《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)

6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積6.2平面向量的運(yùn)算1.向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作=a，=b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).1.向量的夾角《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)()②-①得23b2-46a·b=0，所以a與a+b的夾角為30°.|b|2=100-2×10×4×+42=100+40+16=156.【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.=||||cos120°=5×8×(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.=|a||b|cosθ.|2a+b|2=(2a+b)·(2a+b)類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos120°-2|b|2已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a·(4b)向量a與b的夾角(如圖所示).又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，故有cosθ=-和為零向量，可以建立向量模型解決.根據(jù)模長(zhǎng)公式，求向量的模的問題應(yīng)首先做怎樣的轉(zhuǎn)化？(1)對(duì)于任意向量a與b，“a⊥b?a·b=0”總成立嗎？【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，所以|a+b|=|a|，(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2.求解時(shí)要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則= ()在四邊形ABCD中，且=0，則四邊(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；(3)(a-2b)·(a+b).類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義(1)等邊△ABC中，向量所成的角是60°嗎？所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.所以a與a+b的夾角為30°.(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個(gè)向量，表示出所求向量，再代入運(yùn)算.【解析】設(shè)a與a+b的夾角為θ，—設(shè)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3分別為向量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3.【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ，若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a·(4b)求平面向量數(shù)量積的方法|b|2=100-2×10×4×+42=100+40+16=156.=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，分別是[0，π]和|2a+b|2=(2a+b)·(2a+b)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0≤θ≤π.(2)當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向.(3)如果a與b的夾角是我們說a與b垂直，記作a⊥b.()求解時(shí)要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.(1)范圍：向量【思考】(1)等邊△ABC中，向量所成的角是60°嗎？提示：向量所成的角是120°.【思考】(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎？提示：向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的，它們分別是[0，π]和(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同2.向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.向量的數(shù)量積的定義【思考】(1)把“a·b”寫成“ab”或“a×b”可以嗎，為什么？提示：不可以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，一定要嚴(yán)格，必須寫成“a·b”的形式.【思考】(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果仍是向量嗎？提示：向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果不是向量，是一個(gè)實(shí)數(shù).(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果仍是向量嗎？3.投影向量的概念如圖所示：=a，=b，過B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則叫做b在向量a上的投影向量，得||=|b||cosθ|.3.投影向量的概念《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角.(1)垂直的條件：a⊥b?a·b=0.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|.4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=(4)夾角公式：cosθ=______.

(5)|a·b|≤|a||b|.(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=【思考】(1)對(duì)于任意向量a與b，“a⊥b?a·b=0”總成立嗎？提示：當(dāng)向量a與b中存在零向量時(shí)，總有a·b=0，但是向量a與b不垂直.【思考】(2)當(dāng)“cosθ=”為負(fù)值時(shí)，說明向量a與b的夾角為鈍角，對(duì)嗎？提示：不對(duì)，cosθ==-1時(shí)，向量a與b的夾角為180°.(2)當(dāng)“cosθ=”為負(fù)值時(shí)，說明向量a與b的5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律【思考】“若a·b=a·c，則b=c”成立嗎？提示：不成立.【思考】【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是向量. (

)(2)對(duì)于向量a，b，若a·b=0，則a=0或b=0. (

)(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. (

)【素養(yǎng)小測(cè)】提示：(1)×.兩個(gè)向量的數(shù)量積沒有方向，是實(shí)數(shù)，不是向量.(2)×.a·b=0，還可能有a⊥b.(3)√.提示：(1)×.兩個(gè)向量的數(shù)量積沒有方向，是實(shí)數(shù)，不是向量.2.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，則= (

)A.20 B.-20 C.20 D.-202.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，則【解析】選B.=||||cos120°=5×8×=-20.【解析】選B.=||||cos13.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a·(4b)的值為 (

)A.12 B.-12 C.12 D.-123.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a【解析】選B.由題意，得a·(4b)=4(a·b)=4|a||b|cosθ=4×2×3×cos120°=-12.【解析】選B.由題意，得a·(4b)=4(a·b)=類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義【典例】1.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，則a·(2a-b)= (

)

A.4 B.3 C.2 D.0類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義2.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則= (

)2.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為________，b在a方向上的投影為________.

