高中數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理a 15(x—)(2x―)52，那么該展開式中?！?021新課標(biāo)全國理，8】 XX的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為數(shù)項(xiàng)為()?A.—40 B.—20C .20D.40【答案】D【解析】解法一■令得，(［卻)(2-1『亠解得0=1,第2個(gè)因式的通項(xiàng)公式汽環(huán)=q(2^環(huán)=q(2^(--y=q(-iyx2^^, /x當(dāng)?shù)?個(gè)因式取a第2固式展開式取XBP5-2r=-L解得廠記x去第1個(gè)因式?U，第乂因式展開式取即乩解得F也H???常數(shù)項(xiàng)為住(―D如丹十命(―應(yīng)選m辭法二：用組合提取法「把原式看做3個(gè)因式相乘，假設(shè)第I個(gè)括號(hào)提出兀從余下的5個(gè)括號(hào)1 1 <叮1，中選2出無選吿個(gè)提出厶假設(shè)第■個(gè)括號(hào)提出5從余F的括號(hào)中選2個(gè)提出匕選3個(gè)ffiffix.故常歎項(xiàng)為遲?2鋁(土『丄尸E品=-40+80=40.【最新考綱解讀】二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.【回歸課本整合】1.二項(xiàng)式定理的展開式(ab)nCnan b…Qa"rbr…C：bn，其中組合數(shù)C：叫做第⑷項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開式共有n+1項(xiàng).注意：〔1〕項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為 1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在 (axb)"的展開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 C；，第

21項(xiàng)的系數(shù)為而〔乂顯廣的展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)f⑵當(dāng)口的數(shù)值不大時(shí)往往借助暢輝三第直接寫出各頊的二項(xiàng)式系軌C3〕審題時(shí)裳注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是條數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)〔4護(hù)特例"獷=1+C^x+j'-+￡^jZ4-----Kjc?4* 茫 店§ziBitSflifiB 〞*護(hù)卅二項(xiàng)展開式中第件I項(xiàng)2；+產(chǎn)?尹0〔>=0丄芥?5〕稱為二項(xiàng)展幵式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的主旻用途是求指定的項(xiàng)■主妾用于求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)；求常協(xié)頃有理項(xiàng)和系數(shù)最犬的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)尸的限帶仏求有理項(xiàng)時(shí)墓注意到指磁項(xiàng)數(shù)的整魏性. 嗔卿蹋黔 〞注意；⑴通項(xiàng)公式是表示第嚴(yán)+1項(xiàng)，而不是第尸項(xiàng).⑵展開式中第嚴(yán)+1項(xiàng)飾二項(xiàng)式系數(shù)□與第廠十1項(xiàng)的系數(shù)不同?⑶通項(xiàng)公式中含有紐右衛(wèi)6五個(gè)元事/只要知道其中的呼嚴(yán)個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元蓋在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中'常常遇到這五個(gè)元蓋中嚴(yán)的假設(shè)干個(gè),求另外幾個(gè)元素的問題，這糞間題一股是利用通項(xiàng)公式，把阿題歸納甘解方程〔或方程組〕?這里必須注意用是正整數(shù).于是菲負(fù)整數(shù)且尸黑叭3.