2022年北京市西城區(qū)回民學(xué)校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)fxexex1，若fa1，則fa( )A．1 B．1 C．3

D．ABCAB

DAAMNBB和線段

的動點(diǎn)1 1 1

1 1 1（含端點(diǎn)，且滿足BMC1

NMN運(yùn)動時，下列結(jié)論中的是在內(nèi)總存在與平面ABC 平行的線段DMNBCCB11A1

DMN的體積為定值可能為直角三角形x2若雙曲線a2

y24

1的離心率為3，則雙曲線的焦距為（ ）A．2 6 B．2 5 C．6 D．8函數(shù) 的定義域?yàn)椋?）．[，）∪，） （，）∪（，）．[，） （，）是定義在[a–1，2a]a+b的值是A．13C．126fxsin2x0x

1B．31D．25的值域?yàn)椋?）1

3 3 1

12

1,0A．2

．0,2

C．0,1

D．2 x2過雙曲線a2

y2b2

1 (a0,b0)FABBFA的中點(diǎn)，且OBFA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）A．2 B．3 C．2 D．5若直線不平行于平面，且 ，則（ ）內(nèi)所有直線與異面內(nèi)只存在有限條直線與共面內(nèi)存在唯一的直線與平行內(nèi)存在無數(shù)條直線與相交ABCAB

2AB，D是BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與AC所成的角為（ ）1 1 1 1 1 A． B． C． D．6 4 3 210fxcos0,0的最小正周期為fxfx，則要得到2 2 函數(shù)fx的圖像，可將函數(shù)gxsinx的圖像（ ）A．向左平移

個單位長度 B．向右平12

個單位長度12C．向左平移12

個單位長度

D．向右平移12

個單位長度11．已知等差數(shù)列an

的前n

Sn 8

16，a6

1，則數(shù)列an

的公差為（ ）3A．212．(xx

B．3 C．22 31)5展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為

D．23A．1 B．11 C．-19 D．51二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知sin

3,,，則tan 。5 2 4 直線l是圓C(x1)2y21

1與圓C(x4)2y22

4的公切線，并且lxy軸正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，則AOB的面積為 已知fx為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)exx，則f(ln2) ．f(x)

lg21的定義域?yàn)?.x三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)f(x)alnx

x1y(12)x41.ex e e求ab的值；g(x)xf(xg(x的單調(diào)性與極值；（3）fx1.ex18（12分）在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD底面ABCD, PDAD1,AB 5, sinABD 5．5PABD；APBC的正弦值．19（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD 為等邊三角形，且垂直于底面ABCD，ABBCABC90，ADC45 MN的中點(diǎn).證明：平面CMN//PAB；EPC上且CE2CPNEPAB所成角的余弦值.320（12分）已知a，b均為正數(shù)，且ab1證明：（1）a2b2

2(11)；2 a b（2）(b

(a

8.a b21（12分如圖在三棱柱ADE BCF中，ABCD是邊長為2的菱形且BAD6CDEF是矩形，ED1，且平面CDEF平面ABCD，P點(diǎn)在線段BC上移動（P不與C重合，H是AE的中點(diǎn).EDPC的外接球的表面積為HB//EDP當(dāng)四面體EDPC的體積最大時，求平面HDP 與平面EPC所成銳二面角的余弦.22（10分）ABC的內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,c，且(sinAsinB)(ab)bsinCcsinC.A；若b，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，且AD 7，求的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用fa與fa的關(guān)系，求得fa的值.【詳解】faeaea1eaea2，所以faeaea1eaea1213故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；CADMNNADMNADM的底面積是定值，高也是定值，則1 1 1體積是定值;D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項(xiàng)，如圖：當(dāng)N分別在CC1上運(yùn)動時若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心由DO垂直于平面BCC1B1DMNBCCB11

，故正確；C項(xiàng)NBB1CC1上運(yùn)動時,△A1DM的面積不變,NA1DM的距離不變N-A1DM的體積不變A1-DMN的體積為定值故正確；D項(xiàng)若△DMN為直角三角形則必是以∠MDN但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN故錯誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.3、A【解析】依題意可得b24，再根據(jù)離心率求出a2，即可求出c，從而得解；【詳解】x2解：∵雙曲線a24

y24

1的離心率為3，所以e2

1a2

3a22c 626.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) ，解得 且 ；函數(shù) 的定義域?yàn)?,故選A．【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等組求解若已知函數(shù) 的定義域?yàn)?則函數(shù) 的定義域由等式 求出.5、B【解析】（x）=（﹣1﹣2，即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，1得–1=2，解得a=3，又（）=（，1∴b=0，∴a+b=3【點(diǎn)睛】

