2022-2023學(xué)年山東省德州市臨邑縣高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省德州市臨邑縣高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．D【分析】要使空間中的、、、四點(diǎn)共面，只需滿(mǎn)足，且即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D.2．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角是60°，則k的值為（

）A．或0 B．或0C． D．A【分析】先求出的傾斜角為120°，再求出直線(xiàn)的傾斜角為0°或60°，直接求斜率k.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角為120°.要使直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角是60°，只需直線(xiàn)的傾斜角為0°或60°，所以k的值為0或.故選：A3．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，設(shè)，由以及橢圓定義可得，，在中再根據(jù)余弦定理即可得到，從而可求出橢圓的離心率．【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得.設(shè)，則.由橢圓的定義，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，則，故.故選：B.4．已知點(diǎn)，．若直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．A【分析】直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P（1，1），且與線(xiàn)段AB相交，利用數(shù)形結(jié)合法，求出PA、PB的斜率，從而得出l的斜率的取值范圍,即得解【詳解】設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則直線(xiàn)可寫(xiě)成，令解得直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)．，．直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，由圖象知，或，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A本題考查了直線(xiàn)方程的應(yīng)用，過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段相交的問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析、數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．5．已知⊙M：，直線(xiàn)：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．D【分析】由題意可判斷直線(xiàn)與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線(xiàn)的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，，，此時(shí)最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線(xiàn)的方程．故選：D.本題主要考查直線(xiàn)與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為2，且與點(diǎn)距離為3的直線(xiàn)共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條C【分析】根據(jù)直線(xiàn)是否存在斜率，分類(lèi)討論，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)不存在斜率時(shí)，設(shè)為，由題意可知：且，沒(méi)有實(shí)數(shù)使得兩個(gè)式子同時(shí)成立；當(dāng)直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：，點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為2，所以有，點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為3，所以有，由得：或，當(dāng)時(shí)，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以這樣的直線(xiàn)共有三條，故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是解方程組.7．如圖，等腰直角中，，點(diǎn)為平面外一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，，則存在點(diǎn)使得（

）A． B．與平面所成角為C． D．二面角的大小為D【分析】假設(shè)，結(jié)合線(xiàn)面垂直判定定理證明面，由此得到，推出矛盾，確定A錯(cuò)誤，建立坐標(biāo)系，計(jì)算與平面所成角，判斷B，計(jì)算,判斷C錯(cuò)誤，求二面角的大小，判斷D.【詳解】對(duì)于A：由是等腰直角三角形，可得因?yàn)?，所以，若，，則面，因?yàn)槊?，所以，即與矛盾，A錯(cuò)誤；以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)點(diǎn)，∵，，∴

，，∴，，∴，，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得平面的一個(gè)法向量為，又，∴，若與平面所成角為，則則，可得，與矛盾，B錯(cuò)誤，∵，∴，∴，所以不存在點(diǎn)滿(mǎn)足，C錯(cuò)誤，∵平面的一個(gè)法向量為，∴，令，則，∴

，∴

，解得（-1舍去），所以存在點(diǎn)使得二面角的大小為，D正確故選：D8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E是線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．C【分析】在上取點(diǎn)使得，由對(duì)稱(chēng)性可知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在平面內(nèi)，求直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線(xiàn)的距離之和的最小值問(wèn)題.建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】在上取點(diǎn)使得，由對(duì)稱(chēng)性可知.連接，則，點(diǎn)、、都在平面內(nèi)，且，，.在所在平面內(nèi)，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.則，，，所以直線(xiàn)的方程為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即.因此，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且時(shí)，有最小值.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).二、多選題9．已知曲線(xiàn)C的方程為，圓，則（

）A．C表示一條直線(xiàn)B．當(dāng)時(shí)，C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，存在圓N，使得圓N與圓M相切，且圓N與C有4個(gè)公共點(diǎn)D．當(dāng)C與圓M的公共點(diǎn)最多時(shí)，r的取值范圍是BC【分析】對(duì)于A，由，得，則表示兩條直線(xiàn)；對(duì)于B，C，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式進(jìn)行判斷；對(duì)于D，舉反例判斷即可【詳解】由，得，即，則表示兩條直線(xiàn)，其方程分別為與，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離，所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，易知直線(xiàn)與圓相交，與圓有3個(gè)公共點(diǎn)，所以B正確；當(dāng)時(shí)，存在圓，使得圓內(nèi)切于圓，且圓與這兩條直線(xiàn)都相交，即與有4個(gè)公共點(diǎn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最大值為4，所以C正確；當(dāng)時(shí)，圓與直線(xiàn)、交于一點(diǎn)，所以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，所以D錯(cuò)誤，故選：BC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對(duì)方程得，即，從而可得曲線(xiàn)表示的是直線(xiàn)與，從而進(jìn)行分析即可，考查計(jì)算能力，屬于中檔題10．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是（