項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)m nm⑴對(duì)稱性：與首末兩端“等距離〞的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等〔 CnCn〕?〔2〕増減性2最大值：當(dāng)r^Stl時(shí).二項(xiàng)式系數(shù)C：閑值逐漸増尢當(dāng)r>—值逐斷觀卜.且在中間取Z -得最犬值.當(dāng)n為偶敵時(shí)，中間一項(xiàng)〔第丄十1項(xiàng)〕的二項(xiàng)式系數(shù)￡取得最九值.當(dāng)n肉奇數(shù)2時(shí)，中間兩項(xiàng)〔第字和乎十:l項(xiàng)〕的二項(xiàng)式系數(shù)C亍二Q亍相等井局時(shí)取最大值.*〔3〕答二項(xiàng)式系數(shù)和：：〔1+jc/=1*CA+-4C><4-卅疋："令需=1，那么⑷用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近〔雄塞關(guān)聲是忖當(dāng)?shù)厣崛〔粡懟鹊捻?xiàng)，一骰地’當(dāng)同很屮時(shí)，有〔1±亂〕“畑1+ndf+一ti[n—【方法技巧提煉】

l/(13X)6(1J二)10例2 JX l/(13X)6(1J二)10例2 JX 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為〔 〕A.1B.46C.4245D.4246例1設(shè)口N用為整數(shù)假設(shè)口和除得的余數(shù)相同，那么稱a和占胡W冊(cè)同余.C200BD.2006那么b的值可以是(丨血2021 8.2021解析；因a=1+ 2+ 21-+C^215那么2ffl=￡^F^2&+C^Llp-21+-Ccf'2^+I=Q+2J*+1=3M+1.(10-1)^+1_[C^l0ID+C^l+--c^[Cf(-l)■]+4402—_<i￡X那么起被血整除的余剛矗被M整隱的余數(shù)対L答案IL【點(diǎn)評(píng)】此類結(jié)構(gòu)需要回歸沏二項(xiàng)式結(jié)構(gòu)*把復(fù)朵的展開式根據(jù)通項(xiàng)公式吊緒構(gòu)逬行合并.注意在合并之前裳需看清是否滿通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)恃征■評(píng) 產(chǎn)記為a=&(modffl)B應(yīng)=1+(?，,+<?$二2+C爲(wèi)二2丄+…+點(diǎn)二i1?,b-a(mod10)s⑵(ab)n(cd)m結(jié)構(gòu)：①假設(shè)門、m中一個(gè)比擬小，可考慮把它展開得到多個(gè)；②觀察(ab)(cd)是否可以合并；③分別得到(ab)"、(cd)"的通項(xiàng)公式，綜合考慮.1.如何把握轉(zhuǎn)化類(艮二頂式SB閔二頊?zhǔn)今饫碡蝄ii-重耍的江譏展幾于習(xí)年喜忑打耍汶農(nóng)道互刊肓二項(xiàng)式帚憶圧延伸和曠展是一個(gè)直點(diǎn)*豐富勢(shì)彩的箔構(gòu)猶如縮UT,迷住了不少同學(xué)的叩就如何把15?(1)二項(xiàng)式展開式結(jié)構(gòu)’根據(jù)給出的結(jié)構(gòu)特征，通過拼湊使其淸足二項(xiàng)式定理展開式的特點(diǎn)，然后合舟從而到達(dá)化簡作用.答案：Dj _r_ 警Jr解析m分別求兩個(gè)因式的通頁I；+1=C^,石幀=C^rT\那么必匚瓦二〔^磅戶刁用尹 底- G護(hù)'FXoWrtIOWfWIQ那么--—-Oi解Sr=rr=Qlr=3'fir!=4,r=6且F=8.3 ° 左嚴(yán)“律* 護(hù)轎即常數(shù)項(xiàng)育1+C；化+C；%=4246【點(diǎn)評(píng)】此類結(jié)梅因兩個(gè)因式都是高派采用每個(gè)固式分別求其通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行合并.應(yīng)該注盍兩個(gè)通項(xiàng)要區(qū)別八〞? "<3〕結(jié)構(gòu);①S+E祠=@+亦呼即把其中兩項(xiàng)看作一匝然后展開求解r②<〔口+治巧"二3+址r艮蘇卿公式把三項(xiàng)變咸二項(xiàng)?