．故選B．（﹣）=（義域區(qū)間兩個端點(diǎn)互為相反數(shù)．6、A【解析】x0,計(jì)算出2x

yfx的值域.123

x0,12x0,12

,，1

sin 2x 1，3

3 6

2 3fx

0x

的值域?yàn)? .sin2x 3 3

12

2,1A.【點(diǎn)睛】7、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為ybx.aBFAOBFAOAOFc，則AOF為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得BOFxOA∴b∴atan60 3，即b23a2.c a2b2 2a∴雙曲線的離心率為ea a a2故選C.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用對于求解曲線的離心率或離心率的取值范常見有兩種方法求出a,c 代入公式ec；a②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于abcace的方程不等式(等式，即可得ee的取值范圍8、D【解析】通過條件判斷直線與平面相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線不平行于平面，且【點(diǎn)睛】

可知直線與平面相交，于是ABC錯誤，故選D.本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.9、C【解析】BCEAECEAE//AD，則CAEADAC所1 1 1 1 1 1CEtanCAE1

AE，即可得出結(jié)果.1【詳解】BCEAECE，1 1 1ABCABCBBABC，1 1 1 1 11 1AEAB

AE，1 11 1 1 1由正三棱柱的性質(zhì)可知，△ABC為等邊三角形，1 1 1所以AEBC，且AE BCE,1 1 1 1 1 1所以AE平面BBCC，1 1 1而EC平面BBCC，則AEEC，1 1 1AE//ADAEC90，1 1CAEADAC所成角，3132AB2AA221

1，AE1

，CE3，tanCAE1

CE 3 ，33AE331.∴CAEπ.1 3【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.10、C【解析】依題意可得2xf(x)的一條對稱軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計(jì)算可得；【詳解】解：由已知得2xf(x)f(x)取得最值，則kπ，π，3f(x)cos2xπcos2x5ππ，g(x)sin2xcos2xπ， 3

12 2

2 【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】

8a

a 8a

a aa 2依題意，S

1 8

3 6 16aa

4a

3，故d 6 3 ，故選：D．8 2 2

3 6 3 3 3【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、B【解析】展開式中的每一項(xiàng)是由每個括號中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：（1）51，即T1；（2）x，兩個括號出(11，即TC2x2C2(1)2130；x 5 3 x（3）x，一個括號出(11，即TC1xC1(1120；x所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為T1302011B.

5 4 x【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項(xiàng)是由每個括號各出一項(xiàng)相乘組合而成的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。113、7【解析】tan，再利用和角正切公式，求得tan， 4 4【詳解】因?yàn)閟i3，，所以cos4，tanα3，5 2π

5 413tan

α1

41.因此 44

1

13 74【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。214、2【解析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)OAa,OBb，利用三角形相似求得a,b的值，代入三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)OAa,OBb，

a1相似，可得

1，解得a2，2 2 a4 2AOB

b

b2

，解得b 2，2 1 3 21由三角形的面積公式，可得AOB的面積為S ab1

12 2 2.故答案為：2.2【點(diǎn)睛】

2 2 2 2本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及三角形相似的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.152ln2【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】fln2fln2eln2ln22ln2.故答案為2ln2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力16、x|0x116、 5【解析】

20x由題意可得， 2

，解不等式可求．lg 10 x【詳解】

20x解：由題意可得， 2 ，0x

lg 10 x1，5．故答案為x|0x 1． 5【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17（）a1b2（）g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,，g(x)的極小值為1 ee eee見解析.【解析】切點(diǎn)既在切線上又在曲線上得一方程，再根據(jù)斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)再列一方程，解方程組即可；g(x)xf(x.把證明lnx2

1(x0)xlnx2

x(x0)，然后證明xlnx2

x(x0)極大ex ex

e ex

e ex值即可.【詳解】（）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,)f(1)b2由已知得

f(x)

a b e e，則 ，解

a1,b2.x ex2

f(1)ab12 e e（2）g(x)xf(xxlnx2(x0)g(x)lnx1.e當(dāng)x(0,1)時，g(x)0，所以g(x)單調(diào)遞減，ex(1g(x0g(x單調(diào)遞增，e所以，

g(x)