3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方【思維·引】1.利用向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.2.先分別用基向量表示再利用向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.3.向量a在向量b方向上的投影為|a|·cosθ=向量b在向量a方向上的投影為|b|·cosθ=【思維·引】【解析】1.選B.因?yàn)閨a|=1，a·b=-1，所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.【解析】2.選D.在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，所以

=2×2×cos60°=2，又因?yàn)樗?.選D.在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，所以3.設(shè)a與b的夾角為θ，則有a·b=|a|·|b|cosθ=-12，所以向量a在向量b方向上的投影為|a|·cosθ==向量b在向量a方向上的投影為|b|·cosθ===-4.3.設(shè)a與b的夾角為θ，則有答案：-

-4答案：--4【內(nèi)化·悟】如何解決幾何圖形中向量數(shù)量積的計(jì)算？提示：一般選擇已知長(zhǎng)度與夾角的向量作基底，用基底表示要求數(shù)量積的向量，再計(jì)算.【內(nèi)化·悟】【類題·通】求平面向量數(shù)量積的方法(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b=|a||b|cosθ.求解時(shí)要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.【類題·通】(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個(gè)向量，表示出所求向量，再代入運(yùn)算.(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個(gè)向【習(xí)練·破】1.已知等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，則=_______.

【習(xí)練·破】【解析】如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D.【解析】如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D.因?yàn)锳B=AC，所以BD=BC=2，于是||cos∠ABC=||=||=×4=2.所以=||||cos∠ABC=2×4=8.答案：8因?yàn)锳B=AC，所以BD=BC=2，2.已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.求：(1)a·b.(2)a在b方向上的射影.(3)(a-2b)·(a+b).(4)(a-b)2.2.已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.【解析】(1)a·b=|a||b|cos120°=10×4×

=-20.(2)a在b方向上的射影為|a|cos120°=10×

=-5.(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos120°-2|b|2=100-10×4×

-2×42=88.【解析】(1)a·b=|a||b|cos120°=10×4(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos120°+|b|2=100-2×10×4×

+42=100+40+16=156.(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|【加練·固】(2019·煙臺(tái)高一檢測(cè))在△ABC中，已知||=||，AB=1，AC=3，M，N分別為BC的三等分點(diǎn)，則= (

)【加練·固】【解析】選B.因?yàn)閨|=||，所以∠BAC=90°.又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，【解析】選B.因?yàn)閨|=||，所《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)類型二與向量模有關(guān)的問題【典例】1.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=_____________.

類型二與向量模有關(guān)的問題2.(2019·沂南一中高一檢測(cè))已知向量a，b滿足|b|=5，|2a+b|=5|a-b|=5則|a|=________.

2.(2019·沂南一中高一檢測(cè))已知向量a，b滿足|b|=【思維·引】利用模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|==解決.【思維·引】利用模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=【解析】1.

=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|·cos60°+

=22+2×2×2×

+22=4+4+4=12，所以

答案：2

【解析】1.=(a+2b)22.由已知有

將b2=|b|2=25代入方程組，解得|a|=答案：

2.由已知有【內(nèi)化·悟】根據(jù)模長(zhǎng)公式，求向量的模的問題應(yīng)首先做怎樣的轉(zhuǎn)化？提示：求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方.【內(nèi)化·悟】【類題·通】關(guān)于向量模的計(jì)算(1)利用數(shù)量積求模問題，是數(shù)量積的重要應(yīng)用，解決此類問題的方法是對(duì)向量進(jìn)行平方，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算.【類題·通】(2)拓展公式：(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2，(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(2)拓展公式：【習(xí)練·破】已知a，b滿足|a|=4，|b|=3，夾角為60°，則|a+b|= (

)

A.37 B.13 C. D.【習(xí)練·破】類型二與向量模有關(guān)的問題(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為________，b在a方向上的投影為________.(1)a·b=b·a(交換律).由題意，得a·(4b)=4(a·b)=又因?yàn)閨a|=|a+2b|，如圖所示：=a，=b，過B作BB1垂直于直線OA，類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義求平面向量數(shù)量積的方法(1)a·b=b·a(交換律).則= ()(1)對(duì)于任意向量a與b，“a⊥b?a·b=0”總成立嗎？提示：不可以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，一定要嚴(yán)格，必須寫成“a·b”的形式.4tk2+16k2=0.量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|=所以a與a+b的夾角為30°.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為________，b在a方向上的投影為________.因?yàn)閨a|=1，a·b=-1，由4|m|=3|n|，【解析】選C.|a+b|類型二與向量模有關(guān)的問題【解析】選C.|a+b|【加練·固】已知向量a，b滿足|a|=|b|=5，且a與b的夾角為60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.【加練·固】【解析】因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=(a+b)·(a+b)=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°=50+2×5×5×=75.所以|a+b|=5|a-b|2=(a-b)2=(a-b)·(a-b)=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，【解析】因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=(a+b)·(a+b所以|a-b|=5.|2a+b|2=(2a+b)·(2a+b)=4|a|2+|b|2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175.所以|2a+b|=5所以|a-b|=5.類型三向量的夾角與垂直問題角度1求向量的夾角【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.

