(復(fù)變)第八章課件

拉普拉斯變換第八章拉普拉斯變換第八章1§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)時(shí)有定義，而且積分

在復(fù)數(shù)s的某一個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)記為F(s)=L[f](s)=.稱(chēng)為函數(shù)的f(t)的拉普拉斯變換式，F(xiàn)(s)稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯變換(或稱(chēng)為象函數(shù)).若F(s)是f(t)的拉普拉斯變換，則稱(chēng)f(t)為F(s)的拉普拉斯逆變換(或稱(chēng)為原象函數(shù))，記作f(t)=L-1[F](t).§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)2例8.1求階躍函數(shù)u(t)=的拉普拉斯變換.解：L[u](s)=例8.2求函數(shù)f(t)=eat的拉普拉斯變換，其中a是復(fù)常數(shù).

解：當(dāng)Re(s)>Re(a)時(shí)，L[f](s)=即L[eatu(t)](s)=,Re(s)>Re(a)

例8.1求階躍函數(shù)u(t)=3例8.3求函數(shù)tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數(shù).解：L[tn](s)=用分部積分法，得所以有L[tn]=L[tn-1].

當(dāng)n=1時(shí)L[t](s)=當(dāng)n=2時(shí)，有L[t2](s)=L[tn](s)=例8.3求函數(shù)tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數(shù).解：L[4定理8.1若函數(shù)f(t)滿(mǎn)足下列條件：(1)在t0的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2)存在常數(shù)M>0與00，使得即當(dāng)t時(shí)，函數(shù)f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一個(gè)指數(shù)函數(shù)，0稱(chēng)為函數(shù)f(t)的增長(zhǎng)指數(shù).則函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換在半平面Re(s)>0上存在，右端的積分在閉區(qū)域Re(s)>0上絕對(duì)收斂且一致收斂，并且在半平面Re(s)>0內(nèi)，F(xiàn)(s)為解析函數(shù).定理8.1若函數(shù)f(t)滿(mǎn)足下列條件：5證明：設(shè)=Re(s),

，則由條件(2)有所以在Re(s)上存在.右端積分在Re(s)上也是絕對(duì)且一致收斂.證明：設(shè)=Re(s),6積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以，在上可導(dǎo).由的任意性知,在上存在，且為解析函數(shù).定理得證.積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以7例8.4求正弦函數(shù)sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實(shí)數(shù).解：當(dāng)時(shí)，有余弦函數(shù)coskt的拉普拉斯變換例8.4求正弦函數(shù)sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實(shí)數(shù).8例8.5求周期為2a的函數(shù)的拉普拉斯變換.解：由拉普拉斯變換的定義，有令，則有例8.5求周期為2a的函數(shù)解：由拉普拉斯變換的定義，有令9根據(jù)函數(shù)的定義，有所以，記.當(dāng)時(shí)，有因此有根據(jù)函數(shù)的定義，有所以，記.10故有故有11單位脈沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換.解：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數(shù)12§8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)定理8.2對(duì)函數(shù)的拉普拉斯變換有下列性質(zhì)成立.(1)（線(xiàn)性性質(zhì)）設(shè)，為常數(shù)，記，，則有

或有

(2)（延遲性質(zhì)）若，則對(duì)，有

或有

(3)（位移性質(zhì)）記.對(duì)常數(shù)s0，若，則有§8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)定理8.2對(duì)函數(shù)的拉普拉斯13證明：性質(zhì)1說(shuō)明函數(shù)的線(xiàn)性組合的拉普拉斯變換等于各函數(shù)的拉普拉斯變換的線(xiàn)性組合.證明性質(zhì)2當(dāng)t<0時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，因此有證明：性質(zhì)1說(shuō)明函數(shù)的線(xiàn)性組合的拉普拉斯變換等于各函數(shù)的拉14例8.7求函數(shù)的拉普sint拉斯變換，其中為實(shí)數(shù).解：

例8.7求函數(shù)的拉普sint拉斯變換，其中為實(shí)數(shù).解：15例8.8求的拉普拉斯變換.解：例8.9求.解：例8.8求的拉普拉斯16解：階躍函數(shù)u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數(shù)的拉普拉斯變換.根據(jù)延遲性質(zhì)，有解：階躍函數(shù)u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數(shù)17*例8.11設(shè)是周期為T(mén)的函數(shù)，其中，即是指，，，.求的拉普拉斯變換.解：定義函數(shù)記由延遲性質(zhì)，有 *例8.11設(shè)是周期為T(mén)18當(dāng)時(shí)，有，所以上式括號(hào)內(nèi)是一個(gè)公比的模小于1的等比級(jí)數(shù)，從而有當(dāng)時(shí)，有19定理8.3(微分性質(zhì)）記，則有

