清北學(xué)霸高考秘籍高考數(shù)學(xué)坐標(biāo)法的妙用與內(nèi)切球

高考數(shù)學(xué)坐標(biāo)法的妙用與內(nèi)切球——北大學(xué)霸高考數(shù)學(xué)提分秘籍【典例13】某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．解析：如圖，在長、寬、高分別為的長方體中，為所在棱的中點(diǎn)，由三視圖知識可知，幾何體即為三棱錐，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，設(shè)球心為，，于是有，解得，所以，所以外接球的半徑為,表面積為.點(diǎn)評：用坐標(biāo)法求解，要善于借助于長方體.將幾何體納入長方體后，各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)容易求出，設(shè)出球心坐標(biāo)，利用球心到球面上各頂點(diǎn)的距離都等于半徑，求解球心坐標(biāo)，進(jìn)而求解問題.類型二多面體的內(nèi)切球【典例14】四棱錐的底面是邊長為6的正方形，且，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是（）A．6B．5C.D．【解析】由于四棱錐的底面是正方形，且，所以四棱錐是正四棱錐，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球球心為，與底面切于點(diǎn)，與側(cè)面切于點(diǎn)，則點(diǎn)是底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的中線上，，易知，所以，又，所以.【試題點(diǎn)評】球與多面體間的“切”的問題，關(guān)鍵突破口是作出過它們的“切”的切點(diǎn)且與軸截面重合的一個(gè)截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，在計(jì)算過程中要抓住球半徑這個(gè)主要元素，再利用平面幾何、三角函數(shù)知識求解.【典例15】在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，則該陽馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為．【解析】因?yàn)閭?cè)棱底面，且底面為長方形，所以內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖為的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為，根據(jù)圓的切線長定理得，所以內(nèi)切球的半徑為；設(shè)該陽馬的外接球半徑為，易知該陽馬補(bǔ)形所得的正方體的對角線為其外接球的直徑，所以，所以該陽馬的外接球與內(nèi)切球表面積之和為.【試題點(diǎn)評】由于“球”是“圓”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意與圓的性質(zhì)類比．球的軸截面是大圓，它幾乎含有球的全部元素，所以有關(guān)球的計(jì)算，往可以作出球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”來解決問題，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【典例16】（2018屆湖南常德二模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，側(cè)棱底面，，且，則該鱉臑的內(nèi)切球的半徑為．【解析】由鱉臑的性質(zhì)可知，，，所以，故.【試題點(diǎn)評】求解三棱錐的內(nèi)切球的半徑也可以應(yīng)