.(I)求證：AB//FG；恒成橢圓(II)若PA丄平面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成的角，并求線段PH的長恒成橢圓(18)(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=xcosx—sinx，xg[0,—]立，求a的最大值與b的最小值.(I)求證：f(x)<0；(II)若a<sinx<b在(0,2立，求a的最大值與b的最小值.(19)(本小題14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(I)求C的離心率;(II)設(shè)0為原點，若點A在橢圓G上，點B在直線y=2上,OA丄OB，求直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(20)(本小題13分)對于數(shù)對序列P(a,b)，(a,b)...(a,b)，1122，'nn記T(P)=a+bT(P)=b+max{T(P),a+a++a}(2<k<n)TOC\o"1-5"\h\z111,kkk—112k，苴中max{T(P),a+a++a}表示T(P)和'a+a++a兩個數(shù)中最大的數(shù).k—112kk—1\■.12k對于數(shù)對序列P(2,5)，(4,1)求T(P)T(P)；…12記m為四個數(shù)a、b、c、d的最小值，對于兩個數(shù)對(a,b)，(c,d)組成的數(shù)對序列P(a,b)，(c,d)和P'(c,d),(a，b)，試分別對m=a和m=b時的情況比較T2(P)和T2(P')的大?。?III)在由5個數(shù)對(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)組成的有序數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列P使—(P)最小，并寫出T5(P)的值(只需寫出結(jié)論)。絕密★考試結(jié)束前2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)參考答案一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)1)1)C2)A(3)B(4)C二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)來源于網(wǎng)絡(luò)來源于網(wǎng)絡(luò)(III)EXX.來源于網(wǎng)絡(luò)(III)EXX.來源于網(wǎng)絡(luò)9)1(10)j511)x9)1(10)j511)x2Jy212y2x(13)36三、解答題(共6小題，共80分)(12)814)15)(共13分)解：(I)(I)在ADC中，因為COSADC所以sinADC~Y所以sinBADsin(ADCB)(II)ABD中，由正弦定理得BDABsinBAD8sinADB(II)ABD中，由正弦定理得BDABsinBAD8sinADB3/31434*3在ABC中，由余弦定理得所以AC7(16)(共13分)解：根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2,主場3,主場5,客場2,客場4.所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6,—場不超過0.6”。則C=ABUAB，A,B獨(dú)立。根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)13所以，在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，—場不超過0.6的概率為亦.

17)(共14分)解：I)在正方形中，因為B是am的中點，所以AB〃DE。I)又因為AB匸平面PDE,所以AB〃平面PDE,因為ABu平面abf，且平面ABF平面PDF=FG,(II)所以AB〃FG。因為PA(II)所以AB〃FG。因為PA丄底面ABCDE,所以PA丄AB,PA丄AE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,O,O),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).D設(shè)平面ABF的法向量為設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,Z)，則n-AB=0,即Vn-AF=0,x=0,、y+z=0.令z=i,，令z=i,，貝yy=—i。所以n=(0_,i,設(shè)直BC與平面ABF所成角為a,則sina=cos(n,BCn-BC

niBC設(shè)點H的坐標(biāo)為(u,v設(shè)點H的坐標(biāo)為(u,v,w).。因為點H在棱PC上，所以可設(shè)PH=九PC(0<h<1),，即(u,v,w—2)=九(2，1，—2).。所以u=2九,v=九,w=2—2九。因為n是平面ABF的法向量，所以n-AH=0，即(。，一1，1》(2九,九,2-2九)=0。2422、解得九=3，所以點h的坐標(biāo)為(3'3'3).°所以PH==218)18)共13分)解：(I)由f(x)=xcosx—sinx得19)(共19)(共14分)來源于網(wǎng)絡(luò)f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinxo兀兀因為在區(qū)間(0,-)上f'(x)=-xsinx0，所以f(x)在區(qū)間0,y上單調(diào)遞減。YLJ從而f(x)<f(0)=0o(II)當(dāng)x>0時，“里巴>a”等價于“sinx-ax>0”“里叮<b”等價于“sinx-bx<0”。xx令g(x)=sinx一cx，貝yg'(x)=cosx一c,兀當(dāng)c<0時，g(x)>0對任意xe(0,-)恒成立。上單調(diào)遞減。從而當(dāng)c>1時，因為對任意xe(0,牛)，g'(x)=cosx-c<0，所以g(x)在區(qū)間|0,上單調(diào)遞減。從而g(x)<g(0)=0對任意xe(0，—)恒成立。兀當(dāng)0<c<1時，存在唯一的x0e(0,—)使得g'(x0)=cosx—c=0。兀g(x)與g'(x)在區(qū)間(0,-)上的情況如下:=1-=1--c>0，即0<c<?,2兀任意xe(0,|)恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)+0-\因為g(x)在區(qū)間【0,xj上是增函數(shù)，所以g(x°)>g(0)=0。進(jìn)一步，“g(x)>0對2兀綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c<時，g(x)>0對任意xe(0，T恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c>1時,兀2兀g(x)<0對任意xe(0,-)恒成立o所以，若a<號<b對任意xe(°與)恒成立，則a最大值為扌，b的最小值為1.來源于網(wǎng)絡(luò)來源于網(wǎng)絡(luò)解：x2y2I)由題意，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為才+—=1。I)所以a24,b2=2，從而c2=a2—b2=2。因此a—2,c=卞'所以a2cV2故橢圓c的離心率e=萬=丁(II)直線(II)直線AB與圓x2+y2二2相切。證明如下:設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(x0,叮，(t2)，其中xo主°。2y因為OA丄OB，所以O(shè)A-OB=0，即tx+2y=0，解得t=—0。°0x0當(dāng)x二t時，y=y，代入橢圓C的方程，得t=±€2,故直線AB的方程為x=±邁。圓心0到直線AB的距離d=邁。此時直線AB與圓x2+y2二2相切。y—2當(dāng)x豐t時，直線AB的方程為y—2=一°(x—t)，TOC\o"1-5"\h\z0x—t°即(y—2)x—(x—t)y+2x—ty=0,oooo圓心0到直線AB的距離2y又x2+2y2=4，t=—0故00x0此時直線AB與圓x2+y2二2相切。20)(共13分)解：I)T(P)=1+max{T(P),2+4}=1+max{7,6}=811I)T(P)=max{a+b+d,a+c+d}I)2T(P')=max{c+d+b,c+a+b}2m=a時，T(P')=max{c+d+b,