其中.同時(shí)我們還有證明：由拉普拉斯變換的定義，有由分部積分公式，得 定理8.3(微分性質(zhì)）記20推論8.1記，則有例8.13求函數(shù)的拉普拉斯變換，其中為常數(shù).解：由于再由線(xiàn)性性質(zhì)，有故有推論8.1記21定理8.4（積分性質(zhì)），則有

若積分收斂，則的拉普拉斯變換存在，且有證明：記，則有，且.定理8.4（積分性質(zhì)）22例8.15求函數(shù)的拉普拉斯變換.解：

例8.15求函數(shù)的拉23定理8.5*（初值定理）記.如果極限存在，則有

其中.證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)定理8.3，有根據(jù)假設(shè)，存在，所以也存在，而且兩者相等.定理8.5*（初值定理）記24又因?yàn)槔绽棺儞Q存在定理所述的關(guān)于積分的一致收斂性，從而容許交換積分與極限的次序，所以有又因?yàn)槔绽棺儞Q存在定理所述的關(guān)于積分的一致收斂性，從而容25定理8.6*（終值定理）記.如果存在，且的所有奇點(diǎn)在左半平面，其中0是函數(shù)f的增長(zhǎng)指數(shù)，則有證明：由定理的條件以及微分性質(zhì)定理8.3，有兩邊關(guān)于s取極限，得又因?yàn)槎ɡ?.6*（終值定理）記26故有即是故有即是27卷積定理當(dāng)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，，則上式可表示為卷積定理當(dāng)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，28定義8.2

設(shè)函數(shù)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，，定義f和g的卷積為例8.17計(jì)算函數(shù)和的卷積.解：定義8.2設(shè)函數(shù)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，29定理8.7（卷積定理）設(shè)函數(shù)f(t)和g(t)滿(mǎn)足拉普拉斯變換存在定理的條件，記，，則的拉普拉斯變換一定存在，且有

或是證明：容易得到滿(mǎn)足拉普拉斯變換存在定理的條件，其變換式為定理8.7（卷積定理）設(shè)函數(shù)f(t)和g(t)滿(mǎn)足拉普拉斯30作變量替換，則有故有作變量替換，則有故有31§8.3拉普拉斯逆變換函數(shù)的拉普拉斯變換實(shí)際上就是函數(shù)的傅里葉變換，其中是階躍函數(shù).當(dāng)函數(shù)滿(mǎn)足傅里葉變換定理的條件時(shí)，對(duì)于而函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，有§8.3拉普拉斯逆變換函數(shù)的拉普拉斯變換實(shí)際上32兩邊同時(shí)乘以，則對(duì)，有令，則有從象函數(shù)F(s)出發(fā)求原象函數(shù)f(t)的一般公式.右邊的積分稱(chēng)為拉普拉斯變換的反演積分.兩邊同時(shí)乘以，則對(duì)，有令33定理8.8記.如果函數(shù)的全部奇點(diǎn)s1，s2，…，sn都位于半平面，其中σ為一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，且當(dāng)?shù)臉O限為零，則對(duì)，有證明：作如圖所示的閉曲線(xiàn)，其中是半圓周，位于區(qū)域內(nèi)，L為直線(xiàn)當(dāng)R充分大時(shí)，閉曲線(xiàn)所圍的區(qū)域包含F(xiàn)(s)的所有奇點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在整個(gè)復(fù)平面上解析，所以函數(shù)的奇點(diǎn)就是F(s)的全部奇點(diǎn).定理8.8記34根據(jù)留數(shù)定理，有即令R+，當(dāng)t>0時(shí)，上式左端第二個(gè)積分的極限為零，即故有根據(jù)留數(shù)定理，有即令R+，當(dāng)t>0時(shí)，上式左端第二個(gè)積分35例8.18求函數(shù)的拉普拉斯逆變換.解：函數(shù)F(s)有兩個(gè)單極點(diǎn)和所以，當(dāng)t>0時(shí)，有例8.18求函數(shù)36例8.20求函數(shù)的拉普拉斯逆變換.解：由拉普拉斯逆變換公式，有由拉普拉斯變換的位移性質(zhì)，有所以因此例8.20求函數(shù)37*§8.4拉普拉斯變換的應(yīng)用例8.22求初值問(wèn)題

在區(qū)間上的解.解：記.在第一式兩邊取拉普拉斯變換，得解代數(shù)方程，有*§8.4拉普拉斯變換的應(yīng)用例8.22求初值問(wèn)題解：記38其中

