中考數(shù)學開放題的解法

中考數(shù)學開放題的解法【基礎訓練】填空：1．為使2—7b在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，則b可能取的值為（任寫一個）2已知二次函數(shù)的圖象開口向下，且與軸的正半軸相交，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的解析式選擇：1如圖，梯形ABCD的對角線交于點O，有以下四個結(jié)論：①△AOB∽△COD②△AOD∽△ACB③S△DOC：S△AOD=DC：AB④S△BOC=S△AOD其中，始終正確的有（）CA．1個B．2個C．3個D．4個CDDOOABAB2．已知任意四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，且AB=CD，若只增加下列條件中的一個：①AO=BO；②AC=BD；③=；④∠OAD=∠OBC，一定能使∠BAC=∠CDB成立的可選條件是（）。（A）②④（B）①②（C）③④（D）②③④解填空1．答案不唯一，如12，－8等。2．如=－22選擇1．C2．A【知識回顧】近幾年來，數(shù)學開放題在中考試卷中頻頻出現(xiàn)，所占比例也越來越重。這類題是考查和鍛煉學生發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力的重要題型。縱觀數(shù)學開放題，常見的有條件開放型，結(jié)論開放型，策略開放型，綜合開放型等。條件開放型。條件開放題主要特點是條件不充分，一般采用“執(zhí)果索因”的方法，需要學生根據(jù)所掌握的知識進行逆向思維。結(jié)論開放型。結(jié)論開放題的主要特點是結(jié)論多樣性，一般采用“執(zhí)因索果”的方法。這種題不僅可以考查不同層次學生的能力水平，對分層教學起著導向作用。策略開放題。策略開放型，只給出一定的問題情景，其條件、解題策略，結(jié)論中的兩個或全部都要求學生在情景中自行識定和尋找。綜合開放型。綜合開放題覆蓋面廣，運用知識，方法之多是一般綜合題無法比擬的。這種題主要考查學生基本概念的清晰程度和分析問題的全面性等，學生除了應該會解題，還應該會編題，提出問題比解決問題更難?！纠}】例1已知如圖，ΔABC中，AB=AC=10，BC=12,F為BC中點，D是FC上的一點，過點D作BC的垂線交AC于點G，交BA的延長線于點E，如果設DC=,則：圖中哪些線段（如線段BD可記作BD）可看成是的函數(shù)，如：BD=12－，0<<6,FD=6－，0<<6,請寫出其中的四個函數(shù)關系式：①②③④圖中哪些圖形的面積（如△CDG的面積可記作S△CDG可以看成是的函數(shù)（如S△CDG=2，（0<<6），請再寫出其中的兩個函數(shù)關系式：①②思路分析：因為△ABC為等腰三角形，且AB=AC=10，BC=12故BF=FC=6，且AF⊥BC于F，EG⊥BC于D，∴AF∥ED，由三角形相似（或平行線分線段成比例）不難得到線段與的函數(shù)關系式，同樣三角形的面積也可利用相似得到關系式。解（1）∵AB=10，BF=6，∴AF=8，故由=，得DG=,0＜＜6；由=得CG=,0<<6；故AG=10－,0<<6,由=，得AE=6－,0<<6；由=，得ED=12－,0<<6；由EG=ED－DG，得EG=16－,0<<6。綜合上述與關系有①DG=,②CG=,③AG=10－,④AE=10－,⑤ED=16－,⑥EG=16－,其中自變量的取值范圍為0＜＜6。S△BDE=2－1696,S四邊形AFDG=24－2，S△AEG=2－1648,其中自變量的取值范圍為0＜＜6。例2如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE，BE，給出下列五個關系式：①AD∥BC，②DE=CE，③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤ADBC=AB，將其中的三個關系式作為題設，另外兩個作為結(jié)論，構成一個命題。（1）用序號寫出一個真命題（書寫形式如果XXX，那么XXX），并給出證明；（2）用序列號再至少寫出三個真命題（不要求證明）；4324321EDCBAF解（1）如果①②③，那么④⑤證明：如圖，延長AE交BC的延長線于F∵AD∥BC，∴∠1=∠F又∵∠AED=∠CEF，DE=EC，∴△ADE≌△FCE∴AD=CF，AE=EF∵∠1=∠F，∠1=∠2∴∠2=∠F∴∠3=∠4∴ADBC=CFBC=BF=AB（2）如果①②④，那么③⑤如果①③④，那么②⑤如果①③⑤，那么②④如果①④⑤，那么②③例3在平面直角坐標系中，給定以下五點A（－2，0），B（1，0），C（4，0），D（－2，），E（0，－6）從這五點中選出三點，使經(jīng)過這三點的拋物線滿足以平行于軸的直線為對稱軸，我們約定：把經(jīng)過三點A，E，B的拋物線表示為拋物線AEB，（如圖）問符合條件的拋物線還有哪幾條不求解析式，請用約定的方法一一表示出來；在（1）中是否存在這樣的一條拋物線，它與余下的兩點所確定的直線不相交如果存在，試求出拋物線及直線的解析式；如果不存在，請說明理由。