《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》第2課時(shí)示范公開(kāi)課教學(xué)PPT課件【高中數(shù)學(xué)人教A版】

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第2課時(shí)導(dǎo)入新課問(wèn)題1

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么？已知量求和公式首項(xiàng)a1、公比q（q≠1）與項(xiàng)數(shù)n首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an與公比q（q≠1）首項(xiàng)a1、公比q＝1

Sn＝na1新知探究問(wèn)題2

若數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是公差為d的等差數(shù)列，如何求數(shù)列｛an＋bn｝的前n項(xiàng)和Sn？Sn＝（a1＋b1）＋（a2＋b2）＋?＋（an＋bn）＝（a1＋a2＋?＋an）＋（b1＋b2＋?＋bn）

新知探究問(wèn)題3

數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為1，且an＋1＝2an＋1，你能求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，如果兩邊同加上1可得：an＋1＋1＝2（an＋1），又a1＋1＝2，所以數(shù)列｛an＋1｝是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1，即數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝2n－1．初步應(yīng)用解答：設(shè)正方形的面積為a1，后續(xù)各正方形的面積依次為a2，a3，…，an，…，則a1＝25，

由于第k＋1個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別是第k個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，例1

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；（2）如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？初步應(yīng)用例1

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；（2）如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？設(shè)｛an｝的前項(xiàng)和為Sn，

所以，前10個(gè)正方形的面積之和為

cm2．

初步應(yīng)用（2）當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨近于所有正方形的面積和a1＋a2＋a3＋?＋an＋?，

Sn將趨近于50．例1

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和；（2）如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50．

初步應(yīng)用例2

去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)你測(cè)算一下從今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬(wàn)噸）．設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列｛an｝，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列｛bn｝，n年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量為Sn（單位：萬(wàn)噸），則an＝20（1＋5%）n，bn＝6＋1.5n，初步應(yīng)用例2

去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增5%，同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)你測(cè)算一下從今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬(wàn)噸）．Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋?＋（an－bn）

當(dāng)n＝5時(shí)，S5≈63.5，＝（a1＋a2＋?＋an）－（b1＋b2＋?＋bn）

所以，從今年起5年內(nèi)，通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬(wàn)噸．初步應(yīng)用解決數(shù)列應(yīng)用題時(shí)：一是明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問(wèn)題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題；二是明確是求an，還是求Sn．細(xì)胞繁殖、利率、增長(zhǎng)率等問(wèn)題一般為等比數(shù)列問(wèn)題．初步應(yīng)用例3

某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…（1）寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示cn＋1與cn之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r為常數(shù)；（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋?＋c10的值（精確到1）．解答：（1）由題意，得c1＝1200，并且cn＋1＝1.08cn－100．①初步應(yīng)用例3

某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…（1）寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示cn＋1與cn之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成cn＋1－k＝r（cn－k）的形式，其中k，r為常數(shù)；（2）將cn＋1－k＝r（cn－k）化成cn＋1＝rcn－rk＋k．②

所以（1）中的遞推公式可以化為cn＋1－1250＝1.08（cn－1250）．初步應(yīng)用例3

某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…（3）求S10＝c1＋c2＋c3＋?＋c10的值（精確到1）．（3）由（2）可知，數(shù)列｛cn－1250｝是以－50為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則（c1－1250）＋（c2－1250）＋（c3－1250）＋?＋（cn－1250）

所以S10＝c1＋c2＋c3＋?＋c10≈1250×10－724.8＝11775.7≈11776．初步應(yīng)用在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)不容易發(fā)現(xiàn)呈等差關(guān)系或等比關(guān)系變化的量，但可以發(fā)現(xiàn)某些量的遞推關(guān)系．這時(shí)，往往可以先構(gòu)建一個(gè)用遞推關(guān)系表達(dá)的數(shù)列，再嘗試通過(guò)代數(shù)變換，把這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，或等差數(shù)列與等比數(shù)列的線性組合．對(duì)于數(shù)列｛cn｝滿足：cn＋1＝rcn＋m，先通過(guò)引入?yún)?shù)，建立一個(gè)含cn＋1與cn的等比關(guān)系，再求出其中的參數(shù)，這實(shí)際上是待定系數(shù)法，即：cn＋1－k＝r（cn－k），先求出數(shù)列｛cn－k｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式．課堂練習(xí)練習(xí)：教科書(shū)P40練習(xí)1～4．歸納小結(jié)掌握用等比數(shù)列知識(shí)解決增長(zhǎng)率等問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，尤其要注意公比與項(xiàng)數(shù)的選?。桓鶕?jù)實(shí)際問(wèn)題，先分清等比數(shù)列與等差數(shù)列，再建立不同的數(shù)學(xué)模型；通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與等比數(shù)列的不同特點(diǎn)．作業(yè)布置作業(yè)：教科書(shū)P41習(xí)題4.36、7、8、9．1目標(biāo)檢測(cè)C等比數(shù)列｛an｝的公比為q（q≠1），則數(shù)列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n項(xiàng)和為（）A．C．D．B．

解析：等比數(shù)列中，序號(hào)成等差數(shù)列，則項(xiàng)仍成等比數(shù)列，則a3，a6，…，a3n是等比數(shù)列，再用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解，

且首項(xiàng)為a3，故選C．2目標(biāo)檢測(cè)－63記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________．解析：因?yàn)镾n＝2an＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－（2an－1＋1），所以數(shù)列｛an｝是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以an＝2an－1，所以an＝－2n－1，3目標(biāo)檢測(cè)某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年減少

，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元．由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增長(zhǎng)

．求n年內(nèi)的總投入與n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入．

解答：由題意知第1年投入800萬(wàn)元，

……目標(biāo)檢測(cè)由題意知，第1年旅游業(yè)的收入為400萬(wàn)元，

……3某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年減少

，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元．由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的