求拉普拉斯逆變換，得應(yīng)用拉普拉斯變換求常系數(shù)線(xiàn)性微分方程問(wèn)題的主要步驟有：1.對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，利用初值條件得到關(guān)于像函數(shù)F(s)的代數(shù)方程；2.求解關(guān)于F(s)的代數(shù)方程，得到F(s)的表達(dá)式；3.對(duì)F(s)的表達(dá)式取拉普拉斯逆變換，求出f(t)，得微分方程的解.其中求拉普拉斯逆變換，得應(yīng)用拉普拉斯變換求常系數(shù)線(xiàn)性微分39例8.23求方程組滿(mǎn)足初始條件的解.解：記.對(duì)方程組兩邊取拉普拉斯變換，并考慮初始條件，則有例8.23求方程組解：記40將方程組整理化簡(jiǎn)得解代數(shù)方程組，得Y(s)的原像函數(shù)將方程組整理化簡(jiǎn)得解代數(shù)方程組，得Y(s)的原像函數(shù)41經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫(xiě)在最后經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫(xiě)42謝謝大家榮幸這一路，與你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演講人：XXXXXX時(shí)間：XX年XX月XX日

謝謝大家演講人：XXXXXX43拉普拉斯變換第八章拉普拉斯變換第八章44§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)時(shí)有定義，而且積分

在復(fù)數(shù)s的某一個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，則由此積分所確定的函數(shù)記為F(s)=L[f](s)=.稱(chēng)為函數(shù)的f(t)的拉普拉斯變換式，F(xiàn)(s)稱(chēng)為f(t)的拉普拉斯變換(或稱(chēng)為象函數(shù)).若F(s)是f(t)的拉普拉斯變換，則稱(chēng)f(t)為F(s)的拉普拉斯逆變換(或稱(chēng)為原象函數(shù))，記作f(t)=L-1[F](t).§8.1拉普拉斯變換定義定義8.1設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)45例8.1求階躍函數(shù)u(t)=的拉普拉斯變換.解：L[u](s)=例8.2求函數(shù)f(t)=eat的拉普拉斯變換，其中a是復(fù)常數(shù).

解：當(dāng)Re(s)>Re(a)時(shí)，L[f](s)=即L[eatu(t)](s)=,Re(s)>Re(a)

例8.1求階躍函數(shù)u(t)=46例8.3求函數(shù)tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數(shù).解：L[tn](s)=用分部積分法，得所以有L[tn]=L[tn-1].

當(dāng)n=1時(shí)L[t](s)=當(dāng)n=2時(shí)，有L[t2](s)=L[tn](s)=例8.3求函數(shù)tn的拉普拉斯變換，其中n是正整數(shù).解：L[47定理8.1若函數(shù)f(t)滿(mǎn)足下列條件：(1)在t0的任意有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2)存在常數(shù)M>0與00，使得即當(dāng)t時(shí)，函數(shù)f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一個(gè)指數(shù)函數(shù)，0稱(chēng)為函數(shù)f(t)的增長(zhǎng)指數(shù).則函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換在半平面Re(s)>0上存在，右端的積分在閉區(qū)域Re(s)>0上絕對(duì)收斂且一致收斂，并且在半平面Re(s)>0內(nèi)，F(xiàn)(s)為解析函數(shù).定理8.1若函數(shù)f(t)滿(mǎn)足下列條件：48證明：設(shè)=Re(s),

，則由條件(2)有所以在Re(s)上存在.右端積分在Re(s)上也是絕對(duì)且一致收斂.證明：設(shè)=Re(s),49積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以，在上可導(dǎo).由的任意性知,在上存在，且為解析函數(shù).定理得證.積分與微分的次序可以交換，于是有由拉普拉斯變換的定義，得所以50例8.4求正弦函數(shù)sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實(shí)數(shù).解：當(dāng)時(shí)，有余弦函數(shù)coskt的拉普拉斯變換例8.4求正弦函數(shù)sinkt的拉普拉斯變換，其中k為實(shí)數(shù).51例8.5求周期為2a的函數(shù)的拉普拉斯變換.解：由拉普拉斯變換的定義，有令，則有例8.5求周期為2a的函數(shù)解：由拉普拉斯變換的定義，有令52根據(jù)函數(shù)的定義，有所以，記.當(dāng)時(shí)，有因此有根據(jù)函數(shù)的定義，有所以，記.53故有故有54單位脈沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換.解：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)(t)的拉普拉斯變換例8.6求單位脈沖函數(shù)55§8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)定理8.2對(duì)函數(shù)的拉普拉斯變換有下列性質(zhì)成立.(1)（線(xiàn)性性質(zhì)）設(shè)，為常數(shù)，記，，則有

