《金融工程學》第章電子教案

第八章期權定價的數(shù)法

主要內容二叉樹期權定價模型

蒙特卡羅模擬

有限差分方法

第八章期權定價的數(shù)法

二叉樹模型的基本方法

第八章期權定價的數(shù)法

無套利定價法構造投資組合包括D份股票多頭和1份看漲期權空頭

當SuD–?u=Sd

D–?d，則組合為無風險組合SuD–?uSdD–?d第八章期權定價的數(shù)法

無套利定價法（續(xù)）組合在T

時刻價值為

SuD–?u組合現(xiàn)值應為：(SuD–?u)e–rT組合現(xiàn)值的另外一個表達式為：SD–f因此：?=SD–(SuD–?u

)e–rT

第八章期權定價的數(shù)法

無套利定價法（續(xù)）將代入上式就可得到：

其中第八章期權定價的數(shù)法

風險中性定價法在風險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。在風險中性的條件下,參數(shù)值滿足條件：同樣可以推得：第八章期權定價的數(shù)法

證券價格的樹型結構第八章期權定價的數(shù)法

倒推定價法得到每個結點的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結構圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權定價值得注意的是，如果是美式期權，就要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權和繼續(xù)再持有時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值。第八章期權定價的數(shù)法

舉例說明假設標的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當前市場價為50元,波動率為每年40%，無風險連續(xù)復利年利率為10%，該股票5個月期的美式看跌期權協(xié)議價格為50元，求該期權的價值。利用倒退定價法，可以推算出初始結點處的期權價值為4.48元。第八章期權定價的數(shù)法