例3〔fx 2f的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為答案：2解析一；耳收=C^2-〔-+丄嚴(yán)，其中k滿足0<k<5.kG剋2xC-4-y-1的通項(xiàng)公式為二口^巳嚴(yán)其中OWfW比fE時(shí)令 芻解得1(=1/=2；k=3fr^l；k=5,r=O當(dāng)Eg當(dāng)Eg時(shí)，得展開式中項(xiàng)為0農(nóng)2也=普；當(dāng)護(hù)能 涉'斗 §邸bAXul時(shí)，得炭齊式中懸1誌;C期2?H=2炳;C期2?H=2炳;+解析二；〔蘭十一=空 滬丁那么當(dāng)攝=罷取得常數(shù)頊K# 〞留神E時(shí)儈展開式中項(xiàng)齒U為綜上的展開式中整理后的常救項(xiàng)対空E ；：6辺 #川2【點(diǎn)■評(píng)】解析一采用的患路是〔應(yīng)■+古〕次一頊，根據(jù)二項(xiàng)式走理展開，然后再考慮〔應(yīng)+即的通項(xiàng)；解析二利用完全平方式逛行合并，把三項(xiàng)轉(zhuǎn)化育二項(xiàng).⑷u+tr+仗4廠"+…結(jié)構(gòu):觀察各項(xiàng)是否組成等比數(shù)列，假設(shè)是可杲坤求和公式合并然后求解；假設(shè)不自缸就分別求解.例4在〔1—即十仕一力丘+〔1—鄧+[1—耳F〔X韭1〕的展開式中，會(huì)X3的項(xiàng)朋系數(shù)是〔A.74B.121 C.—74 D.—121護(hù) A，答案：D解析*冷+葉卄口―忙A薩QSUPF]_QFl-0-x)口呵呻普的系數(shù)淘?二5Hl-嶄中k的系陵鄭?二-126/L2以局嚶.故遺D.【原評(píng)】此題采用等比數(shù)列求和公式把原式迸行育并，然后扌艮據(jù)二項(xiàng)式定理展開式公式進(jìn)行求解.〔5〕/結(jié)構(gòu)：^=〔〔a-i〕+5〕S然后展開分析求解.例5假設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù) X,有X’ ao ai〔x 2〕 a2〔x 2〕2 a3〔x 2/，那么a2的值為〔〕

36CAB目卩Cn9D.12答案：B解析：因x‘ ［2〔x 2〕］［那么 C32 r〔x 2〕36CAB目卩Cn9D.12答案：B解析：因x‘ ［2〔x 2〕］［那么 C32 r〔x 2〕［ a? Cl2 6.選b【點(diǎn)評(píng)】此題采用轉(zhuǎn)優(yōu)思想化歸為二項(xiàng)箔構(gòu)處理-汪鳶構(gòu)造技巧-N賦值法的應(yīng)用由于二項(xiàng)式定理是一6恒等式，對(duì)于広占刖一切取值均咸立，因此可將@0設(shè)定為一些特殊的值?使用賦值法時(shí)，令弧石取多少，應(yīng)視情況而起常見常見的賦值育①1，-I.應(yīng)用“賦值法〞可求得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和7〔1〕.“奇數(shù)〔厲?！稠?xiàng)"系數(shù)和芮廣分析哪一項(xiàng)滿泉條件.彳呃-/FQL以及“偶數(shù)〔奇沏項(xiàng)河系數(shù)和為ft/CH/l-切蘆聲 加3.系頸最大項(xiàng)的求法對(duì)于仗十的艮的系數(shù)最大項(xiàng)，設(shè)第F項(xiàng)的系數(shù)4醍大,由不等式組＜；＞J*妒嚴(yán)缶/■豈-罷環(huán)假設(shè)給出的是a—礦的結(jié)構(gòu)，因各項(xiàng)之間正負(fù)相闔，園此先轉(zhuǎn)換光⑺亠礦的最丈項(xiàng)，然后中系數(shù)最丈的項(xiàng).例5Or-呻展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成惡蚊列.⑴求打的附II〕求展開式解析：對(duì)于第二問求系數(shù)最大的項(xiàng)，因其展開式系數(shù)正負(fù)相間，可考慮轉(zhuǎn)化為其系數(shù)全部為正時(shí)系數(shù)最大.然后根據(jù)其展開式的奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，確定系數(shù)最大項(xiàng)〔I〕由題設(shè)，得n=8,n=1〔舍去〕.4Cn21 ,即n29n80，解得〔II〕利甲羌系點(diǎn).If設(shè)第卄1的索數(shù)最大，那么丿因次］〔兀一可轉(zhuǎn)換育求〔X-厶〕「展開式中系顫最天的項(xiàng).2-Jx!j 押聲兵左呂g *￡ ￡ 丄1＞ 1 嘆〔gF2C^-1〕解得得r=2或尸亂那么系數(shù)最犬的直次耳■塢超耆」.