2019-2020年秋季學(xué)期人教版高二數(shù)學(xué)必修5《不等式》全章復(fù)習(xí)學(xué)案

-2020年秋季學(xué)期人教版高二數(shù)學(xué)必修5《不等式》全章復(fù)習(xí)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)能正確的記憶和靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式組，提高數(shù)學(xué)建模能力；掌握一元二次方程，二次函數(shù)，一元二次不等式，這三個(gè)“二次”的聯(lián)系，會(huì)解一元二次不等式；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決；會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題，注意基本不等式適用的條件.二、要點(diǎn)歸納(一)：不等式的主要性質(zhì)對(duì)稱性：a>bob<a傳遞性：a>b,b>cna>c加法法貝9：a>bna+c>b+c；a>b,c>dna+c>b+d乘法法貝：a>b,c>0nac>bc；a>b,c<0nac<bc，a>b>0,c>d>0nac>bd乘方法貝9：a>b>0nan>bn(neN*且n>1)開方法則：a>b>0nna>nb(neN*且n>1)不等式性質(zhì)中要注意等價(jià)雙向推出和單向推出關(guān)系的不同.(二)：三個(gè)“二次”的關(guān)系1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集：

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為x、x且x<x,A=b2一4ac，則不等1212式的解的各種情況如下表：A>0A二0Av0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象二一兀二次方程ax2+bx+c二0(a>0的根有兩相異實(shí)根x,x(xvx)1212有x1兩相等實(shí)根b=x=-——22a無實(shí)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集xxvx或x>x}12xb]x豐2aRax2+bx+cv0(a>0)的解集xxvxvx}12002.解一元二次不等式的步驟(1)先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)：A=ax2+bx+c(a>0)(2)計(jì)算判別式A，分析不等式的解的情況：A>0時(shí)，求根x,x(注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法);12bA—0時(shí)，求根x=x=一■；122aAv0時(shí)，方程無解(3)寫出解集.若av0，可以轉(zhuǎn)化為a>0的情形解決.三)：線性規(guī)劃用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x,y）,把它的坐標(biāo)（x,y）代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y）從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)Cf0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：如果兩個(gè)變量x、y滿足一組一次不等式組，則稱不等式組是變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件.線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于X、y的一次式z=ax+by（ab^R）是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)．線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．可行解、可行域和最優(yōu)解：在線性規(guī)劃問題中，滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解?由所有可行解組成的集合叫做可行域.使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解．求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟（1）設(shè)變量，建立線性約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）求出線性目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值（即最優(yōu)解）；（4）作答.四）：基本不等式

兩個(gè)重要不等式a,beR，那么a2+b2>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取等號(hào)“=”）基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么a2b>Jab（當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取等號(hào)“=”）.算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)a+b7算術(shù)平均數(shù)：^^稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù):壬ab稱為a,b的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式的應(yīng)用x,ye（0,+s），且xy=P（定值），那么當(dāng)x二y時(shí)，x+y有最小值2JP；x,ye（0,+8），且x+y=S（定值），那么當(dāng)x二y時(shí)，xy有最大值;S2.4在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備的三個(gè)條件：一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值三、典型例題分析題型一】：不等式的性質(zhì)【例1】若a<b<0，則下列不等關(guān)系中不能成立的是（）A．11〉A(chǔ)．11〉-abB.丄>1C.Ia1>1bIa-baD．a(chǎn)2>b2思路點(diǎn)撥】利用不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.【解析】a<b<0，.:—a>—b>01111由V,>匸，：、A項(xiàng)成立.—a—bab由aVbV0,|a|>|b|,：C項(xiàng)成立.由—a>-b>0,(-a)2>(—b)2,a2>b2，:?D項(xiàng)成立.aVbV0,a-bV0,aVa-bV0,-a>b-a>0,：B項(xiàng)不成立.1111：B項(xiàng)不成立.v,>-a-(a-b)aa-b故應(yīng)選B【總結(jié)升華】運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解答不等式問題要注意不等式成立的條件否則將會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】：【變式】已知m,ngR,則丄>丄成立的一個(gè)充要條件是()mnA.m>0>nB.n>m>0C.mn(m-n)V0D.mVnV0答案】C例2】．如果30VxV4216VyV24則(1)x-2y的取值范圍是；(2)-的取值范圍是_y【思路點(diǎn)撥】利用不等式性質(zhì)運(yùn)算時(shí)，注意不等式成立的條件.【答案】(1)521(-18,10)；(2)(「).48【解析】(1)?.?16VyV24,48V-2yV-32，又30VxV42，利用不等式的性質(zhì)a>b,c>dna+c>b+d可得:

