2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如東縣高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如東縣高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A．90o B．120o C．135o D．150oD【分析】根據(jù)給定條件求出直線l的斜率，再利用斜率的定義直接計(jì)算作答.【詳解】因直線過點(diǎn)、，則直線l的斜率，直線l的傾斜角為滿足，顯然，則有，解得，所以直線的傾斜角為.故選：D2．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．C【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)形式求解即可.【詳解】解：可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：C3．是直線與直線平行的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既非充分又非必要A【分析】由兩直線平行得出的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，故當(dāng)直線與直線平行時，或.所以是直線與直線平行的充分不必要條件.故選：A4．在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首依籌算鈔歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人錢本不均平，甲乙念三七錢鈔，念六一錢戊己庚，惟有丙丁錢無數(shù)，要依等第數(shù)分明，請問先生能算者，細(xì)推詳算莫差爭.”題意是：“現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊?己?庚七人，他們手里錢不一樣多，依次成等差數(shù)列，已知甲?乙兩人共237錢，戊?己?庚三人共261錢，求各人錢數(shù).”根據(jù)上題的已知條件，戊有（

）A．107錢 B．102錢 C．101錢 D．94錢D【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，公差為，由題意可知：，所以，即戊有94錢，故選：D5．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．7 B．9 C．11 D．13C【分析】由已知圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，結(jié)合橢圓的定義求的最大值.【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為，所以橢圓的長半軸長，短半軸長，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，由圓的幾何性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)為的延長線與圓的交點(diǎn)時等號成立，所以，由橢圓的定義可得．所以，故選：C.6．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為雙曲線的一個焦點(diǎn)，經(jīng)過兩曲線交點(diǎn)的直線恰過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．B【分析】結(jié)合拋物線和雙曲線的性質(zhì)，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入到雙曲線中，得到關(guān)于的一元二次方程，即可解出離心率.【詳解】由題意，，因?yàn)閮汕€交點(diǎn)的連線過點(diǎn)，所以連線垂直于軸，則其中一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，即為，代入到雙曲線方程中，得，則，，，，解得，所以B正確.故選：B7．過圓上的動點(diǎn)作圓的兩條切線，兩個切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．A【分析】求出切點(diǎn)弦的方程后可求不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)圓的動點(diǎn)為，過作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則過的圓是以直徑的圓，該圓的方程為.由可得的直線方程為.原點(diǎn)到直線的距離為，故圓不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為，故選：A.8．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)之間的折線距離為，設(shè)點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．B【分析】結(jié)合圖形，易知定點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的折線距離的最小值等于該點(diǎn)到直線的水平距離或豎直距離中較小的一個，先求出圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，然后即可得出答案.【詳解】解：結(jié)合圖形，易知定點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的折線距離的最小值等于該點(diǎn)到直線的水平距離或豎直距離中較小的一個，直線的傾斜角為，斜率為，則，因此，定點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的折線距離的最小值等于該點(diǎn)到直線的豎直距離，圓心到直線的距離為，因此圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故圓上的點(diǎn)到直線的最小折線距離為1.故選：B.二、多選題9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷A，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式列方程組，運(yùn)算可判斷BD，由前n項(xiàng)和公式判斷D.【詳解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正確；a5＝a1＋4d＝5，(*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，(**)，聯(lián)立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正確，D錯誤；，C正確．故ABC10．已知直線，和圓，下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．圓C被x軸截得的弦長為C．直線被圓截得的弦長存在最大值，且最大值為D．直線被圓截得的弦長存在最小值，且最小值為ABD【分析】利用直線系方程求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)判斷A；求出圓C被x軸截得的弦長判斷B；當(dāng)直線過圓心時可判斷C，當(dāng)直線時算出弦長可判斷D.【詳解】對于A，由，得，聯(lián)立，得，無論m為何值，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，在中，令，得，所以圓被軸截得的弦長為，故B正確；對于C，當(dāng)直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最大，最大值為圓直徑4，故C錯誤；對于D，由于直線恒過的定點(diǎn)，易知此點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)此定點(diǎn)為，當(dāng)直線與直徑垂直時，直線l被圓截得的弦長最小，且最小值為，故D正確.故選：ABD11．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線：為的一條漸近線，則下列說法正確的有（