續(xù)為了構造二二叉樹，我我們把期權權有效期分分為五段，，每段一個個月（等于于0.0833年））。可以算算出：第八章期期權定價價的數(shù)法美式看跌期期權二叉樹樹第八章期期權定價價的數(shù)法二叉樹方法法的一般定定價過程以無收益證證券的美式式看跌期權權為例。把把該期權有有效期劃分分成N個長度為的的小區(qū)間，，令表示在時間間時時第j個結點處的的美式看跌跌期權的價價值，同時用表表示結結點處處的的證券價格格，可得：后，假定期權不不被提前執(zhí)執(zhí)行，則在在風險中性性條件下：：第八章期期權定價價的數(shù)法支付連續(xù)紅紅利率資產(chǎn)產(chǎn)的期權定定價當標的資產(chǎn)產(chǎn)支付連續(xù)續(xù)收益率為為q的紅利時，，在風險中中性條件下下，證券價價格的增長長率應該為為r-q，因此：其中第八章期期權定價價的數(shù)法支付已知紅紅利率資產(chǎn)產(chǎn)的期權定定價如果時時刻在除除權日之前前，則結點點處證券價價格仍為：：如果時時刻在除除權日之后后，則結點點處證券價價格相應調調整為：對在期權有有效期內有有多個已知知紅利率的的情況，第八章期期權定價價的數(shù)法已知紅利額額假設紅利數(shù)數(shù)額已知且且波動率為為常數(shù)時的的二叉樹圖圖第八章期期權定價價的數(shù)法已知紅利額額把證券價格格分為兩個個部分：一一部分是不不確定的，，其價值用用表表示，而另另一部分是是期權有效效期內所有有未來紅利利的現(xiàn)值，假設在期權有有效期內只有有一次紅利。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法利率是時間依依賴的情形第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法P=0.5的二叉樹圖第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法三叉樹圖第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法三叉樹圖:一一些參數(shù)第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法控制方差技術術控制方差技術術是數(shù)值方法法的一個輔助助技術，可以以應用在二叉叉樹模型、蒙蒙特卡羅模擬擬和有限差分分方法上。其其基本原理為為：期權A和期權B的性質相似，，我們可以得得到期權B的解析定價公公式，而只能能得到期權A的數(shù)值方法解解。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法適應性網(wǎng)狀模模型在使用三叉樹樹圖為美式期期權定價時，，當資產(chǎn)價格格接近執(zhí)行價價格時和接近近到期時，用用高密度的樹樹圖來取代原原先低密度的的樹圖。即在在樹圖中那些些提前執(zhí)行可可能性較大的的部分，將一一個時間步長長進一步細分，，如分為，，每個個小步長仍然然采用相同的的三叉樹定價價過程，這樣樣使得樹圖更更好地反映了了實際情形，，從而大大提提高了定價的的效率和精確確程度。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法隱含樹圖通過構建一個個與目前市場場上的期權價價格信息相一一致的資產(chǎn)價價格樹圖，從從而得到市場場對標的資產(chǎn)產(chǎn)價格未來概概率分布的看看法。其具體體方法是在二二叉樹圖中，，通過前一時時刻每個結點點的期權價格格向前推出（（注意不是倒倒推）下一時時刻每個結點點的資產(chǎn)價格格和相應概率率。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法二叉樹定價模模型的深入理理解二叉樹圖模型型的基本出發(fā)發(fā)點在于：假假設資產(chǎn)價格格的運動是由由大量的小幅幅度二值運動動構成，用離離散的隨機游游走模型模擬擬資產(chǎn)價格的的連續(xù)運動可可能遵循的路路徑。同時二二叉樹模型與與風險中性定定價原理相一一致，即模型型中的收益率率和貼現(xiàn)率均均為無風險收收益率，資產(chǎn)產(chǎn)價格向上運運動和向下運運動的實際概概率并沒有進進入二叉樹模模型，模型中中隱含導出的的概率是風險險中性世界中中的概率，從從而為期權定定價。實際上上，當二叉樹樹模型相繼兩兩步之間的時時間長度趨于于零的時候，，該模型將會會收斂到連續(xù)續(xù)的對數(shù)正態(tài)態(tài)分布模型，，即布萊克－－舒爾斯偏微微分方程。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法蒙特卡羅模擬擬蒙特卡羅模擬擬是一種通過過模擬標的資資產(chǎn)價格的隨隨機運動路徑徑得到期權價價值期望值的的數(shù)值方法，，也是一種應應用十分廣泛泛的期權定價價方法基本過程：蒙蒙特卡羅模擬擬要用到風險險中性定價原原理，其基本本思路是：由由于大部分期期權價值實際際上都可以歸歸結為期權到到期回報的期期望值的折現(xiàn)現(xiàn)，因此，盡盡可能地模擬擬風險中性世世界中標的資資產(chǎn)價格的多多種運動路徑徑，計算每種種路徑結果下下的期權回報報均值，之后后貼現(xiàn)可以得得到期權價值值。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法蒙特卡羅模擬擬的技術實現(xiàn)現(xiàn)在風險中性世世界中，為了模擬的路路徑，我們把把期權的有效效期分為N個長度為△t時間段，則上上式的近似方方程為或第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法舉例說明假設無紅利的的股票價格運運動服從式（（8.12）），年預期收收益率為14％，收益波波動率為每年年20％，時時間步長為0.01年，，則根據(jù)式（（8.12））有通過不斷從標標準正態(tài)分布布樣本中抽取取的值，，代入上式，，我們可以得得到股票價格格運動的一條條路徑。