2022-2023學(xué)年湖南省多所學(xué)校高二年級上冊學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省多所學(xué)校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．傾斜角為135°，在軸上的截距為1的直線方程是（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)直線斜率和截距即可求解.【詳解】因為直線的傾斜角為135°，所以斜率為-1.因為直線在軸上的截距為1，所以所求直線方程為，即.故選：B2．（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則即可求解.【詳解】故選：D3．下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量C【分析】根據(jù)個選項，可判斷選項A、B、D正確，選項C，零向量方向是無限的，但是任意向量方向是確定的，故可作出判斷.【詳解】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.4．若方程表示橢圓，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．D【分析】由橢圓定義得，，且，求解即可【詳解】因為方程表示橢圓，所以，，且，解得.故選：D5．空間中有三點，，，則點P到直線MN的距離為（

）A． B． C．3 D．A【分析】根據(jù)空間中點線距離的向量求法即可求解.【詳解】因為，所以的一個單位方向向量為.因為，故，,所以點到直線的距離為.故選：A6．某地舉辦“喜迎二十大，奮進新時代”主題攝影比賽，9名評委對某攝影作品的評分如下：,去掉一個最高分和一個最低分后，該攝影作品的平均分為91分，后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，以表示，則（

）A．84 B．86 C．89 D．98C【分析】分別考慮，，時，計算平均數(shù)，排除不合題意情況，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，，則不符合題意；當(dāng)時，，則不符合題意；當(dāng)時，，解得,故選：C.7．已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，是上一點，且位于第一象限，，則的縱坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C． D．C【分析】由，可知為直角三角形，利用勾股定理計算出，又由雙曲線的定義建立，聯(lián)立解的，設(shè)的縱坐標(biāo)為，由等面積法求出即可【詳解】因為，所以.由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為.設(shè)的縱坐標(biāo)為，則的面積為，解得.所以的縱坐標(biāo)為：故選：C.8．《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內(nèi)的動點（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．B【分析】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG，則，，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，由線面垂直的判定定理可得平面，進而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG.易得，，因為平面，平面，，，所以平面平面.因為平面，所以H為線段FG上的點.由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因為，所以平面，，.因為，所以，..因為，所以.故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱 B．的最小正周期是C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞減BCD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的平移變換可得的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的奇偶性、周期、對稱性以及單調(diào)性一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則,該函數(shù)不是偶函數(shù)，最小正周期為，則A錯誤，B正確.令，，解得，，當(dāng)時，，即的圖象關(guān)于點對稱，則C正確.令，，解得，，當(dāng)時，即得在上單調(diào)遞減，則D正確.故選：BCD.10．如圖，平面內(nèi)的小方格均為邊長是1的正方形，A，B，C，D，E，F(xiàn)均為正方形的頂點，P為平面外一點，則（

）A． B．C． D．ABD【分析】在平面內(nèi)選取兩個互相垂直的單位向量且，根據(jù)空間向量的線性運算可得，，再次利用空間向量的線性運算依次判斷選項即可.【詳解】在平面內(nèi)選取兩個互相垂直的單位向量，且，則，，，則，.所以，.，.故選：ABD.11．已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于，兩點，的中點為，，，在直線上的投影分別為，，，則（

）A． B． C． D．ACD【分析】設(shè)直線的方程為，，，則，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可表示出、的坐標(biāo)，再根據(jù)選項利用兩直線垂直斜率之積為判斷即可.【詳解】解：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)直線的方程為，，，則，.聯(lián)立方程組得，則，.因為，所以，，所以，所以，故A正確；因為，所以，故C正確，B錯誤；因為，所以，故D正確.故選：ACD12．已知曲線：，則（