分析：（1）根據(jù)A，B，C，D，E五點位置，結(jié)合拋物線是一個關于平行于軸的直線對稱的軸對稱圖形來判斷。（2）圖象是否有交點，取決于兩函數(shù)解析式聯(lián)合組成的方程組是否有實數(shù)解。解（1）符合條件的拋物線還有五條，分別如下：拋物線AEC；②拋物線CBE；③拋物線DEB；④拋物線DEC⑤拋物線DBC（2）在（1）中存在拋物線DBC，它與直線AE不相交。設拋物線DBC的解析式為=a2bc,將D（－2，），B（1，0），C（4，0）三點坐標分別代入得：4a－2bc=,abc=016a4bc=0解這個方程組，得a=,b=－,c=1∴拋物線DBC的解析式為=2－1。①【另法：設拋物線為=a－1－4,代入D（－2，），，得a=,也可?！坑衷O直線AE的解析式為=m（－2，0），E（0，－6）兩點坐標分別代入，得：－2mn=0,n=－6解這個方程組，得m=－3,n=－6。∴直線AE的解析式為=－3－6②由①②組成方程組=2－1①=－3－6②代入②得，－3－6=2－1－12－24=2－542728=0=49－4×28＜0∴拋物線與直線不相交【鞏固練習】1．在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離，你用學過的數(shù)學知識按以下要求設計一測量方案。畫出測量圖案；寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；計算AB的距離。（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）。解答案不唯一，可以利用三角形中位線定理，三角形全等，勾股定理或者解直角三角形的知識等等，只要設計能夠?qū)嶋H操作，符合題目要求即可。ABC2ABC等分三角形面積），請你在圖上作出分法。（不寫作法，保留作圖痕跡。解只要符合題意，均得分，以下三種供參考3．由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖（如圖）請你畫出這個幾何體的一種左視圖；若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，請你寫出n的所有可能值。俯視圖主視圖俯視圖主視圖解（1）左視圖有以下5種情形（只要畫對1種即可）2n=8,9,10,114．已知二次函數(shù)=2b函數(shù)圖象經(jīng)過點A（c,－2）,求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是=3題目中的矩形框部分是一段被墨水染污了無法辨認的字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)的圖象；若不能，請說明理由。（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，添加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。解根據(jù)題意，得－=3（3，）（0（3，）（0，2）YXOa=解這個方程，得b＝－3c=2所以二次函數(shù)的解析式=-32二次函數(shù)的圖象如圖（2）以下其中的一種情況均可得分過拋物線的任意一點的坐標②頂點坐標為（3，-）③與軸的交點坐標（3，0）或（3-，0）④與軸的交點坐標（0，2）⑤b＝－3或c=2GG5．如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG=∠ABD，求證：AD·CE=DE·DF。說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路推導過程寫出來（要求至少3步）。（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明。①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°。GM1證明如圖（1），連結(jié)AF，則∠ABD=GM1∵∠ADG=∠ABD∴∠ADG=∠F∵DF為⊙o的直徑，∴∠DAF=90°∴∠ADF∠F=90°∴∠ADG∠ADF=∠FDG=90°∴∠DAF=∠CDE=90°∵CB⊥AB∴∠CBE=90°取EC中點M，連結(jié)DM，BM，則DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC為直徑的圓上?！