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法表：股票價格格模擬每步開始時的股票價格隨機抽樣值該時間步長中的股票價值變化20.0000.520.23620.2361.440.61120.847－0.86－0.32920.5181.460.62821.146－0.69－0.26220.883－0.74－0.280第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法單個變量和多多個變量的蒙蒙特卡羅模擬擬蒙特卡羅模擬擬的優(yōu)點之一一在于無論回回報結果依賴賴于標的變量量S所遵循的路徑徑還是僅僅取取決于S的最終價值，，都可以使用用這一方法。。同時，這個個過程也可以以擴展到那些些回報取決于于多個標的市市場變量的情情況。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法當回報僅僅取取決于到期時時S的最終價值時時可以直接用一一個大步（））（（假設初始時時刻為零時刻刻）來多次模模擬最終的資資產(chǎn)價格，得得到期權價值值：第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法當回報依賴于于多個市場變變量時當存在多個標標的變量時，，每次模擬運運算中對每個個變量的路徑徑都必須進行行抽樣，從樣樣本路徑進行行的每次模擬擬運算可以得得出期權的終終值，假設期期權依賴于n個變量,，其離散形式式可以寫成：：第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法隨機利率的蒙蒙特卡羅模擬擬如果期權模型型中的變量之之一本身就是是短期無風險險利率或是其其他與有關的的變量，例如如利率衍生產(chǎn)產(chǎn)品，則蒙特特卡羅模擬方方法與前類似似，只是要模模擬風險中性性世界中r的路徑，每次次模擬時既要要計算r到期時終值相相應帶來的期期權回報，又又要計算期權權有效期內r的平均值。最最后折現(xiàn)的時時候使用的貼貼現(xiàn)率是這個個平均值，用用數(shù)學符號表表示為：第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法隨機樣本的產(chǎn)產(chǎn)生是服從標準正正態(tài)分布的一一個隨機數(shù)。。大多數(shù)程序序語言都為抽抽取0到1之間的隨機數(shù)數(shù)編制了程序序。如果只有有一個單變量量,則可以以通過下式獲獲得：其中是是0到1的相相互獨立的隨隨機數(shù)。第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法模擬運算次數(shù)數(shù)的確定如果對估計值值要求95％％的置信度，，則期權價值值應滿足式中，為為運算次數(shù)，為為均值，是是標準差，，期權估計值值的標準誤差差為：第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法減少方差的技技巧對偶變量技術術控制方差技術術重點抽樣法間隔抽樣法樣本矩匹配法法準隨機序列抽抽樣法樹圖取樣法第八章期期權定價的數(shù)數(shù)法有限差分方法法在金融界，有限差分方法法越來越多地用用在期權定價價當中。其主主要思想是：：應用有限差差分方法將衍衍生證券所滿滿足的偏微分分方程轉化化為為一一系系列列近近似似的的差差分分方方程程，，即即用用離離散散算算子子逼逼近近、、和和各各項項，，之之后后用用迭迭代代法法求求解解，，得到到期期權權價價值值。。第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法有限限差差分分方方法法的的格格點點圖圖第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法隱性性有有限限差差分分法法隱性性有有限限差差分分法法可可以以理理解解為為從從格格點點圖圖內內部部向向外外推推知知外外部部格格點點的的期期權權價價值值，如如圖圖所所示示：：第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法的近近似似對于于坐坐標標方方格格內內部部的的點點，，期期權權價價值值對對資資產(chǎn)產(chǎn)價價格格的的一一階階導導數(shù)數(shù)可可以以用用三三種種差差分分來來表表示示：：第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法的近近似似對于于點點處處的的，，我我們們則則采采取取前前向向差差分分近近似似以以使使時時刻刻的的值值和和時時刻刻的的值值相相關關聯(lián)聯(lián)：：第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法的近近似似這個個二二階階差差分分也也是是中中心心差差分分，，其其誤誤差差為為第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法差分分方方程程把以以上上三三個個近近似似代代入入布布萊萊克克－－舒舒爾爾斯斯偏偏微微分分方方程程，，整整理理得得到到：：其中中：：第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法邊界界條條件件1.其中中2.3.第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法求解解期期權權價價值值用方方程程差差分分方方程程和和邊邊界界條條件件，，我我們們可可以以寫寫出出聯(lián)聯(lián)立立方方程程：：和，，，第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法顯性性有有限限差差分分法法第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法顯性性有有限限差差分分法法其中中第八八章章期期權權定定價價的的數(shù)數(shù)法法有限限差差分分方方法法和和樹樹圖圖方方法法的的比比較較分分析析有限限差差分分方方法法和和樹樹圖圖方方法法是是相相當當類類似似的的。。實實際際上上很很多多人人認認為為樹樹圖圖方方法法就就是是解解出出一一個個偏偏微微分分方方程程的的一一種種數(shù)數(shù)值值方方法法，，而而有有限限差差分分方方法法其其實實是是這這個個概概念念的的一一個個擴擴展展和和一一般般化化。。這這兩兩種種方方法法都都用用離離散散的的模模型型模模擬擬資資產(chǎn)產(chǎn)價價格格的的連連續(xù)續(xù)運運動動，，主主要要差差異異在在于于樹樹圖圖方方法法中中包包含含了了資資產(chǎn)產(chǎn)價價格格的的擴擴散散和和波