類型三向量的夾角與垂直問題【思維·引】利用夾角公式：cosθ=計(jì)算.【思維·引】利用夾角公式：cosθ=計(jì)算.【解析】設(shè)a與a+b的夾角為θ，因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|，所以a2=b2=(a-b)2=a2+b2-2a·b，故a·b=|a|2，所以|a+b|=|a|，【解析】設(shè)a與a+b的夾角為θ，cosθ=所以a與a+b的夾角為30°.答案：30°cosθ=【素養(yǎng)·探】解決向量的夾角與垂直問題時(shí)，常常需要結(jié)合圖形分析問題，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).若將本例條件改為“|a|=3|b|=|a+2b|”，試求a與b夾角的余弦值.【素養(yǎng)·探】【解析】設(shè)a與b夾角為θ，因?yàn)閨a|=3|b|，所以|a|2=9|b|2.又因?yàn)閨a|=|a+2b|，所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ，【解析】設(shè)a與b夾角為θ，因?yàn)閨a|=3|b|，即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ，故有cosθ=-即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ，角度2向量垂直的應(yīng)用【典例】已知非零向量m，n滿足4|m|=3|n|，m，n的夾角為θ，cosθ=.若n⊥(tm+n)，則實(shí)數(shù)t的值為(

)A.4 B.-4 C. D.-角度2向量垂直的應(yīng)用【思維·引】利用向量垂直的充要條件求參數(shù).【思維·引】利用向量垂直的充要條件求參數(shù).【解析】選B.由4|m|=3|n|，可設(shè)|m|=3k，|n|=4k(k>0)，又因?yàn)閚⊥(tm+n)，所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【解析】選B.由4|m|=3|n|，【類題·通】1.求向量夾角的基本步驟【類題·通】2.向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥b?a·b=0，利用數(shù)量積的運(yùn)算代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題.2.向量垂直問題的處理思路【習(xí)練·破】1.在四邊形ABCD中，且=0，則四邊形ABCD是 (

)A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形【習(xí)練·破】【解析】選B.因?yàn)榧匆唤M對(duì)邊平行且相等，

=0，即對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD為菱形.【解析】選B.因?yàn)榧匆唤M對(duì)邊平行且相等，2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，則a與b的夾角為 (

)2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|=【解析】選B.設(shè)夾角為θ，因?yàn)?a-b)⊥b，所以(a-b)·b=a·b-b2=0，所以a·b=b2，所以cosθ==又θ∈[0，π]，所以a與b的夾角為，故選B.【解析】選B.設(shè)夾角為θ，因?yàn)?a-b)⊥b，所以(a-【加練·固】已知非零向量a，b滿足a+3b與7a-5b互相垂直，a-4b與7a-2b互相垂直，求a與b的夾角.【加練·固】【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，由已知條件得即②-①得23b2-46a·b=0，【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，所以2a·b=b2，代入①得a2=b2，所以|a|=|b|，所以cosθ=因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ=.所以2a·b=b2，代入①得a2=b2，類型四利用向量的模長(zhǎng)公式求力的大小【物理情境】一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和3，求F3的大小.類型四利用向量的模長(zhǎng)公式求力的大小【轉(zhuǎn)化模板】1.—因?yàn)槲锢韺W(xué)中力是一個(gè)向量，所以求力的大小可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的大小，力的平衡即向量的和為零向量，可以建立向量模型解決.2.—設(shè)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3分別為向量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3.【轉(zhuǎn)化模板】3.—已知非零向量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3滿足F1+F2+F3=0，|F1|=2，|F2|=3，且F1，F(xiàn)2夾角為60°，求|F3|.4.—由F1+F2+F3=0，得-F3=F1+F2，所以·cos60°=4+9+6=19，所以=3.—已知非零向量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3滿足F1+F2+F5.—力F3的大小為牛頓.5.—力F3的大小為牛頓.6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積6.2平面向量的運(yùn)算1.向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作=a，=b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).1.向量的夾角《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)()②-①得23b2-46a·b=0，所以a與a+b的夾角為30°.|b|2=100-2×10×4×+42=100+40+16=156.【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.=||||cos120°=5×8×(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.=|a||b|cosθ.|2a+b|2=(2a+b)·(2a+b)類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos120°-2|b|2已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a·(4b)向量a與b的夾角(如圖所示).又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，故有cosθ=-和為零向量，可以建立向量模型解決.根據(jù)模長(zhǎng)公式，求向量的模的問題應(yīng)首先做怎樣的轉(zhuǎn)化？(1)對(duì)于任意向量a與b，“a⊥b?a·b=0”總成立嗎？【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，所以|a+b|=|a|，(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2.求解時(shí)要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則= ()在四邊形ABCD中，且=0，則四邊(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；(3)(a-2b)·(a+b).類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義(1)等邊△ABC中，向量所成的角是60°嗎？所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.所以a與a+b的夾角為30°.(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個(gè)向量，表示出所求向量，再代入運(yùn)算.【解析】設(shè)a與a+b的夾角為θ，—設(shè)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3分別為向量F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3.【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ，若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a·(4b)求平面向量數(shù)量積的方法|b|2=100-2×10×4×+42=100+40+16=156.=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，分別是[0，π]和|2a+b|2=(2a+b)·(2a+b)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0≤θ≤π.(2)當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向.(3)如果a與b的夾角是我們說a與b垂直，記作a⊥b.()求解時(shí)要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.(1)范圍：向量【思考】(1)等邊△ABC中，向量所成的角是60°嗎？提示：向量所成的角是120°.【思考】(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎？提示：向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的，它們分別是[0，π]和(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同2.向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2.向量的數(shù)量積的定義【思考】(1)把“a·b”寫成“ab”或“a×b”可以嗎，為什么？提示：不可以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，一定要嚴(yán)格，必須寫成“a·b”的形式.【思考】(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果仍是向量嗎？提示：向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果不是向量，是一個(gè)實(shí)數(shù).(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果仍是向量嗎？3.投影向量的概念如圖所示：=a，=b，過B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則叫做b在向量a上的投影向量，得||=|b||cosθ|.3.投影向量的概念《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角.(1)垂直的條件：a⊥b?a·b=0.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|.4.向量的數(shù)量積的性質(zhì)(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=(4)夾角公式：cosθ=______.

