2022-2023學(xué)年蘇教版選擇性必修第一冊 1.5.1 平面上兩點間的距離 學(xué)案

課題:§1.5.1平面上兩點間的距離目標(biāo)要求1、理解并掌握兩點間的距離公式及應(yīng)用．2、理解并掌握坐標(biāo)法證題的方法．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)本章內(nèi)容的呈現(xiàn)，除了注意體現(xiàn)解析幾何研究問題的方法和特點以外，同時又考慮到學(xué)生的認知規(guī)律，通過設(shè)計相關(guān)的問題情景，降低學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生形成對知識的認識．如在直線斜率的呈現(xiàn)過程中，從學(xué)生最熟悉的例子——坡度入手，通過類比，使學(xué)生認識到斜率刻畫直線傾斜程度和直線上兩點刻畫直線傾斜程度的一致性和內(nèi)在聯(lián)系．?dāng)?shù)形結(jié)合是本章重要的數(shù)學(xué)思想．這不僅是因為解析幾何本身就是數(shù)形結(jié)合的典范，而且在研究幾何圖形的性質(zhì)時，也充分體現(xiàn)“形”的直觀性、“數(shù)”的嚴謹性．重點難點重點：兩點間的距離公式及應(yīng)用．難點：坐標(biāo)法證題的方法．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.兩點間的距離公式(1)公式:兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式P1P2=_______________QUOTE,特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)的距離OP=__________.(2)本質(zhì):用代數(shù)方法求平面內(nèi)兩點之間的距離.【思考】兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式能否表示為P1P2=?為什么?2.中點坐標(biāo)公式對于平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點M(x0,y0),則______________.【課前基礎(chǔ)演練】題1．已知M(2，1)，N(－1，5)，則MN等于()A．5B．eq\r(37)C．eq\r(13)D．4題2．已知線段AB的中點坐標(biāo)是(－2，3)，點A的坐標(biāo)是(2，－1)，則點B的坐標(biāo)是()A．(－6，7)B．(6，7)C．(6，－7)D．(－6，－7)題3．已知點M(m，－1)，N(5，m)且MN＝2eq\r(5)，則實數(shù)m等于()A．1B．3C．1或3D．－1或3題4．已知△ABC的頂點A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3)B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2)D．6＋eq\r(10)題5．已知平面上兩點A(x，eq\r(2)－x)，B(eq\f(\r(2),2)，0)，則AB的最小值為()A．3B．eq\f(1,3)C．2D．eq\f(1,2)題6．已知點A(1，1)，B(4，3)，點P在x軸上，則PA＋PB的最小值為________.題7．已知A，B兩點都在直線y＝2x－1上，且A，B兩點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為eq\r(2)，則A，B兩點間的距離為________.【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題8．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則eq\f(AC,CB)的值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．3D．2題9．已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，則a的值為()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5題10．設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則AB等于()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(5)D．2eq\r(5)題11．到點A(1，3)，B(－5，1)的距離相等的動點P滿足的方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0題12．已知直線l：kx－y＋2－k＝0過定點M，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則MP的最小值是()A．eq\r(10)B．eq\f(3\r(5),5)C．eq\r(6)D．3eq\r(5)題13．直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)的距離等于eq\r(2)的點的坐標(biāo)是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)題14．若點P(x，y)在直線4x＋3y＝0上，且x，y滿足－14≤x－y≤7，則點P到坐標(biāo)原點的距離的取值可以是()A．6B．8.5C．10D．12題15．若動點P的坐標(biāo)為(x，1－x)，x∈R，則動點P到原點的最小值是________.題16．點P(2，5)關(guān)于直線x＋y＝1的對稱點的坐標(biāo)是________.題17．已知點A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5).求證：△ABC是等腰三角形．【課堂跟蹤拔高】題18．已知直角坐標(biāo)平面上連接點(－2，5)和點M的線段的中點是(1，0)，那么點M到原點的距離為()A．41B．eq\r(41)C．eq\r(39)D．39題19．已知點A(x，5)關(guān)于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是()A．2B．4C．5D．eq\r(17)題20．