-18<x一2y<10.⑵???16<y<24j占<1<16,???30<x<42,利用不等式的性質(zhì)a>b>0,c>d>0nac>bd可得:5x21一<一<——4y8?總結(jié)升華】注意同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減),這種轉(zhuǎn)化的正確應(yīng)用.變式訓(xùn)練】：【變式】如果30<x<42,16<y<24側(cè)(1)x+y的取值范圍是；(2)xy的取值范圍是【答案】(1)(46,66)；(2)(480,1008)【例3】?已知函數(shù)f(x)=ax2-c,滿足-4<f(1)<-1,-1<f(2)<5,那么f⑶的取值范圍是.【思路點(diǎn)撥】將f⑶用f⑴及f⑵表示出來，再利用不等式性質(zhì)求得正確的范圍.解析】解法一：方程思想(換元)：W-cW-c，求得〔[4a-c=f⑵a=3[f(2)-f(1)]41c=-3f(D+3f⑵58:.f(3)=9a-c=-3f(1)+3f(2)又3<-3f⑴<罟,-3<3f⑵<t

58-1<-3f(1)+3f(2)<20,解法二：待定系數(shù)法設(shè)f(3)=9a-c=mf(l)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)（下略）Im+4n=9（下略）I-m-n=-1解法三：數(shù)形結(jié)合（線性規(guī)劃）-4<-4<f(1)<-1-1<f⑵<5-4<a-c<-1-1<4a-c<5所確定區(qū)域如圖:設(shè)z=9a-c，將邊界點(diǎn)（0,1）（3,7）代入即求出.【總結(jié)升華】利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某個(gè)不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對(duì)于這類問題要注意：''同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）”，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，在一個(gè)解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時(shí)，就有可能擴(kuò)大真實(shí)的取值范圍，解題時(shí)務(wù)必小心謹(jǐn)慎，先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性不等關(guān)系的運(yùn)算，求得待求的范圍”，是避免犯錯(cuò)誤的一條途徑.【變式訓(xùn)練】：【變式】已知-1<a+b<5，-1<a—b<3，求3a—2b的取值范圍.

答案】[-3，10]題型二】：不等式的求解【例4】?設(shè)A={xIx2-4x+3<0},B={xIx2-2x+a-8<0},且AoB，求a的取值范圍.【解析】令f(x)=x2-2x+a-8由AoB，及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得「2+a-8<0，解之得-9<a<5.9—6+a—8<0因此a的取值范圍是-9<a<5.總結(jié)升華】正確求解不等式，弄清楚兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵?變式訓(xùn)練】：【變式1】若不等式(x+a)(x+1)>0的解集為(-“I]U[2,+4，求實(shí)數(shù)a的值【答案】由題設(shè)知x=2為方程f(x)=0的根，??.f(2)=0oa=-2???所求實(shí)數(shù)a=-2,b=【變式2】不等式ax2+bx+12>0的解集為｛x|-1<x<2｝,則a=,b=【答案】由不等式的解集為｛x|-l<x<2｝知a<0,且方程ax2+bx+12=0的兩根為-1,2.b一小一由根與系數(shù)關(guān)系得彳————1+2—1a由根與系數(shù)關(guān)系得彳12—(-1)x2—-2、a解得a=-6，b=6.【變式3】已知關(guān)于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【答案】ke(-1,1)U(1，5).【例5】?若關(guān)于x的不等式(m-1)x2-(2m+1)x+m-2>0的解集為一切實(shí)數(shù)R，求m的取值范圍.【解析】當(dāng)m—1時(shí)，原不等式為：-3x-1>0，不符合題意.當(dāng)m<1時(shí)，原不等式為一元二次不等式，顯然不符合題意

當(dāng)m>1時(shí)，只需A<0,(2m+1)2-4(m-1)(m-2)<力，解得me0,m>1綜上，m的取值范圍為me0.【總結(jié)升華】①在含參不等式問題中，二次不等式恒成立的充要條件的理論依據(jù):ax2+bx+c>0對(duì)任何xGR恒成立Oa>0且A=b2-4ac<0；ax2+bx+c<0對(duì)任何xgR恒成立Oa<0且A=b2-4ac<0.②與不等式恒成立相互依存，相互支撐與相互轉(zhuǎn)化的最值命題：“今②恒成立O的最小值“TX)恒成立O“TX)的最大值【變式訓(xùn)練】：【變式】若對(duì)于任意XGR恒有3x2+2x+2>m(x2+x+1)(mgN*)，求m的值【答案】對(duì)任意xGR有3x2+2x+2>m(x2+x+1)恒成立O對(duì)任意xgR恒(3-m)x2+(2-m)x+(2-m)>0成立(3-m>0]A=(2-m)2-4(3-m)(2-m)<010Om<2m>—3又因mGN*,.°.m=l【題型三】：二元一次方程(組)與平面區(qū)域【例6】.設(shè)集合A={(x,y)lx,y,1—x—y是三角形的三邊長},則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是()

