【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第8知識(shí)塊第4講 直線、圓的位置關(guān)系隨堂訓(xùn)練 文 新人教A版

第4講直線、圓的位置關(guān)系一、選擇題1．(2009·皖南八校第二次聯(lián)考)圓x2＋y2＝1與直線ax＋by＋c＝0(a，b，c∈R，c≠0)相切的充要條件是()A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)－c＝0或b－c＝0D．a(chǎn)＋c＝0或b＋c＝0解析：直線與圓相切，d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1?a2＋b2＝c2.答案:A2．若PQ是圓x2＋y2＝9的弦，PQ的中點(diǎn)是M(1,2)，則直線PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0解析：由題意知kOM＝eq\f(2－0,1－0)＝2，∴kPQ＝－eq\f(1,2)，∴直線PQ的方程為：y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即：x＋2y－5＝0.答案:B3．(2010·山東煙臺(tái)調(diào)研)若圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對(duì)稱，過點(diǎn)C(－a，a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0解析：由圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對(duì)稱可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點(diǎn)在直線y＝x－1上，故可得a＝2，即點(diǎn)C(－2,2)，所以過點(diǎn)C(－2,2)且與y軸相切的圓P的圓心的軌跡方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案：C4．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則 ()A．a(chǎn)2＋b2≤1 B．a(chǎn)2＋b2≥1C.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≤1 D.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1解析：直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，因此圓心(0,0)到直線bx＋ay－ab＝0的距離應(yīng)小于等于1.∴eq\f(|－ab|,\r(a2＋b2))≤1，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1.答案：D二、填空題5．(2009·全國Ⅱ卷)已知圓O：x2＋y2＝5和點(diǎn)A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________．解析：∵點(diǎn)A(1,2)在圓x2＋y2＝5上，∴過點(diǎn)A與圓O相切的切線方程為x＋2y＝5，易知切線在坐標(biāo)軸上的截距分別為5，eq\f(5,2)，∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為eq\f(25,4).答案：eq\f(25,4)6．(2009·四川)若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是________．解析：依題意得∴△OO1A是直角三角形，|OO1|＝eq\r(5＋20)＝5，S△OO1A＝eq\f(1,2)·eq\f(|AB|,2)·|OO1|＝eq\f(1,2)·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝eq\f(2·|OA|·|AO1|,|OO1|)＝eq\f(2×\r(5)×2\r(5),5)＝4.答案：47．(2010·遼寧阜新調(diào)研)過點(diǎn)(1，eq\r(2))的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k＝________.解析：∵(1－2)2＋(eq\r(2))2＝3＜4，∴點(diǎn)(1，eq\r(2))在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，圓心(2,0)與點(diǎn)(1，eq\r(2))的連線垂直于直線l.∵eq\f(\r(2)－0,1－2)＝－eq\r(2)，∴所求直線l的斜率為eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)三、解答題8．求過點(diǎn)P(4，－1)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程．解：解法一：設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r，則A，M，C三點(diǎn)共線，且有|MA|＝|AP|＝r，因?yàn)閳AC：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圓心為C(－1,3)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－1)＝\f(2－3,1＋1),\r((m－1)2＋(n－2)2)＝\r((m－4)2＋(n＋1)2)＝r))，解得m＝3，n＝1，r＝eq\r(5)，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5.解法二：因?yàn)閳AC：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0過點(diǎn)M(1,2)的切線方程為2x－y＝0，所以設(shè)所求圓A的方程為x2＋y2＋2x－6y＋5＋λ(2x－y)＝0，因?yàn)辄c(diǎn)P(4，－1)在圓上，所以代入圓A的方程，解得λ＝－4，所以所求圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋5＝0.9．已知m∈R，直線l：mx－(m2＋1)y＝4m和圓C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直線l斜率的取值范圍；(2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為eq\f(1,2)的兩段圓弧？為什么？解：(1)直線l的方程可化為y＝eq\f(m,m2＋1)x－eq\f(4m,m2＋1)，直線l的斜率k＝eq\f(m,m2＋1)，因?yàn)閨m|≤eq\f(1,2)(m2＋1)，所以|k|＝eq\f(|m|,m2＋1)≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝1時(shí)等號(hào)成立．所以，斜率k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)不能．由(1)知l的方程為y＝k(x－4)，其中|k|≤eq\f(1,2).圓C的圓心為C(4，－2)，半徑r＝2.圓點(diǎn)C到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(1＋k2)).由|k|≤eq\f(1,2)，得d≥eq\f(4,\r(5))>1，即d>eq\f(r,2).從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦所對(duì)的圓心角小于eq\f(2π,3).所以l不能將圓C分割成弧長的比值為eq\f(1,2)的兩段圓弧．10．(2009·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知圓x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圓心為C，直線l：y＝x＋m.(1)若m＝4，求直線l被圓C所截得弦長的最大值；(2)若直線l是圓心C下方的切線，當(dāng)a在(0,4]上變化時(shí)，求m的取值范圍．解：(1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，∴圓心為C(－a，a)，半徑為r＝2eq\r(a)，設(shè)直線l被圓C所截得的弦長為2t，圓心C到直線l的距離為d，m＝4時(shí)，直線l：x－y＋4＝0，圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－a－a＋4|,\r(2))＝eq\r(2)|a－2|，t2＝(2eq\r(a))2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10，又0<a≤4，∴當(dāng)a＝3時(shí)，直線l被圓C所截得弦長的值最大，其最大值為2eq\r(10).(2)圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－a－a＋m|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)|2a－m|，∵直線l是圓C的切線，∴d＝r，即eq\f(|m－2a|,\r(2))＝2eq\r(a)，∴m＝2a±2eq\r(2)a，∵直線l在圓心C的下方，∴m＝2a－2eq\r(2)a＝(eq\r(2a)－1)2－1，∵a∈(0,4]，∴m∈[－1,8－4eq\r(2)]．1．(★★★★)圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：因?yàn)閳A心到直線的距離為eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．答案：C2．(2010·創(chuàng)新題)在圓x2＋y2＝5x內(nèi)，過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3,2)))有n條弦的長度成等差數(shù)列，最短弦長為數(shù)列的首項(xiàng)a1，最長弦長為an，若公差d∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,3)))，那么n的取值集合為________．解析：由題意得a1＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(5,2)))2＋\b\lc