）A．與共面；B．三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)；C．當(dāng)時(shí)，；D．當(dāng)時(shí)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為．ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：可得，可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為定值，且的面積為定值可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：分別求出的長(zhǎng)，驗(yàn)證是否滿(mǎn)足勾股定理，從而判斷;對(duì)于選項(xiàng)D：先將過(guò)，，的截面分析做出，再求周長(zhǎng)可判斷.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在中，因?yàn)椋瑸?，的中點(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，,可得，，取的中點(diǎn)分別為，連接,則在直角三角形中,則，所以不成立，所以C不正確．對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，取,連接,則,又所以所以共面,即過(guò)，，三點(diǎn)的正方體的截面為，由,則是等腰梯形,且所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，所以D正確；故選：ABD．11．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，且，A，P，B為雙曲線(xiàn)上不同的三點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)與斜率的乘積為1，則（

）A．B．雙曲線(xiàn)C的離心率為C．直線(xiàn)傾斜角的取值范圍為D．若，則三角形的面積為2ABD【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)計(jì)算檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)焦距為，則，設(shè)，則，，作差得，即，，故，又，所以，A正確；而離心率，B正確；雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，由題可知直線(xiàn)與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以直線(xiàn)傾斜角的取值范圍為，C錯(cuò)誤；若，則，由雙曲線(xiàn)的定義以及選項(xiàng)A的結(jié)論可得，故，又，可得，所以三角形的面積為，D正確．故選：ABD.本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力的應(yīng)用，是較難題.12．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線(xiàn)與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是C．面積的最大值是D．的周長(zhǎng)存在最大值A(chǔ)C【分析】由題意可求得橢圓的a,b,c，即可求得離心率，判斷A；由圖可直接確定線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍，判斷B；求出面積的表達(dá)式，利用基本不等式可求得其最值，判斷C；表示出的周長(zhǎng)，根據(jù)其表達(dá)式結(jié)合參數(shù)的范圍可確定其是否存在最大值，判斷D.【詳解】由題意得半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，由題意知，∴，∴半橢圓的方程為．對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，設(shè)，則，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確．對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，但是不能取零，所以的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值，D錯(cuò)誤，故選：AC三、填空題13．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是___________.【分析】根據(jù)題意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可知與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故作出如下圖象，當(dāng)與的圖象相切時(shí)，，即，由圖可知，故相切時(shí)，因此結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故答案為.14．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)l的方程是__________.【分析】設(shè)，，，，利用“點(diǎn)差法”、線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：設(shè)，，，，則，，．恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，即有，，，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，即．由于在橢圓內(nèi)，故成立．故．15．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，點(diǎn)Р到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)______.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)Р到直線(xiàn)距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因點(diǎn)P在線(xiàn)段上，則，，，向量在向量上投影長(zhǎng)為，而，則點(diǎn)Р到直線(xiàn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以點(diǎn)Р到直線(xiàn)的距離的最小值為.故16．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_____.設(shè)，將直線(xiàn)的方程和雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立消元得出，由可得，這幾個(gè)式子再結(jié)合化簡(jiǎn)可得【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且斜率為所以直線(xiàn)的方程為：與雙曲線(xiàn)聯(lián)立消去，得設(shè)所以因?yàn)?，可得代入上式得消去并化?jiǎn)整理得：將代入化簡(jiǎn)得：解之得因此，該雙曲線(xiàn)的離心率故1.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的問(wèn)題，常將兩個(gè)的方程聯(lián)立消元，用韋達(dá)定理表示出橫（縱）坐標(biāo)之和、積，然后再結(jié)合條件求解2.求離心率即是求與的關(guān)系.四、解答題17．已知過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)相互垂直，且的傾斜角小于的傾斜角．(1)若與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求和的傾斜角(2)若都不過(guò)點(diǎn)，過(guò)分別作為垂足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)．求的方程．(1)，的傾斜角分別為和(2)．【分析】(1)先求直線(xiàn)的傾斜角，結(jié)合圖形及傾斜角的定義求出，的傾斜角的傾斜角；(2)設(shè)，，根據(jù)基本不等式證明的面積最大時(shí)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求的斜率，由此可求其方程.【詳解】（1）直線(xiàn)的傾斜角為60°．∵，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，∴，與直線(xiàn)的夾角均為，∴，的傾斜角分別為和．（2）∵，，，∴四邊形為矩形．設(shè)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．若的斜率不存在，則的傾斜角為，由直線(xiàn)相互垂直可得的傾斜角為0，與已知矛盾，所以的斜率存在，設(shè)，則點(diǎn)到的距離為，令，得（負(fù)值舍去）．∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為．18．