丄事丄- 工旳齡汕 諮-9-r 念代〞4盤〞的第三項(xiàng)次1正，第四項(xiàng)沏負(fù)，那么其系數(shù)最大淘W 涉護(hù)#Lfe評(píng)】此題珂妙的把〔〞掙系數(shù)巖大轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)換為求厲+擊F展開式中系敎叢大的項(xiàng).以而匱免直接求解的麻煩.4.應(yīng)用匕+刃嗦一甥的關(guān)系解題電尹 噴" °「才討尹〞s—礦=g“—僚舟千…4.應(yīng)用匕+刃嗦一甥的關(guān)系解題電尹 噴" °「才討尹〞s—礦=g“—僚舟千…H—罟…戌“円裁如二巧:癖怎尸我得到關(guān)系；兩個(gè)展開式時(shí)奇數(shù)項(xiàng)審系數(shù)一樣,偶數(shù)項(xiàng)審系數(shù)互初皈翫(c+￡i)fl+(fl-frr=2(^￥C^V+—++■'-)(me-V*)加畀亦答案：2187trtb因展開式的各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相同第一個(gè)患路可判斷哪些為正，哪些曲負(fù)，然后求和-【點(diǎn)評(píng)】此題利用關(guān)系b采用思路二的解法逬行轉(zhuǎn)彳柑上匕起思路一巧妙自然?然后利用呱值法，得到各項(xiàng)系數(shù)審和. w? &【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】L區(qū)別出頂?shù)臈棃?bào)/與躋二項(xiàng)犬秦戴夠、審趣時(shí)證仔鈿.項(xiàng)的系戦與略Qt務(wù)評(píng)正可幽碎二項(xiàng)式累數(shù)只與e有笑，植掬正? 貳7 "切實(shí)連斛“常數(shù)項(xiàng)〞“有理項(xiàng)"(寫母榕歎為整數(shù))"系飯盍丸的項(xiàng)"等概忿.求屣開式中的扌旨走頊，宴把該頊完整駕出，不能僅侃逛明是第幾頊.1.賦值出求廉開式中的杲就和或局部累妊，常咸的慢為嘰±1.農(nóng)蘇鎳灣 祚甘嚴(yán)$?在化簡求值時(shí)*注肅二項(xiàng)式定理的逆囲.昊用整休息想帝待bb.匕命熱盍,T&位置在填空題的前兩道或選擇題的申間位置，弒題唯虔中低穆，故為得全俞護(hù)的題貝，試題陌解法比擬團(tuán)也揀住通壩審式是關(guān)應(yīng)仔編運(yùn)算是根本，靈港賦值是保證，4 3 _曲衽整理通項(xiàng)必虬的時(shí)候，務(wù)必認(rèn)冥仔細(xì)，尤算是T的次農(nóng).不晏想皆殊，一妣可耒囲將演算過程清楚時(shí)呈現(xiàn)，然后再檢查一遍是杏冬略.(A)36(B)-36(C)84 (D)-84例T(1一21于=%+幼兀卡吐X1…H■礙詁，那么血|+也卜?+|弄于"第二個(gè)思路可轉(zhuǎn)化丸(1+2jc)各項(xiàng)系魏的和.因?yàn)榫吒黜?xiàng)系數(shù)坤為正?正好等于...I#如…+k丄 #嚴(yán)甘滲比|十血卜宦卜訐扁悽示(“20展開式中各頊的系數(shù)和，令工二1可得 ' -：?詢+W+I咄…+區(qū)卜(1+2幻)「=2187.【新題預(yù)測(cè)演練】1.【唐山市2021—2021學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】在(JXI)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為x答案］D解析］Tr,C；(仮)9r(-x93r)r c9(1)*丁0,r 3,那么常數(shù)項(xiàng)為c；(1)3 84.2.【浙江省2021年高三調(diào)研理科數(shù)學(xué)測(cè)試卷】假設(shè)口+七)5=厲+曲工+矽2+躊疋+34+應(yīng)或打J1IJ囲+站+眄+超產(chǎn)(A)122 ?123 (CJ2+3 {D)244歹"管案］BBMfil兩式相減可得；3^兩式相減可得；3^+1=2(fli-Fa：+a5)-/.o)+os=?［恵州市加門屆高三第二次調(diào)胡君試數(shù)學(xué)試題)假設(shè)(血-丹的展開式中/的系數(shù)是弧那么買數(shù)。的值為(乩2-J2D.乩2-J2D.【答案】D【解析】(ax1)5的展開式中含x3的項(xiàng)為c5(ax)(1) 10ax，由題意得伽380,所以a2.選D.