唷螦BD=∠DCE∴∠DCE=∠F∴△DAF∽△EDC∴∴AD·CE=DE·DF沒有直接解答問題寫出探究過程思路一：如圖（1），連結(jié)AF∵DF為⊙o的直徑，∴∠DAF=90°∴∠ADF∠F=90°∵∠ADG=∠ABD，∠ABD=∠F∴∠ADG=∠F∴∠ADF∠ADG=90°∴DF⊥CG思路二：如圖（1），連結(jié)AF∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF＝900G2∴∠ADF∠F=90°∵CB⊥AB∴∠CBD∠G2∵∠ABD=∠F∠ADF=∠CBD思路三：如圖（2），連結(jié)BF∵DF為⊙o的直徑，∴∠DBF=90°∴∠ABD∠ABF=90°∵∠ADG=∠ABD，∠ADF=∠ABF∴∠ADF∠ADG=90°，即∠GDF=90°∴CG切⊙o于DG3思路四：如圖3，連結(jié)G3要證AD·CE=DE·DF，需證需證△DAF∽△EDC需證∠F=∠DCE，∠ADE=∠DEC要證∠ADE=∠DEC，需證AD∥CE要證∠F=∠DCE，需證∠DCE=∠DBA（二）選?、僮C法一：如圖3，連結(jié)AF，則∠ABD=∠F∵∠ADG=∠ABD∴∠ADG=∠F∵DF為⊙o的直徑，∴∠DAF=90°∴∠ADF∠F=90°∴∠ADG∠ADF=∠FDG=90°∴∠DAF=∠CDE=90°∴CD是⊙o的切線∴∠BAD=∠BDC∴∠BDC=∠CEB∴∠BAD=∠CEB∴AD∥CE∴∠ADF=∠DEC∴△DAF∽△EDC∴∴AD·CE=DE·DF證法二：同證法一∵AD∥CE∴∠ADG=∠DCE∴∠DCE=∠F∴△DAF∽△EDC∴∴AD·CE=DE·DF（三）選?、谧C法一：如圖3，連結(jié)AF同（二）中證法一，得∠DAF=∠CDE=90°G4∵AD∥CE∴∠ADF=∠DEC∴△DAF∽△EDC∴G4∴AD·CE=DE·DF證法二：如圖4，連結(jié)AF，BF∵∠ADG=∠DBA，∠ADF=∠ABF∴∠ADG∠ADF=∠DBA∠ABF，即∠GDF=∠DBF∵DF為⊙o的直徑，∴∠DBF=∠DAF=90°∴∠GDF=90°∴∠DAF=∠EDC=90°∵AD∥CE∴∠ADE=∠DEC∴△DAF∽△EDC∴∴AD·CE=DE·DF（四）選取③證明：如圖3，∵DF為⊙o的直徑，∴∠DAF=90°∵∠CDE=90°∴∠DAF=∠CDE又∵∠ADF=∠DEC∴△DAF∽△EDC∴∴AD·CE=DE·DFPABCEGFDQR6．如圖：已知△ABC、△DCE、△FEG是三個全等的等腰三角形底邊BC，CE，EG在同一條直線上，且AB=，BC=1，連結(jié)BF分別交AC、DC、PABCEGFDQR求證：△BFG∽△FEG，并求出BF的長；觀察圖形，請你提出一個與點P相關的問題，并進行解答（根據(jù)提出問題的層次和解答過程評分）解（1）證明∵△ABC≌△DCE≌△FEG,BC=CE=EG=BG=1，即BG=3∴FG=AB=,∴===又∠BGF=∠FGE,∴△BFG∽△FEG∵△FEG是等腰三角形,∴△BFG是等腰三角形,∴BF=BG=32A層問題較淺顯的,僅用到了1個知識點。例如：①求證：∠PCB=∠REC。（或問∠PCB與∠REC是否相等）等；②求證：PC∥RE。（或問線段PC與RE是否平行）等B層問題（有一定思考的，用到了2～3個知識點）。例如：①求證：∠BPC=∠BFG等，求證：BP=PR等；②求證：△ABP∽△CQP等求證：△BPC∽△BRE等；③求證：△ABP∽△DQR等；④求BP：PF的值等。C層問題（有深刻思考的，用到了4個或4個以上知識點、或用到了（1）中結(jié)論）。PABCEGFDQR例如：①求證：△ABP≌△ERF；②求證：PQ=RQ等；③求證：△BPC是等腰三角形④求證：△PCQ≌△RDQ等；⑤求：AP：PC的值等；⑥求PABCEGFDQRA層解答舉例：求證：PC∥RE。證明：∵△ABC≌△DCE，∴∠PCB=∠REB，∴PC∥REB層解答舉例：求證：BP=PR。證明：∵∠ACB=∠REC，∴AC∥DE。又∵BC=CE，∴BP=PR。C層解答舉例：求AP：PC的值。解：AC∥FG，∴==，∴PC=，而AC=?！郃P=－=，∴AP：PC=2?！就卣埂吭谝环b長廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖）現(xiàn)找出其中的一種，測得∠B=90°，AB=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切。請你設計出所有可能符合題意的方案示意圖