2016年上海市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

第第頁(共13頁)fy=kx-2k消去yfy=kx-2k消去y可得：(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,△=36(l+k2)>0.則y1+y2則y1+y2=k(x1+x2-4)=k(-4)1曲k2-3=(x1+2,y1)=(x2+2,y2),+)?AB=0可得：(X]+x2+4,y1+y2)?(x1-x2，y1-y2)=0,可得X]+x2+4+(y1+y2)k=0,4k/12k“門得+4+?k=0k2-3k2-3可得：k2#,解得k=±.l的斜率為：士羋?5【點評】本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.22.(16分)(2016?上海)已知aGR,函數(shù)f(x)=log2(丄+a).當(dāng)a=5時，解不等式f(x)>0；若關(guān)于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍.設(shè)a>0,若對任意tG[g，1]，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范C—I圍.【分析】(1)當(dāng)a=5時，解導(dǎo)數(shù)不等式即可.根據(jù)對數(shù)的運算法則進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論a的取值范圍進(jìn)行求解即可.根據(jù)條件得到f(t)-f(t+1)<1，恒成立，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【解答】解：(1)當(dāng)a=5時，f(x)=log2(丄+5),由f(x)>0；得log2(丄+5)>0,即丄+5>1,則丄〉-4,>即丄+5>1,則丄〉-4,>0，則丄+4=即x>0或x<-即不等式的解集為｛xlx>0或x<-扌｝?(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0得log2(丄+a)-log?](a-4)x+2a-5]=0.即log2(丄+a)=log2[(a-4)x+2a-5],即—+a=(a-4)x+2a-5>0,①則(a-4)x2+(a-5)x-1=0，即(x+1)[(a-4)x-1]=0，②，當(dāng)a=4時，方程②的解為x=-1,代入①，成立當(dāng)a=3時，方程②的解為x=-1，代入①，成立當(dāng)aH4且aH3時，方程②的解為x=-1或x=若x=-1是方程①的解，則—+a=a-1>0，即a>1，x若x=是方程①的解，則-+a=2a-4>0，即a>2，a~4x則要使方程①有且僅有一個解，則l<aW2.綜上，若方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是Ka<2，或a=3或a=4.(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減，由題意得f(t)-f(t+1)<1，即log2(*+a)-log2(#^+a)<1，設(shè)1-t=r，貝90<r<1trtt(t+1)(1-t)(2-r)r2-3r+2當(dāng)r=0時，=0，r2-3r+2當(dāng)0當(dāng)0<r<￡時,?.?y=r+2在(0,12)上遞減,?:實數(shù)a的取值范圍是a>-^【點評】本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及對數(shù)不等式的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．23.(18分)(2016?上海)若無窮數(shù)列｛an｝滿足：只要ap=aq(p,qGN*),必有ap+1=aq+1，貝V稱｛an｝具有性質(zhì)P.若｛an｝具有性質(zhì)P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21，求a3；若無窮數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，無窮數(shù)列｛cn｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，％=。5=1;b5=C]=81,an=bn+cn，判斷｛an｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；設(shè)｛bn｝是無窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan(nGN*)，求證：“對任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)P”的充要條件為“｛bn｝是常數(shù)列”.【分析】(1)利用已知條件通過a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，轉(zhuǎn)化求解a3即可.設(shè)無窮數(shù)列｛bn｝的公差為：d,無窮數(shù)列｛cn｝的公比為q,則q>0,利用條件求出，d與q,求出bn，cn得到an的表達(dá)式，推出a2Ha6，說明｛an｝不具有性質(zhì)P.充分性：若｛bn｝是常數(shù)列，設(shè)bn=C，通過an+1=C+sinan，證明ap+1=aq+1，得到｛an｝具有性質(zhì)P.必要性：若對于任意a1，｛an｝具有性質(zhì)P,得到a2=b1+sina1，設(shè)函數(shù)f(x)=x-b1，g(x)=sinx，說明bn+1=bn，即可說明｛bn｝是常數(shù)列.【解答】解：(1)°.°82=85=2a3=a6,&4=37=3，.：&5=&8=2,a6=21-a?-a8=16,.°.83=16.(2)設(shè)無窮數(shù)列｛bn｝的公差為：d,無窮數(shù)列｛cn｝的公比為q,則q>0,-b]=4d=80.???d=20.????d=20.??bn=20n-19,=q4=-,4SI?_1??q=W，?an=bn+Cn=20n-19+Q)R耳*.*81=85=82,而Q2=21+27=48,86=101=.81=85，但是82剤6，｛dj不具有性質(zhì)P.■J1充分性：若｛bn｝是常數(shù)列，設(shè)bn=C,則8n+1=C+sin8n，若存在P，q使得8p=8q，則8卩+1乂+$迅8戸乂+$込84=84+1，故｛8n｝具有性質(zhì)P.必要性：若對于任意81，｛8n｝具有性質(zhì)P,則82=61+5迅81，設(shè)函數(shù)f(x)=x-b1，g(x)=sinx,由f(x),g(x)圖象可得，對于任意的b1，二者圖象必有一個交點，?一定能找到一個81，使得81-b1=sin81，?82=b1+sin81=81，?8n=