光線從點A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點B(2，10)，則光線從A到B走過的路程是()A．5eq\r(2)B．2eq\r(5)C．5eq\r(10)D．10eq\r(5)題21．(多選題)某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋1)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))的最值時，聯(lián)想到兩點間的距離公式，從而將函數(shù)變形為f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－1))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－0))2)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小值為eq\f(\r(2),2)B．函數(shù)f(x)的最小值為eq\r(2)C．函數(shù)f(x)沒有最大值D．函數(shù)f(x)有最大值題22．已知直線eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則|AB|等于________．題23．在△ABC中，A(1，3)，B(2，－2)，C(－3，1)，則D是線段AC的中點，則中線BD長為__________．題24．已知△ABC三頂點坐標(biāo)為A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．題25．(1)已知AD是△ABC邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AD))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(DC))2)).(2)已知動點C與兩個定點A(0，0)，B(3，0)的距離之比為eq\f(\r(2),2)，若△ABC邊BC的中點為D，求動點D的軌跡方程．編號：007課題:§1.5.1平面上兩點間的距離目標(biāo)要求1、理解并掌握兩點間的距離公式及應(yīng)用．2、理解并掌握坐標(biāo)法證題的方法．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)本章內(nèi)容的呈現(xiàn)，除了注意體現(xiàn)解析幾何研究問題的方法和特點以外，同時又考慮到學(xué)生的認知規(guī)律，通過設(shè)計相關(guān)的問題情景，降低學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生形成對知識的認識．如在直線斜率的呈現(xiàn)過程中，從學(xué)生最熟悉的例子——坡度入手，通過類比，使學(xué)生認識到斜率刻畫直線傾斜程度和直線上兩點刻畫直線傾斜程度的一致性和內(nèi)在聯(lián)系．?dāng)?shù)形結(jié)合是本章重要的數(shù)學(xué)思想．這不僅是因為解析幾何本身就是數(shù)形結(jié)合的典范，而且在研究幾何圖形的性質(zhì)時，也充分體現(xiàn)“形”的直觀性、“數(shù)”的嚴謹性．重點難點重點：兩點間的距離公式及應(yīng)用．難點：坐標(biāo)法證題的方法．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.兩點間的距離公式(1)公式:兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式P1P2=,特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)的距離OP=.(2)本質(zhì):用代數(shù)方法求平面內(nèi)兩點之間的距離.【思考】兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式能否表示為P1P2=?為什么?提示:能,因為=.2.中點坐標(biāo)公式對于平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點M(x0,y0),則【課前基礎(chǔ)演練】題1．已知M(2，1)，N(－1，5)，則MN等于()A．5B．eq\r(37)C．eq\r(13)D．4【解析】選A.MN＝eq\r(（2＋1）2＋（1－5）2)＝5.題2．已知線段AB的中點坐標(biāo)是(－2，3)，點A的坐標(biāo)是(2，－1)，則點B的坐標(biāo)是()A．(－6，7)B．(6，7)C．(6，－7)D．(－6，－7)【解析】選A.設(shè)點B的坐標(biāo)是(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝－2，,\f(－1＋y,2)＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝7.))題3．已知點M(m，－1)，N(5，m)且MN＝2eq\r(5)，則實數(shù)m等于()A．1B．3C．1或3D．－1或3【解析】選C.因為|MN|＝eq\r(（m－5）2＋（－1－m）2)＝eq\r(2m2－8m＋26)，所以eq\r(2m2－8m＋26)＝2eq\r(5)，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.題4．已知△ABC的頂點A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，則△ABC的周長是()A．2eq\r(3)B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2)D．6＋eq\r(10)【解析】選C.因為AB＝eq\r(（－1－2）2＋（0－3）2)＝3eq\r(2)，BC＝3，AC＝eq\r(（2－2）2＋（0－3）2)＝3，所以△ABC的周長為6＋3eq\r(2).題5．已知平面上兩點A(x，eq\r(2)－x)，B(eq\f(\r(2),2)，0)，則AB的最小值為()A．3B．eq\f(1,3)C．2D．eq\f(1,2)【解析】選D.因為AB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋（\r(2)－x）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\f(1,4))≥eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3\r(2),4)時等號成立，所以ABmin＝eq\f(1,2).