）A．曲線圍成的面積為B．曲線截直線所得弦的弦長為C．曲線上的點到點的距離的最大值為D．曲線上的點到直線的距離的最大值為ABD【分析】對于A選項，通過分類討論去掉絕對值后，可畫出曲線圖形，后可得面積對于B選項，由圖可得答案.對于C選項，設(shè)點E到點P距離最大，由圖形對稱性知這樣的點有兩個，設(shè)E在二象限，利用圓外一點到圓上距離最大距離相關(guān)知識點可解決問題.對于D選項，由圖可知相關(guān)點在第一象限，利用直線到圓上距離最大值相關(guān)知識解決問題?！驹斀狻慨?dāng)，時，曲線：；當(dāng)，時，曲線：；當(dāng)，時，曲線：；當(dāng)，時，曲線.畫出曲線，如圖所示.對于A選項，曲線圍成的面積如圖可分割為一邊長為的正方形和四個半徑為的半圓，得曲線圍成的面積為，故A正確.對于B選項，由圖可得曲線截直線所得弦的弦長為間距離.則長度為，故B正確.對于C選項，設(shè)點E到點P距離最大，由圖形對稱性知這樣的點有兩個，設(shè)E在第二象限，設(shè)其坐標(biāo)為，則該點坐標(biāo)滿足方程.其中.則問題相當(dāng)于是從上找一點E，使最大.設(shè)圓心為.由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最大.此時，故C錯誤.對于D選項，設(shè)點F到直線距離最大，由圖可得點F在第一象限，設(shè)為，則該點坐標(biāo)滿足方程.其中則問題相當(dāng)于從上找一點F，使F到直線距離最大.設(shè)圓心為.由圖，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時距離最大，設(shè)為到直線距離，則此時.故D正確.故選：ABD關(guān)鍵點點睛：本題為曲線方程綜合題，做題時以下幾點很關(guān)鍵:（1）對于含有絕對值的曲線方程，常通過分類討論將其轉(zhuǎn)化為普通方程.（2）判斷C，D選項正誤時，首先通過幾何直觀得到相關(guān)點大致位置后利用圓相關(guān)知識解答了問題.三、填空題13．已知向量，，，若，，共面，則__________.1【分析】根據(jù)空間共面向量定理，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，列出等量關(guān)系，求解即可.【詳解】因為，，共面，則存在實數(shù)，使得，即，則，解得，，.故答案為.14．已知圓和圓的半徑都為1，圓心分別為，，寫出一個與圓和圓都相切的圓的方程：__________.（或或）【分析】圓和圓外切，所以與圓和圓均相切的圓有兩種情況，外切或內(nèi)切，本題為開放性試題，所以可以假設(shè)圓半徑，根據(jù)相切的關(guān)系式求出圓的圓心即可【詳解】與圓和圓都相切的圓如圖所示，圓與圓和圓外切時，假設(shè)圓半徑為1，設(shè)圓方程為，則，解得：或，所以圓方程為：或.圓和圓內(nèi)切于圓時，假設(shè)圓半徑為2，設(shè)圓方程為，則，解得：，所以圓方程為：故（或或），本試題為開放性試題，其他符合要求方程也可以15．古希臘偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.如圖，某種橢圓形鏡子按照實際面積定價，每平方米元，小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為1.2米且離心率為的橢圓，則小張要買的鏡子的價格為__________元.（結(jié)果精確到整數(shù)）【分析】設(shè)鏡子的外輪廓對應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為米，米，進而結(jié)合題意得，再計算面積即鏡子的價格.【詳解】解：設(shè)鏡子的外輪廓對應(yīng)的橢圓的長半軸長與短半軸長分別為米，米，因為小張要買的鏡子的外輪廓是長軸長為1.2米且離心率為的橢圓，所以，由題知，解得，所以，橢圓的面積滿足，即，所以，小張要買的鏡子的價格為元.故16．足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個點P，A，B，C，滿足，平面ABC，，若三棱錐的體積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為___________.【分析】，所以，由基本不等式和勾股定理可求得球體半徑的最小值，再求最小表面積.【詳解】如圖所示，取的中點，過作，且，因為平面，所以平面.因為，所以，所以，所以是三棱錐外接球的球心，為球的半徑.因為，所以.因為，所以球的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，所以，故所求表面積的最小值為.四、解答題17．為豐富學(xué)生的校園生活，提升學(xué)生的實踐能力和綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，某校計劃借課后托管服務(wù)平臺，開設(shè)書法興趣班.為了解學(xué)生對這個興趣班的喜愛情況，該校隨機抽取了本校100名學(xué)生，調(diào)查他們對這個興趣班的喜愛情況，得到數(shù)據(jù)如下.喜愛不喜愛合計男402060女301040合計7030100(1)從這100名學(xué)生中隨機抽取1人，求該學(xué)生是女學(xué)生且喜歡書法興趣班的概率；(2)從該校隨機抽取1名男學(xué)生和1名女學(xué)生，求這2名學(xué)生中恰有1人喜歡書法興趣班的概率.(1)(2)【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)，根據(jù)古典概型概率計算公式即可求得答案；（2）求得男女生喜歡書法班的概率，根據(jù)互斥事件以及獨立事件的概率公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意可知，100人當(dāng)中，是女學(xué)生且喜歡書法興趣班的有30人，故從這100名學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生是女學(xué)生且喜歡書法興趣班的概率為.（2）由題意可知該校男學(xué)生喜歡書法興趣班的頻率為，由題意可知該校女學(xué)生喜歡書法興趣班的頻率為，故所求概率.18．已知圓經(jīng)過點，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點向圓作切線，求切線方程.(1).(2)或.【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，由題意列出方程組，求得一般方程，即可化為標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）討論切線斜率是否存在，存在時，設(shè)切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可求得答案.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則,解得，，，所以圓的方程為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即,由，解得，所以切線方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或.19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.(1)(2)【分析】（1）由向量法即可求得異面直線的夾角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夾角余弦值.【詳解】（1）因為底面，底面，所以，，且，，所以，以為坐標(biāo)原點，分別以為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.（2），設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.易知是平面的一個法向量，因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.(1)求角的大?。?2)求的取值范圍.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理的邊角互化即可求解；(2)結(jié)合(1)中條件，利用正弦定理的邊角互化以及三角恒等變換即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得，，即.因為，所以，即.因為，所以，則.因為，所以.（2）由(1)中可知，，則，由正弦定理可知，，因為為銳角三角形，所以，則，所以，從而.故的取值范圍為.21．已知雙曲線：的離心率為，且焦點到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點，證明：的面積為定值.(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率以及焦點到漸近線的距離，求得，則方程得解；（2）討論直線斜率是否存在，且當(dāng)直線斜率時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，以及用點到直線的距離公式求得三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的一個焦點為，一條漸近線的方程為，所以焦點到漸近線的距離為.因為，所以，，所以雙曲線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，又漸近線方程為：，此時，.當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線：，且斜率，聯(lián)立方程組得，由，得，聯(lián)立方程組得.不妨設(shè)直線與的交點為，則.同理可求，所以.因為原點到直線的距離，所以，又因為，所以，故的面積為定值，且定值為.易錯點點睛：本題考查雙曲線方程的求解，以及雙曲線中的定值問題；第二問中，容易出錯的點是沒有對直線的斜率是否存在進行討論，以及當(dāng)斜率存在時不能與漸近線平行，屬綜合中檔題.22．如圖，菱形的邊長為2，，E為AB的中點.將沿DE折起，使A到達(dá)，連接，，得到四棱錐.(1)證明：；(2)當(dāng)二面角在內(nèi)變化時，