）A．B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為1D．點(diǎn)到直線：距離的最小值為2022ABC【分析】根據(jù)題意得，，進(jìn)而求解離心率判斷A；求解判斷B選項(xiàng)；當(dāng)與軸垂直時取最小值判斷C；根據(jù)直線與的漸近線平行，且與的左支不相交判斷D.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，直線：為的一條漸近線，故，故，，，A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，方程為，或，此時，，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，設(shè)方程為，故聯(lián)立方程得，設(shè)，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，所以，解得或，當(dāng)或時，此時直線與雙曲線漸近線平行，與雙曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，，所以，因?yàn)?，所以存在點(diǎn)，使得，故B正確；對于C選項(xiàng)，結(jié)合B選項(xiàng)討論，，所以，因?yàn)榛颍?，，，，即，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線斜率不存在時，，綜上，的最小值為1，故C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，直線和的漸近線平行，且與的左支不相交，故上的點(diǎn)到直線的距離沒有最小值，D錯誤．故選：ABC．12．過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，如果，那么點(diǎn)的軌跡可能是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．線段BC【分析】設(shè)出過點(diǎn)的橢圓的切線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，消去后利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系求得點(diǎn)的軌跡方程，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知直線和直線的斜率存在，設(shè)過的橢圓的切線方程為，由消去并化簡得：，其，整理得，，其，整理得，符合題意，所以，整理得①，，當(dāng)時，，①即，即點(diǎn)的軌跡是圓的一部分.當(dāng)或時，，由于，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分.故選：BC三、填空題13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)知成等差數(shù)列，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故14．如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為2cm時，水面寬度為6cm，當(dāng)水面再上升1cm時，水面寬度為________cm．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由題意求出拋物線方程，即可求解【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，讓拋物線的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則由題意可設(shè)拋物線的方程為，由題意可知點(diǎn)在拋物線線上，則，所以，所以拋物線的方程為，當(dāng)水面再上升1cm時，，此時有，解得，所以此時的水面寬度為（）故15．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長為______．【分析】先求出兩圓的公共弦方程，觀察發(fā)現(xiàn)的圓心在公共弦上，從而得到弦AB的長為圓的直徑，求出公共弦長.【詳解】圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故答案為.16．已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上兩點(diǎn)，線段經(jīng)過點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為__________.##【分析】根據(jù)題意，設(shè)，那么，結(jié)合橢圓的定義得，從而求得，再結(jié)合勾股定理求解離心率即可．【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，那么，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)?，則，即，所以，即，解得．故．四、解答題17．已知直線：與直線：的交點(diǎn)為.(1)求過點(diǎn)且與直線：垂直的直線的方程；(2)求過點(diǎn)，且點(diǎn)到它的距離為3的直線的方程.(1)(2)或.【分析】（1）先聯(lián)立，方程得，再根據(jù)垂直關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)題意分直線斜率存在與直線斜率不存在兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：根據(jù)題意聯(lián)立方程得，即因?yàn)橹本€：的斜率為，所求直線與直線垂直，所以，所求直線的斜率為，方程為，即所以，所求直線方程為（2）解：由（1）知，所以，當(dāng)直線斜率不存在時，所求直線方程為，點(diǎn)(4，0)到它的距離為3，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為，即，所以點(diǎn)到它的距離為，解得，所以，所求直線方程為，所以，所求直線方程為或.18．已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過的中點(diǎn)且傾斜角為的直線與（1）中的曲線交于兩點(diǎn)，求的面積．(1)；(2).【分析】（1）由題意得到，利用兩點(diǎn)距離公式即可得到M點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）先由題設(shè)條件及點(diǎn)斜式可得直線的方程，再由弦長公式求得，由點(diǎn)線距離公式求得到直線的距離，從而由三角形面積公式即可求得的面積．【詳解】（1）依題意，得，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以，即，整理得，配方得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，即，因?yàn)榍€的方程為，故曲線是圓心為，半徑為的圓，所以圓心到直線的距離為，故，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，即邊上的高為，所以.19．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，滿足.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是的前項(xiàng)和，已知對于都成立，求的取值范圍.(1)證明見解析，(2)或【分析】（1）結(jié)合化簡已知條件，求得，結(jié)合證得數(shù)列為等差數(shù)列，然后求得，進(jìn)而求得.（2）先求得，然后求得的最大值，進(jìn)而通過解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴，∵∴，∴，∴，又由，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；所以，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也符合，所以.（2），時，，，，，，∴或5時，，∴或.20．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0.(1)求橢圓的方程；(2)求直線的斜率.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓過點(diǎn)列出方程即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由以代替求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率即可得解.【詳解】（1）由題意知，故可設(shè)橢圓方程為，

由在上可得，，解得或（舍去），故所求橢圓的方程為.（2）設(shè)直線，，把代入橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，從而得點(diǎn)，在上式中以代替，得，即直線的斜率為.21．已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．（1）拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－；（2）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線ON的方程為，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再證明.試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，.由，得.則，.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?故A為線段BM的中點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來即可，有時不一定要把結(jié)果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.22．在一張紙上有一個圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為．(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