題6．已知點A(1，1)，B(4，3)，點P在x軸上，則PA＋PB的最小值為________.【解析】如圖所示，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′(1，－1)，則PA′＝PA.所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B.因為A′B＝eq\r(（1－4）2＋（－1－3）2)＝5，所以PA＋PB≥5.故PA＋PB的最小值為5.答案：5題7．已知A，B兩點都在直線y＝2x－1上，且A，B兩點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為eq\r(2)，則A，B兩點間的距離為________.【解析】設(shè)點A(a，2a－1)，點B(b，2b－1)，因為|a－b|＝eq\r(2)，所以AB＝eq\r(（a－b）2＋[（2a－1）－（2b－1）]2)＝eq\r(5)|a－b|＝eq\r(10).答案：eq\r(10)【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題8．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，則eq\f(AC,CB)的值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．3D．2【解析】選D.由兩點間的距離公式，得AC＝eq\r([3－（－1）]2＋（4－0）2)＝4eq\r(2)，CB＝eq\r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2eq\r(2)，故eq\f(AC,CB)＝eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2.題9．已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，則a的值為()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5【解析】選C.由AB＝eq\r(（a＋2）2＋（3＋1）2)＝5，得(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5.題10．設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則AB等于()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(5)D．2eq\r(5)【解析】選D.設(shè)A(x，0)，B(0，y)，因為AB中點是P(2，－1)，所以eq\f(x,2)＝2，eq\f(y,2)＝－1，所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，所以AB＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).題11．到點A(1，3)，B(－5，1)的距離相等的動點P滿足的方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0【解析】選B.設(shè)P(x，y)，則eq\r(（x－1）2＋（y－3）2)＝eq\r(（x＋5）2＋（y－1）2)，即3x＋y＋4＝0.題12．已知直線l：kx－y＋2－k＝0過定點M，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則MP的最小值是()A．eq\r(10)B．eq\f(3\r(5),5)C．eq\r(6)D．3eq\r(5)【解析】選B.由題易得直線l：kx－y＋2－k＝0，即k(x－1)－y＋2＝0，過定點M(1，2).因為點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，所以y＝1－2x，MP＝eq\r(（x－1）2＋（1－2x－2）2)＝eq\r(5x2＋2x＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(9,5))，故當(dāng)x＝－eq\f(1,5)時，|MP|取得最小值eq\f(3\r(5),5).題13．直線x＋y－1＝0上與點P(－2，3)的距離等于eq\r(2)的點的坐標(biāo)是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)【解析】選BC.設(shè)所求點的坐標(biāo)為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且eq\r(（x0＋2）2＋（y0－3）2)＝eq\r(2)，兩式聯(lián)立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.))題14．若點P(x，y)在直線4x＋3y＝0上，且x，y滿足－14≤x－y≤7，則點P到坐標(biāo)原點的距離的取值可以是()A．6B．8.5C．10D．12【解析】選ABC.因為點P(x，y)在直線4x＋3y＝0上，且x，y滿足－14≤x－y≤7，所以－6≤x≤3.因為線段4x＋3y＝0(－6≤x≤3)過原點，所以點P到坐標(biāo)原點的最近距離為0.又點(－6，8)在線段上，所以點P到坐標(biāo)原點的最遠距離為eq\r(（－6）2＋82)＝10.所以點P到坐標(biāo)原點的距離的取值范圍是[0，10].題15．若動點P的坐標(biāo)為(x，1－x)，x∈R，則動點P到原點的最小值是________.【解析】PO＝eq\r(x2＋（1－x）2)＝eq\r(2x2－2x＋1)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)題16．點P(2，5)關(guān)于直線x＋y＝1的對稱點的坐標(biāo)是________.【解析】設(shè)對稱點坐標(biāo)是(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a－2)·（－1）＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋5,2)＝1.))