02021廠西柳鐵一中第一袂月瘠】在二璇式〔—ixf的展并式稅厲號(hào)璇的二頊?zhǔn)酱胖蜑檎fMJRff式的中間頃的系散溝〔＞A*POD BLS€O ct1120 D.10SQ【答案】C【祐桁】因?yàn)榕捡屙湹亩曎E奈教為訂述“_“乙"$艸展開式共有9頊.中1郎項(xiàng)為第$頃，3旳通頂公式j(luò)F=c；c“y、c;〔-m「三莖型藝*其系數(shù)為莒匕逝旦12?(12x)7aoaj(12x)7aoajXa?x2a?x,另E么玄丄 a? 83 玄4 玄5 a?鄉(xiāng)等于A.2B.—A.2B.—2C.1D.—1【解析】取x=l得〔1-2〕=碼十耳十殆十…寸半二一人又丁礙三hi.絢十碼—+tz^-—2_應(yīng)選吐&［2021?陜西卷］〔護(hù)一2~7仗匸R〕展昇式中的常魏項(xiàng)是?］A.—20E.—15C.15D.20【答案】C 護(hù)〞 尹【解析】由坯L3F「可知所求們通項(xiàng)津斥一］=遍呼一q—2予=氓一嘰習(xí)才叫要出現(xiàn)常敵項(xiàng)，那么尸￡那么常數(shù)項(xiàng)為CK-1〕*=15S配選U7.［2021S淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)朋期末試題】 3它加捽.〔用魏字作答〕?五+護(hù)的展.〔用魏字作答〕【答案】5【解析】耳楓=迢“尸"=C^T^—=i-'.r=L.-.云的系埶歸療2 f.T-fi.【保定市2021-2021學(xué)年度第一學(xué)盟高三閉末調(diào)偶假設(shè)試】的展開式中/的系數(shù)溝 -【答案］MI解析〔XA的展開式的通項(xiàng)公式為TnC8x8r〔X〕r〔1〕rC8x82r，令82r2，TOC\o"1-5"\h\z得r3，所以x2的系數(shù)為〔1〕'C8 569.【山東省館州市2021屆高三上學(xué)期期末考試藪學(xué)試駅】假設(shè)"魚益〞時(shí)斗血沁那么二項(xiàng)式〔兀-芻y展開式中的常數(shù)項(xiàng)為〔用數(shù)字作答〕 “聲￥【答秦】240【解析】嗆=P〔2cosh+4站為〔耘=〔2si■工-4cos菊店=趴由展開式的* 〞 /屛」通項(xiàng)為7；+1=C^〔r=C^通項(xiàng)為7；+1=C^〔r' ■ 隔嘲h通項(xiàng)中得240.10-I：山東省耒羌市ZE2屆高三上學(xué)期期末栓測(cè)】在〔2x-l〕+〔l+2x〕的展開式中，/項(xiàng)的系馥為.【答案】16【8?析】Cjx2:x2+C|x25k(-L)k1=48-32=16,11.【2021年上海市普通高等學(xué)校春季1B生考試】假設(shè)〔2工—1〕^=勺+碣x4-門出+碼X3+ +〔3-A?*那么繩+遇+阿+畋+還4礙=【答案】1【解析】〔2-1/=口；,+q廠岡+勺+口#+礙=1.12.【河北省唐山市2021ES三上學(xué)闍摸底考試較學(xué)】二項(xiàng)式*■護(hù)的展開式中，，項(xiàng)的系數(shù)為【答棗】15【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為Z；^=C>^y=C；^〔-yx^令6-r--=3#r=2!所以J頂KJ系數(shù)対Cf(-1)—15.【福州市2021屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】在〔11X〕2〔1°x〕4的展開式中，x的系數(shù)等于_—用數(shù)字作答〕

【答案】-3【解析】〔1?x〕2展開式中x的系數(shù)為1,〔1'x〕4展開式中x的系數(shù)為C44，故在〔1仮〕？〔1晞的展開式中，x的系數(shù)等于-3.【