解析】利用三角形的三邊關(guān)系得：?x+y>1-x-y<x-y<解析】利用三角形的三邊關(guān)系得：?x+y>1-x-y<x-y<1-x-y，即

y-x<1-x-y1x+y>2,表示的平面區(qū)域?yàn)锳選項(xiàng).y<2,總結(jié)升華】注意本例中三角形本身的性質(zhì).變式訓(xùn)練】：Ix+2y>4【變式】】不等式組〔2x-3y<6所表示的平面區(qū)域?yàn)椋ǎ┐鸢浮窟xBBIx-y>0x+y>0【變式2】不等式組［在xy平面上的解的集合為（）0<x<10<y<1A.四邊形內(nèi)部B.三角形內(nèi)部C.一點(diǎn)D.空集答案】不等式組所表示的平面區(qū)域圖形如下,???交集為三角形內(nèi)部，選B.【題型四】：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解【例7】.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）A.12萬元B.16萬元C.17萬元D.18萬元甲乙原料限額A（噸）3212B（噸）128【思路點(diǎn)撥】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x,y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值?！敬鸢浮緿【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y'3x+2y<12x+2y<8由題意可列｛、八，其表示如圖陰影部分區(qū)域：x>0y>0

當(dāng)直線3x+4y—z=0過點(diǎn)A（2,3）時(shí)，z取得最大值，所以zma=3X2+4X3=18.故選：D.【總結(jié)升華】本題主要考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵。【變式訓(xùn)練】：'x+y-7<0

【變式1】設(shè)x,y滿足約束條件<x一3y+1<0，則z=2x—y的最大值為（）3x—y—5n0A.10B.8C.3D.2【答案】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）.由z=2x—y得y=2x—z.

平移直線y=2x—z,由圖象可知當(dāng)直線y=2x—z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=2x—z的截距最小,此時(shí)z最大．IxIx二5解得|y=2，即C（5，2）代入目標(biāo)函數(shù)z=2x—y,得z=2>6—2=8.故選：B.2x—y+1>0,【變式2】若x,y滿足約束條件｛x―2y―1<0,則z二2x+3y—5的最大值為,x<1,答案】作出不等式組滿足的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y一5經(jīng)過點(diǎn)A（T,—1）時(shí)取得最小值，即zmi廠2x（—1）+3x（-1）—5=—1°.題型五】：均值不等式求最值及應(yīng)用【例8】?求y二2x(3-x)(0<x<3)的最大值.【答案】???0<x<3,3-x〉0且x+(3—x)二3為常數(shù)(當(dāng)且僅當(dāng)x二3—x,即x二2時(shí)取等號(hào))乙x+3—x9y=2x(3—x)(當(dāng)且僅當(dāng)x二3—x,即x二2時(shí)取等號(hào))乙22???當(dāng)x二3時(shí)，y二2max【總結(jié)升華】為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項(xiàng)是常用的一種變形技巧；為了保證式子的值不變，添項(xiàng)后一定要再減去同一項(xiàng).【變式訓(xùn)練】：【變式】已知x>0,y>0，且滿足3x+2y二12，求lgx+lgy的最大值.【答案】???x>0,y>0,lgx+lgy二lg(xy)二lg3x2y<lg[j(3x：2y歸二ig[l(￡)2]二lg666262當(dāng)且僅當(dāng)3x二2y,即x二2,y二3時(shí)等號(hào)成立。所以lgx+lgy的最大值為lg6.【例9】．某廠有一面長14米的舊墻，現(xiàn)在準(zhǔn)備用這面墻的一段為一邊，建造平面圖形為矩形且面積為126平方米的廠房(不考慮墻高)，修1米舊墻的費(fèi)用是造l米新墻費(fèi)用的25%，用拆去舊墻所得的材料建1米墻的費(fèi)用是建1米新墻費(fèi)用的50％(拆舊墻的材料損失忽略不計(jì))．問：如何利用舊墻才能使建墻費(fèi)用最少?(建門窗的費(fèi)用與建新墻的費(fèi)用相同，可以不考慮).【思路點(diǎn)撥】設(shè)出保留舊墻的長度，表示出新建墻的長度，然后根據(jù)題意表示出費(fèi)用函數(shù)，并根據(jù)函數(shù)解析式的特征拼湊常數(shù)，正確應(yīng)用均值不等式求最值．【解析】設(shè)保留的舊墻長為x米，貝卩拆去的舊墻為(14-x)米，用這部分舊墻的材料建墻，另外還應(yīng)建新「126]、墻2x+x-(14-x)米?設(shè)每米新墻造價(jià)為1個(gè)單位，則建墻的總造價(jià)x25x+10050而(1425x+10050而(14—x)+、+2x—14丿252—7'2占-豐