2020高中數(shù)學(xué) 第章 三角恒等變換 .1.2 兩角和與差的正弦教案（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1.2兩角和與差的正弦學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．能利用兩角和與差的余弦公式及誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正弦公式．(難點)2．能利用公式解決簡單的化簡求值問題．（重點)1．通過兩角和與差的正弦公式及輔助角公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)．2．借助兩角和與差的正弦公式、輔助角公式的應(yīng)用，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。1．兩角和與差的正弦公式（1)Sα＋β：sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β。(2)Sα－β：sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2）sin（x＋θ)（a，b不同時為0),其中cosθ＝eq\f(a，\r（a2＋b2）)，sinθ＝eq\f(b，\r（a2＋b2)）.思考：根據(jù)公式C(α±β）的識記規(guī)律,你能總結(jié)出公式S（α±β)的記憶規(guī)律嗎？［提示］對比公式C(α±β)的識記規(guī)律“余余正正,和差相反"可得公式S(α±β）的記憶規(guī)律：“正余余正,和差相同”．1．cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值為()A．eq\f(1，2) B．eq\f（\r(2)，2）C．eq\f(\r（3）,2） D．以上都不對A[原式＝sin（13°＋17°）＝sin30°＝eq\f（1,2)。］2．函數(shù)y＝sinx－cosx的最小正周期是(）A．eq\f（π,2) B．πC．2π D．4πC[y＝sinx－cosx＝eq\r(2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2），2)sinx－\f(\r(2），2）cosx)）＝eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（π,4)))，∴函數(shù)的最小正周期為T＝2π.]3．已知α為銳角，sinα＝eq\f（3，5)，β是第四象限角，cos（π＋β)＝－eq\f(4，5），則sin（α＋β)＝________。0［∵α為銳角，且sinα＝eq\f(3,5),∴cosα＝eq\f（4,5）.又β為第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－eq\f（4，5)，∴cosβ＝eq\f(4，5)，sinβ＝－eq\f(3，5).∴sin(α＋β）＝eq\f(3，5）×eq\f（4,5)＋eq\f（4,5)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5）)）＝0.］利用公式化簡求值【例1】（1)eq\f（sin47°－sin17°cos30°，cos17°）＝(）A．－eq\f（\r（3）,2) B．－eq\f(1，2）C．eq\f(1，2） D．eq\f(\r（3），2）(2）求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；（3)求sin（θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－eq\r（3）cos(θ＋15°）的值．［思路探究］（1)化簡求值應(yīng)注意公式的逆用．(2）(3)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值．（1）C[eq\f（sin47°－sin17°cos30°，cos17°）＝eq\f（sin17°＋30°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f（sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°，cos17°）＝eq\f(cos17°sin30°，cos17°)＝sin30°＝eq\f（1，2)。](2)解：原式＝sin（180°－23°）cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1。(3)sin(θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－eq\r(3)cos（θ＋15°）＝sin（θ＋15°＋60°）＋cos（θ＋15°＋30°）－eq\r（3)cos（θ＋15°）＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°）·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－eq\r(3)cos(θ＋15°)＝eq\f（1,2）sin（θ＋15°)＋eq\f(\r(3),2）cos（θ＋15°)＋eq\f（\r(3),2)cos(θ＋15°)－eq\f(1,2)sin（θ＋15°)－eq\r（3）cos（θ＋15°）＝0.1．對于非特殊角的三角函數(shù)式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數(shù)值，一般有以下三種途徑：（1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2）化為正負相消的項，消去,求值；(3)化為分子、分母形式，進行約分再求值．2．在進行求值過程的變換中,一定要本著先整體后局部的基本原則,先整體分析三角函數(shù)式的特點，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進行各局部的變換．1．化簡下列各式：（1）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,3))）＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,3）))－eq\r（3）coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)－x）)；(2）eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β）．［解］（1）原式＝sinxcoseq\f（π,3)＋cosxsineq\f(π，3）＋2sinxcoseq\f（π,3）－2cosxsineq\f（π，3)－eq\r（3）coseq\f(2π，3）cosx－eq\r(3)sineq\f（2π,3）sinx＝eq\f（1,2)sinx＋eq\f(\r（3),2)cosx＋sinx－eq\r（3)cosx＋eq\f（\r（3),2）cosx－eq\f（3，2)sinx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）＋1－\f（3,2))）sinx＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，2)－\r（3)＋\f（\r（3）,2））)cosx＝0.（2)原式＝eq\f(sin［α＋β＋α］－2cosα＋βsinα,sinα）＝eq\f(sinα＋βcosα－cosα＋βsinα,sinα）＝eq\f(sin[α＋β－α],sinα）＝eq\f（sinβ,sinα）。給值（式）求值【例2】設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2),π)),β∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π））,若cosα＝－eq\f（1,2）,sinβ＝－eq\f(\r(3）,2)，求sin(α＋β)的值．[思路探究］應(yīng)用公式?注意角的范圍?求出所給角的正弦值．［解]因為α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2），π)），cosα＝－eq\f(1,2),所以sinα＝eq\f（\r(3）,2)，因為β∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),2π))，sinβ＝－eq\f（\r(3),2)，所以cosβ＝eq\f(1，2).所以sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(\r(3）,2）×eq\f（1，2）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2）））×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3),2))）＝eq\f(\r(3)，2)。1．（變結(jié)論)若條件不變，試求sin（α－β)＋cos(α－β）的值．[解]sin（α－β）＋cos（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2）×eq\f（1，2)－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）））×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3），2））)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2))）×eq\f（1,2）＋eq\f（\r(3），2)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3)，2）)）＝eq\f（\r（3）,4）－eq\f(\r（3）,4）－eq\f（1，4）－eq\f（3，4)＝－1.2．