解得a＝－4，b＝－1，即所求對稱點坐標(biāo)是(－4，－1).答案：(－4，－1)題17．已知點A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5).求證：△ABC是等腰三角形．【證明】因為AB＝eq\r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq\r(5)，所以AC＝BC.又因為點A，B，C不共線，所以△ABC是等腰三角形．【課堂跟蹤拔高】題18．已知直角坐標(biāo)平面上連接點(－2，5)和點M的線段的中點是(1，0)，那么點M到原點的距離為()A．41B．eq\r(41)C．eq\r(39)D．39【解析】選B.設(shè)M(x，y)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋x,2)，,0＝\f(5＋y,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－5，))所以M(4，－5).則M到原點的距離為eq\r(（4－0）2＋（－5－0）2)＝eq\r(41).題19．已知點A(x，5)關(guān)于點(1，y)的對稱點為(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是()A．2B．4C．5D．eq\r(17)【解析】選D.根據(jù)中點坐標(biāo)公式，得eq\f(x－2,2)＝1，且eq\f(5－3,2)＝y(tǒng).解得x＝4，y＝1，所以點P的坐標(biāo)為(4，1)，則點P(x，y)到原點的距離d＝eq\r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(17).題20．光線從點A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點B(2，10)，則光線從A到B走過的路程是()A．5eq\r(2)B．2eq\r(5)C．5eq\r(10)D．10eq\r(5)【解析】選C.根據(jù)光學(xué)原理，光線從A到B的距離，等于點A關(guān)于x軸的對稱點A′到點B的距離，易求得A′(－3，－5).所以A′B＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝5eq\r(10).題21．(多選題)某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋1)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))的最值時，聯(lián)想到兩點間的距離公式，從而將函數(shù)變形為f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－1))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－0))2)，則下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小值為eq\f(\r(2),2)B．函數(shù)f(x)的最小值為eq\r(2)C．函數(shù)f(x)沒有最大值D．函數(shù)f(x)有最大值【解析】選BC.設(shè)f(x)＝eq\r(（x－0）2＋（0－1）2)＋eq\r(（x－1）2＋（0－0）2)，可理解為動點P(x，0)到兩個定點A(0，1)，B(1，0)的距離和．如圖：由三角形三邊關(guān)系可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\r(2)，當(dāng)點P和點B重合時，等號成立，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))最小值為eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))無最大值，所以函數(shù)f(x)的最小值為eq\r(2)，沒有最大值．題22．已知直線eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則|AB|等于________．【解析】由已知，令x＝0得y＝4，所以B(0，4)，令y＝0得x＝3，所以A(3，0)，所以|AB|＝eq\r(42＋32)＝5.答案：5題23．在△ABC中，A(1，3)，B(2，－2)，C(－3，1)，則D是線段AC的中點，則中線BD長為__________．【解析】由eq\f(1－3,2)＝－1，eq\f(3＋1,2)＝2，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BD))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－2))2)＝eq\r(25)＝5.答案：5題24．已知△ABC三頂點坐標(biāo)為A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．【解析】方法一：因為AB＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，AC＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，又BC＝eq\r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2eq\r(26)，所以AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，所以△ABC是等腰直角三角形．方法二：因為kAC＝eq\f(7－1,1－（－3）)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－（－3）)＝－eq\f(2,3)，則kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.又AC＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，AB＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，所以AC＝AB，所以△ABC是等腰直角三角形．題25．(1)已知AD是△ABC邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A