2018高三數(shù)列不動點法解題方法整理版

(I)(I)設(shè)c二b2—，求數(shù)列｛b｝的通項公式.（II）求使不等式a<a<3成立的c的a—2nnn+1n取值范圍.解：（I）依題an+1515a—2n2an，記f(x)=2x令f(x)=x，求出不動點x1=2,x2=2；由定理2（i）知:an+1a=2?—一1一2ann+1a—2——nan兩式相除得到kan+121=—?4“1a——

n2堤以-為公比,耳=—2為首項的等比數(shù)列，所以，,an3=2一itz—t，從而b4n—1-3--（H）解略。定理3定理3是f（x）的不動點，數(shù)列｛a｝滿足遞推關(guān)系n設(shè)f(x)=a"+b(a主0),且x、x2ax+d12a=f(a)，nn-1n=2,3,…,則有人an+1—x—i—x2a—x=(f4)2；a—x

n2a—x若一ia—x12>0，貝0Sln仔二［是公比為2的

Ia一x|n等比數(shù)列。證：x、x12是f(x)不動點，dx=b—ax211dx=b—ax222a-a2+ba-a2+b—2a-a-x+ax2—bnn11—a-a2+b—2a-a-x+ax2—b22a—x貝y—nF>0,a—x

n2a—xa—x??ln1=2lnn十a(chǎn)—xa—xn+12n2，故slna一x

—n1a一xn2是公比為2的等比數(shù)列。TOC\o"1-5"\h\za—xa-a2+b—(2a-a+d)x—n+11=nn1a—xa-a2+b—(2a-a+d)xn+12nn2a(a2—2a-x+x2)a—xa—x_=nn——11=()2,乂-4F>0,a(a2—2a-x+x2)a—xa—xnn22n212xnxn+1x>3；⑵求證:n例4（2010東城區(qū)二模試題）已知數(shù)列｛x｝滿足x=4，n1xvx；⑶求數(shù)列｛x｝的通項公式.n+1nnx2-3x2-3,令f(x)=x,求出不動點x=1,x=3；2證：⑴、⑵證略；⑶依題x=上」，記,令f(x)=x,求出不動點x=1,x=3；2n由定理3知：xn+1-1=啟一1=沽，x”+1-3=鼎一3=手'nnnnx一1nlx-3丿nx-14-1x-1又T==3，所以logV+1=2logx-34-33x-31n+13xn+1x-1—n—3x-3n又lOg3汨=11，令a=logTOC\o"1-5"\h\z丈二，則數(shù)列｛a｝是首項為1，公比為2又lOg3汨=11，令a=lognx-1x-13an+1-132n-1+1-1a=2n-1.由an3ana=2n-1.由an3an一132n-1-13x-3x-3nnn利用函數(shù)“不動點”法求解較復(fù)雜的遞推數(shù)列的通項問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對更為復(fù)雜的遞推數(shù)列進(jìn)行論述，以下兩個定理供有興趣的同學(xué)探究證明。b2-2b定理4設(shè)f(x)=ax2+bx+古(a>0)，且x0是/(x)的最小不動點'數(shù)列｛an｝滿足遞推關(guān)系a=f(a),n=2,3,…，則有a-x=a(a-x)2.TOC\o"1-5"\h\znn-1n0n-10b2b3b定理5設(shè)f(x)=ax3+bx2+一x+一-一(a主0),且x是f(