(變條件）若將角β的條件改為第三象限，其他條件不變，則結(jié)果如何？[解］因為α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）,π))，cosα＝－eq\f（1，2)，所以sinα＝eq\f(\r（3），2）.因為β為第三象限,所以cosβ＝－eq\f(1，2).所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f（\r（3)，2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2))）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（\r（3),2))）＝－eq\f(\r(3），4）＋eq\f(\r(3)，4)＝0。1．當(dāng)“已知角”有兩個或多個時，“所求角”一般可以表示為其中兩個“已知角”的和或差的形式．2．當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．3．角的拆分方法不唯一,可根據(jù)題目合理選擇拆分方式．提醒：解題時要重視角的范圍對三角函數(shù)值的制約，從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出三角函數(shù)值．輔助角公式的應(yīng)用[探究問題]1。函數(shù)y＝sinx＋cosx（x∈Z)的最大值為2對嗎？為什么？[提示］不對．因為sinx＋cosx＝eq\r（2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2),2）sinx＋\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sinx·cos\f（π,4）＋cosx·sin\f（π，4）)）＝eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4)）)，所以函數(shù)的最大值為eq\r（2）。2．函數(shù)y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？[提示］因為y＝3sinx＋4cosx＝5eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,5)sinx＋\f(4，5)cosx)），令cosφ＝eq\f（3,5），sinφ＝eq\f（4,5），則y＝5（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝5sin(x＋φ)，所以函數(shù)y的最大值為5。3．如何推導(dǎo)asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f（b，a)))公式？[提示]asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,\r（a2＋b2）)sinx＋\f(b，\r(a2＋b2）)cosx）)，令cosφ＝eq\f(a,\r（a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b，\r（a2＋b2)），則asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝eq\r(a2＋b2)sin（x＋φ）(其中φ角所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tanφ＝eq\f（b,a)確定，或由sinφ＝eq\f(b，\r（a2＋b2）)和cosφ＝eq\f（a，\r（a2＋b2))共同確定）．【例3】設(shè)函數(shù)f（x）＝sinx＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3）))。(1）求f(x)的最小值,并求使f（x)取得最小值的x的集合;(2)不畫圖,說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到．[思路探究］輔助角公式?轉(zhuǎn)化成“一角一函數(shù)”的形式?將所給函數(shù)展開與合并．[解］（1)f（x)＝sinx＋sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3)＝sinx＋eq\f（1，2）sinx＋eq\f（\r（3),2）cosx＝eq\f（3,2)sinx＋eq\f（\r(3），2)cosx＝eq\r(3)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sinxcos\f（π,6）＋cosxsin\f(π，6)）)＝eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6))),當(dāng)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,6)))＝－1時,f(x)min＝－eq\r（3)，此時x＋eq\f（π，6)＝eq\f(3π,2）＋2kπ（k∈Z）,所以x＝eq\f（4π，3）＋2kπ（k∈Z）．所以f（x）的最小值為－eq\r(3)，x的集合為eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（4π,3）＋2kπ,k∈Z））)).(2)將y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\r(3）倍，得y＝eq\r（3）sinx的圖象；然后將y＝eq\r(3)sinx的圖象上所有的點向左平移eq\f（π,6）個單位長度，得f(x)＝eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)））的圖象。(變結(jié)論)例題中的條件不變，試求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間？[解]由本例解析知函數(shù)可化為f(x)＝eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)）)，當(dāng)2kπ－eq\f（π，2）≤x＋eq\f（π,6）≤2kπ＋eq\f(π，2）(k∈Z），即2kπ－eq\f（2π，3）≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)時，函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)2kπ＋eq\f（π,2)≤x＋eq\f(π,6）≤2kπ＋eq\f（3π,2），即2kπ＋eq\f(π，3）≤x≤2kπ＋eq\f(4π，3）（k∈Z）時，函數(shù)為減函數(shù)．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3））)(k∈Z),函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π,3）,2kπ＋\f（4π,3))）（k∈Z)．1．把所給函數(shù)展開，合并化簡，然后利用輔助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．2．函數(shù)圖象可通過y＝sinx→y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,6)）)→y＝eq\r（3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)））的順序得到．(教師用書獨具）1．兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特點（1)公式中的α，β均為任意角．（2)兩角和與差的正弦公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式可以看成是兩角和與差的正弦公式的特例．（3）兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)是“正余余正，加減相同”，兩角和與差的余弦公式結(jié)構(gòu)是“余余正正，加減相反”．2．兩角和與差的正弦、余弦公式的內(nèi)在聯(lián)系3．使用和差公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式.1．若cosα＝－eq\f(4，5），α是第三象限的角，則sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4)))＝（)A．－eq\f(7\r（2),10) B．eq\f(7\r(2）,10）C．－eq\f（\r(2)，10) D．eq\f（\r（2),10）A[∵cosα＝－eq\f（4,5）,α為第三象限角,∴sinα＝－eq\f(3,5）,由兩角和的正弦公式得sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,4）)）＝sinαcoseq\f（π,4）＋cosα·sineq\f(π,4）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f（\r(2），2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（4,5)））×eq\f(\r(2)，2)＝－eq\f(7\r(2），10)。]2．函數(shù)f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,6）））的值域為(