2024年中國科學技術大學少年創(chuàng)新班數(shù)學試題真題（答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中科大少年班及少創(chuàng)班入圍考試數(shù)學真題考試時間：2024年3月9日星期六本次數(shù)學考試，其18個填空題，1個大題.1．1-14個數(shù)填入正方體頂點和各面中心，求證是否可使各面上頂點及中心所填入數(shù)值之和相等.2．一只螞蟻從棱長為1的正方體一個頂點出發(fā)沿棱爬行，回到原點，最短路程.3．求取值范圍.4．，對任意均成立，求的范圍.5．求的常數(shù)項為____.6．是雙曲線，求的范圍7．求曲線所圍成的封閉圖形的面積.8．，求9．某復數(shù)，代表點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，求點坐標.10．若分別為平面上的向量，為平面內(nèi)的定點，的夾角為，.求點軌跡所圍的面積是多少？11．，求12．8本不同的書分給5人，其中1個2本，1個人3本，剩余三人每人一本，求分配的方法有多少？13．甲乙進行比賽.每一輪，甲勝率為，乙勝率為．當其中一人比另一人多勝2輪則獲得最終勝利.則甲獲勝概率為？14．，和相互獨立，，求15．下列哪些命題是真命題？（1）是的充要條件（2）（3），使得（4）若為無理數(shù)，則為無理數(shù)16．到分別為，求的最小值．17．的最小正周期為？答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．否【分析】將個頂點設為，個面中心設為，求出面總和以及所有數(shù)的和，找出矛盾即可.【詳解】將個頂點設為，個面中心設為，則，則面總和為為奇數(shù)，但面總和應該使的倍數(shù)，矛盾，綜上：不可使各面上頂點及中心所填入數(shù)值之和相等.2．16【分析】根據(jù)每個頂點的度為3，且每個定點的出、入度之和為偶數(shù)，求出最短路徑范圍，再找到具體走法且其路徑長恰好為最小值即可得解.【詳解】將立方體看成一個平面圖形，則每個頂點的度為3，但在回到起點的前提下，每個頂點的入度與出度之和應當是一個偶數(shù)，因此至少為4，這說明了最短路徑長不小于，另一方面，設這個正方體為，則的路徑長為，且能遍歷所有棱且回到原出發(fā)點，滿足題意，則最短路徑長恰為.3．【分析】先利用和差化積公式和二倍角公式，轉(zhuǎn)化成和的式子，在利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的的值域問題求解.【詳解】∵.設，則原式，.此時把原式看成是關于的一次函數(shù)，所以函數(shù)的最大最小值必定是時取得.當時，原式，當時，原式.所以原式的取值范圍為：.故答案為：.4．【分析】根據(jù)題意，分離參數(shù)可得在恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，求導即可得到結(jié)果.【詳解】由，對任意均成立，可得在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即，又，令，可得，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，當時，有極小值，即最小值，所以，即的范圍為.5．141【分析】以為整體求出展開式的通項，再利用二項式定理求出常數(shù)項.【詳解】依題意，的展開式的通項為，當時，，當時，展開式的通項，于是，由，得，則，此時常數(shù)項為，所以的常數(shù)項是.故答案為：1416．【分析】考慮雙曲線方程的特點，可求的取值范圍.【詳解】由可得由或，由所以的取值范圍是：.7．【分析】首先判斷曲線的對稱性，從而確定曲線在第一象限內(nèi)與軸所圍成的圖形，再求出圖形的面積.【詳解】對于曲線，將換成得，即曲線關于軸對稱，將換成得，即曲線關于軸對稱，因此只需考慮在第一象限的情形，當，時曲線即，即，所以曲線在第一象限內(nèi)與軸所圍成的圖形是由半徑為的圓去掉一個等腰直角三角形而形成的圖形，根據(jù)對稱性可得曲線所圍成的封閉圖形為下圖陰影部分，所以所圍成的封閉圖形的面積.

8．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合，即可由集合的運算求解.【詳解】由由或，故由，故，因此由于，所以故9．【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后可得與相隔，結(jié)合三角函數(shù)的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為復數(shù)代表點，則，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，設與軸正半軸夾角為，則與軸正半軸夾角為，且，設點，則，，所以.10．【分析】確定點的軌跡為圓面，求解即可.【詳解】因為，所以，所以時，，當時，，所以，所以點軌跡是以A為圓心，為半徑的圓面，所以點軌跡所圍的面積.11．【分析】利用復數(shù)的三角形式的運算，先求出，再利用和差化積公式進行求解.【詳解】設，則.所以：,因為，所以.所以.∵.∴所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：用復數(shù)的三角形式計算復數(shù)的乘方和三角函數(shù)的和差化積公式是解決問題的關鍵.12．【分析】現(xiàn)將8本不同的書分成，再分分給5人，再由分步乘法計數(shù)原理即可得出答案.【詳解】現(xiàn)將8本不同的書分成，所以有種方法，再分給5人，則有種方法，所以一共有：.13．【分析】分析甲最終獲得勝利的情況，求出其概率.【詳解】用表示事件“第一、二輪甲均獲勝”，則，用表示事件“兩輪比賽未決出勝負”，則必定是前兩輪，甲以勝一負，則，則問題回到初始狀態(tài)，用表示事件“甲最終獲得勝利”，則則.故答案為：14．【分析】根據(jù)和事件及相互獨立事件的概率公式即可求解.【詳解】因為和相互獨立，所以.又因為，，，所以，解得：.15．（1）（2）（3）【分析】逐一判斷命題的真假即可.【詳解】對（1）顯然是成立的，故（1）是真命題；對（2）當時，，，故（2）是真命題；對（3）取，其中是不大于的最大整數(shù)，即的整數(shù)部分，則，令，則，故（3）為真命題；對（4）取，，可以驗證（4）是假命題.故答案為：（1）（2）（3）16．70【分析】根據(jù)絕對值不等式求解.【詳解】由，令，且，因為，同理，，上述等號成立條件為，故取時，有，此時取最小值，綜上，，且當時，等號成立，則所求的最小值為.17