1 1單調(diào)遞減區(qū)間為(0, )，單調(diào)遞增區(qū)間為( ,)，e eg(x)的極小值為g(1)1，無極大值.e e（3）要證lnx21(x0)成立，ex exxlnx2x(x0)成立.hx

e exx 1x，則h(x) ，ex exx(0,1)h(x)0,h(x單調(diào)遞增，h(1)1ex(1,h(x0,h(x單調(diào)遞減，h(x的極大值為h(1)1e由（2）知，x(0,)時，g(x) g(1)1，且g(x)的最小值點(diǎn)與h(x)的最大值點(diǎn)不同，所以xlnx2x，即lnx21.

e e e exex exfx1.ex【點(diǎn)睛】知識方面，考查建立方程組求未知數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明；能力方面，考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力；試題難度大.218（1）見解析（2）3【解析】利用正弦定理求得sinADB由此得到ADB90BDAD結(jié)合PDBD證得BD平面PAD ，由此證得PABD.建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面ABP和平面PBC 的法向量，計(jì)算出二面角APBC的余弦值，再轉(zhuǎn)化為弦值.【詳解】在△ABD中，由正弦定理可得： AB AD ，sinADB sinABDsinADBABsinABD1, ADBBDAD，ADPD底面PDBD，BD平面PAD ，PABD；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，PDAD1,AB 5, BD2，A(1,0,0),B(0,2,0),C(1,2,0),P(0,0,1),AB(1,2,0),CB(1,0,0),PB(0,2,1)nAB0 x2y0設(shè)平面ABP的法向量為n(x,y,z)，由nPB0可得：2yz0 ，令y1，則n(2,1,2)，mCB0

x0設(shè)平面PBC 的法向量為m(x,y,

)，由

可得:1

y

1，則m(0,1,2)，1 1 1

mPB

2yz0 11 1APBC的平面角為，由圖可知為鈍角，則coscosm,n mn 5 5，|m||n| 3 5 3sin 1cos2

22APBC的正弦值為.23 3【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.119（）（）.2【解析】ABCM是平行四邊形，可得CM//ABCM//PAB可證得面面平行；由（1）MC,MD,MPPABNEPAB所成角的余弦值.【詳解】（1）BADABC90，AD//BC,又ADC45ABBC1，AD2,MNADPD的中點(diǎn)，MN//PAMN//PAB,又AM//BC且AMBC，故四邊形ABCM是平行四邊形,CM//ABCM//面PAB,又MN，CM是面CMN內(nèi)的兩條相交直線, 故面CMN//面PAB.（2）由（1）可知，MC,MD,MP兩兩垂直，故建系如圖所示,則A(0,1,0),B(1,

1 3)，1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0, 3),N(0, ,2 22 1 2 3

1 1 3AB(0),PA( 3)，CE

3CE3,0,

3 ，NE( , ，),n=x,yz

是平面

PAB

的法向量

y 3zy 3z0

3 2 63 3令z1，則n(0, 3,1)cos NE,n

2 62 11+1

3,29 4 12 32直線NE與平面PAB所成角的余弦值為1 2

1.2【點(diǎn)睛】20（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由a2b2

21 12ab進(jìn)行變換，得到2(a2b2ba1 1 （2）(b1)2(a1)2

化為a3b32a2b2ab.a b【詳解】（1）a2b2

2aba2

b2得2(a2b2)ab

ab ab

21 1，即2(a2b2ba1 1

，當(dāng)且僅當(dāng) ab1時取等號，a2b22∴ (11a2b222 a b（2）ab(b(ab2 2b 1 a2 2a 1 a3b3 b a 1 1 aba b aaabbb ab 2(ab)(ab) a3b3 a3b32a2b2aba3b3當(dāng)且僅當(dāng)ab1時取等號.

4ab2

8.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.721（1）證明見解析（2）8【解析】由題意，先求得P為BC的中點(diǎn)，再證明平面HMB//平面EDP ，進(jìn)而可得結(jié)論；PBEDPC.【詳解】EDPC的外接球的表面積為時.5則其外接球的半徑為 .52因?yàn)锳BCD時邊長為2的菱形，CDEF是矩形.ED1，且平面CDEFABCD.則ED平面ABCD，EC 5.ECEDPC外接球的直徑所以EPC90，即CBEP.由題意，CBED，EP EDE，所以CBDP.因?yàn)镻BC的中點(diǎn).ADMMHMB.則MB DP，MH DE，DEDPD，所以平面HMB