如圖，在幾何體中，四邊形為等腰梯形，且，，四邊形為矩形，且，M，N分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】(1)BC的中點(diǎn)Q，連接NQ，F(xiàn)Q，結(jié)合中位線(xiàn)的性質(zhì)可證四邊形MNQF為平行四邊形，得出即可；(2)根據(jù)題意可得、、，建立如圖空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)和線(xiàn)段的坐標(biāo)，求出兩個(gè)面的法向量，結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)Q，連接NQ，F(xiàn)Q，則，且，又，且，所以且，所以四邊形MNQF為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫鍲CB，平面FCB，所以平面FCB(2)由四邊形ABCD為等腰梯形，且AB=2CD=2，，可得BC=1，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，所以，所以平面FCB，所以為直線(xiàn)AF與平面FCB所成的角，即，所以FC=，因?yàn)镕B=2，所以，所以，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以有，，設(shè)是平面MAB的一個(gè)法向量，易知是平面MAC的一個(gè)法向量有，令則，得，所以，故當(dāng)直線(xiàn)AF與平面FCB所成的角為時(shí)，平面MAB與平面MAC所成銳二面角的余弦值為.19．已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)．（1）求出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)（2）求直線(xiàn)的斜率的取值范圍（3）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）；（2）；（3）為定值.【分析】（1）將直線(xiàn)方程整理后可得方程組，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)方程，利用圓心到直線(xiàn)距離小于半徑可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）可設(shè)直線(xiàn)方程，與圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，由整理可得定值.【詳解】（1）將直線(xiàn)方程整理為：，令，解得：，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)直線(xiàn)斜率為，由（1）可知：直線(xiàn)方程可設(shè)為：，即；圓方程可整理為，則其圓心，半徑，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，圓心到直線(xiàn)距離，即，解得：，即直線(xiàn)斜率的取值范圍為；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，與圓僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，，則直線(xiàn)，可設(shè)直線(xiàn)方程為，由得：，由（2）知：；，，，為定值.思路點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與圓中的定值問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎境身f達(dá)定理的形式，通過(guò)韋達(dá)定理代入整理，消去變量即可得到定值.20．如圖所示，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，以，為一組鄰邊作平行四邊形．(1)試求點(diǎn)的軌跡方程；(2)是否存在這樣的直線(xiàn)，使四邊形為矩形，若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),和雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系,求出AB的中點(diǎn),可得P的軌跡方程;再檢驗(yàn)當(dāng)過(guò)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),同樣滿(mǎn)足；（2）分類(lèi)討論,利用,進(jìn)一步利用“設(shè)而不求法”整理得到矛盾的式子,從而得到結(jié)論,【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為,代入雙曲線(xiàn),可得.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行，所以直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意舍去.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)此時(shí)，所以.所以.所以AB的中點(diǎn)為，即OP的中點(diǎn)為.設(shè),則，消去k得：;當(dāng)時(shí)，AB的中點(diǎn)為，三點(diǎn)共線(xiàn)，不能得到平行四邊形，故，即.所以的軌跡方程為.當(dāng)過(guò)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)的方程為,把代入雙曲線(xiàn)得：，,同樣滿(mǎn)足.所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）當(dāng)過(guò)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)的方程為,把代入雙曲線(xiàn)得:，,此時(shí)不滿(mǎn)足;當(dāng)過(guò)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí),由（1）可知.若,則整理得：顯然不成立.所以,不存在使的直線(xiàn)l.21．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線(xiàn)面角與向量夾角互余得結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，由知．由知，平面．?）［方法一］：【通性通法】向量法如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．［方法二］：三垂線(xiàn)＋等積法由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．［方法三］：三垂線(xiàn)＋線(xiàn)面角定義法由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．在中，過(guò)N作，在中，過(guò)N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)椋裕善矫?，可得平面平面，交線(xiàn)為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線(xiàn)與平面所成的角．設(shè)，則，又，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．［方法四］：【最優(yōu)解】定義法如圖7，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．過(guò)C作平面的垂線(xiàn)，垂足記為T(mén)（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．聯(lián)結(jié)，則為直線(xiàn)與平面所成的角．在中，，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角的向量公式以及線(xiàn)面角的向量公式硬算即可求出，是該類(lèi)型題的通性通法；方法二：根據(jù)三垂線(xiàn)法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點(diǎn)到面的距離，由定義求出線(xiàn)面角，是幾何法解決空間角的基本手段；方法三：根據(jù)三垂線(xiàn)法找到二面角的平面角，再利用線(xiàn)面角的等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線(xiàn)面角解出，是幾何法解決線(xiàn)面角的基本思想，對(duì)于該題，略顯麻煩；方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線(xiàn)面角的定義解決，原理簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)單，是該題的最優(yōu)解．22．已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，在直線(xiàn)斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿(mǎn)足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)椋裕?，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€(xiàn)上，所以，故，于是的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，