或有

(2)（延遲性質(zhì)）若，則對(duì)，有

或有

(3)（位移性質(zhì)）記.對(duì)常數(shù)s0，若，則有§8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)定理8.2對(duì)函數(shù)的拉普拉斯56證明：性質(zhì)1說(shuō)明函數(shù)的線(xiàn)性組合的拉普拉斯變換等于各函數(shù)的拉普拉斯變換的線(xiàn)性組合.證明性質(zhì)2當(dāng)t<0時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，因此有證明：性質(zhì)1說(shuō)明函數(shù)的線(xiàn)性組合的拉普拉斯變換等于各函數(shù)的拉57例8.7求函數(shù)的拉普sint拉斯變換，其中為實(shí)數(shù).解：

例8.7求函數(shù)的拉普sint拉斯變換，其中為實(shí)數(shù).解：58例8.8求的拉普拉斯變換.解：例8.9求.解：例8.8求的拉普拉斯59解：階躍函數(shù)u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數(shù)的拉普拉斯變換.根據(jù)延遲性質(zhì)，有解：階躍函數(shù)u(t)的拉普拉斯變換為例8.10求函數(shù)60*例8.11設(shè)是周期為T(mén)的函數(shù)，其中，即是指，，，.求的拉普拉斯變換.解：定義函數(shù)記由延遲性質(zhì)，有 *例8.11設(shè)是周期為T(mén)61當(dāng)時(shí)，有，所以上式括號(hào)內(nèi)是一個(gè)公比的模小于1的等比級(jí)數(shù)，從而有當(dāng)時(shí)，有62定理8.3(微分性質(zhì)）記，則有

其中.同時(shí)我們還有證明：由拉普拉斯變換的定義，有由分部積分公式，得 定理8.3(微分性質(zhì)）記63推論8.1記，則有例8.13求函數(shù)的拉普拉斯變換，其中為常數(shù).解：由于再由線(xiàn)性性質(zhì)，有故有推論8.1記64定理8.4（積分性質(zhì)），則有

若積分收斂，則的拉普拉斯變換存在，且有證明：記，則有，且.定理8.4（積分性質(zhì)）65例8.15求函數(shù)的拉普拉斯變換.解：

例8.15求函數(shù)的拉66定理8.5*（初值定理）記.如果極限存在，則有

其中.證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)定理8.3，有根據(jù)假設(shè)，存在，所以也存在，而且兩者相等.定理8.5*（初值定理）記67又因?yàn)槔绽棺儞Q存在定理所述的關(guān)于積分的一致收斂性，從而容許交換積分與極限的次序，所以有又因?yàn)槔绽棺儞Q存在定理所述的關(guān)于積分的一致收斂性，從而容68定理8.6*（終值定理）記.如果存在，且的所有奇點(diǎn)在左半平面，其中0是函數(shù)f的增長(zhǎng)指數(shù)，則有證明：由定理的條件以及微分性質(zhì)定理8.3，有兩邊關(guān)于s取極限，得又因?yàn)槎ɡ?.6*（終值定理）記69故有即是故有即是70卷積定理當(dāng)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，，則上式可表示為卷積定理當(dāng)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，71定義8.2

設(shè)函數(shù)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，，定義f和g的卷積為例8.17計(jì)算函數(shù)和的卷積.解：定義8.2設(shè)函數(shù)f和g滿(mǎn)足條件：時(shí)，72定理8.7（卷積定理）設(shè)函數(shù)f(t)和g(t)滿(mǎn)足拉普拉斯變換存在定理的條件，記，，則的拉普拉斯變換一定存在，且有

或是證明：容易得到滿(mǎn)足拉普拉斯變換存在定理的條件，其變換式為定理8.7（卷積定理）設(shè)函數(shù)f(t)和g(t)滿(mǎn)足拉普拉斯73作變量替換，則有故有作變量替換，則有故有74§8.3拉普拉斯逆變換函數(shù)的拉普拉斯變換實(shí)際上就是函數(shù)的傅里葉變換，其中是階躍函數(shù).當(dāng)函數(shù)滿(mǎn)足傅里葉變換定理的條件時(shí)，對(duì)于而函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，有§8.3拉普拉斯逆變換函數(shù)的拉普拉斯變換實(shí)際上75兩邊同時(shí)乘以，則對(duì)，有令，則有從象函數(shù)F(s)出發(fā)求原象函數(shù)f(t)的一般公式.右邊的積分稱(chēng)為拉普拉斯變換的反演積分.兩邊同時(shí)乘以，則對(duì)，有令76定理8.8記.如果函數(shù)的全部奇點(diǎn)s1，s2，…，sn都位于半平面，其中σ為一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，且當(dāng)?shù)臉O限為零，則對(duì)，有證明：作如圖所示的閉曲線(xiàn)，其中是半圓周，位于區(qū)域內(nèi)，L為直線(xiàn)當(dāng)R充分大時(shí)，閉曲線(xiàn)所圍的區(qū)域包含F(xiàn)(s)的所有奇點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在整個(gè)復(fù)平面上解析，所以函數(shù)