(5)|a·b|≤|a||b|.(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=【思考】(1)對(duì)于任意向量a與b，“a⊥b?a·b=0”總成立嗎？提示：當(dāng)向量a與b中存在零向量時(shí)，總有a·b=0，但是向量a與b不垂直.【思考】(2)當(dāng)“cosθ=”為負(fù)值時(shí)，說明向量a與b的夾角為鈍角，對(duì)嗎？提示：不對(duì)，cosθ==-1時(shí)，向量a與b的夾角為180°.(2)當(dāng)“cosθ=”為負(fù)值時(shí)，說明向量a與b的5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律【思考】“若a·b=a·c，則b=c”成立嗎？提示：不成立.【思考】【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是向量. (

)(2)對(duì)于向量a，b，若a·b=0，則a=0或b=0. (

)(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. (

)【素養(yǎng)小測(cè)】提示：(1)×.兩個(gè)向量的數(shù)量積沒有方向，是實(shí)數(shù)，不是向量.(2)×.a·b=0，還可能有a⊥b.(3)√.提示：(1)×.兩個(gè)向量的數(shù)量積沒有方向，是實(shí)數(shù)，不是向量.2.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，則= (

)A.20 B.-20 C.20 D.-202.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，則【解析】選B.=||||cos120°=5×8×=-20.【解析】選B.=||||cos13.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a·(4b)的值為 (

)A.12 B.-12 C.12 D.-123.若|a|=2，|b|=3，a，b的夾角θ為120°，則a【解析】選B.由題意，得a·(4b)=4(a·b)=4|a||b|cosθ=4×2×3×cos120°=-12.【解析】選B.由題意，得a·(4b)=4(a·b)=類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義【典例】1.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，則a·(2a-b)= (

)

A.4 B.3 C.2 D.0類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義2.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則= (

)2.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為________，b在a方向上的投影為________.

3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方【思維·引】1.利用向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.2.先分別用基向量表示再利用向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.3.向量a在向量b方向上的投影為|a|·cosθ=向量b在向量a方向上的投影為|b|·cosθ=【思維·引】【解析】1.選B.因?yàn)閨a|=1，a·b=-1，所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.【解析】2.選D.在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，所以

=2×2×cos60°=2，又因?yàn)樗?.選D.在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，所以3.設(shè)a與b的夾角為θ，則有a·b=|a|·|b|cosθ=-12，所以向量a在向量b方向上的投影為|a|·cosθ==向量b在向量a方向上的投影為|b|·cosθ===-4.3.設(shè)a與b的夾角為θ，則有答案：-

-4答案：--4【內(nèi)化·悟】如何解決幾何圖形中向量數(shù)量積的計(jì)算？提示：一般選擇已知長(zhǎng)度與夾角的向量作基底，用基底表示要求數(shù)量積的向量，再計(jì)算.【內(nèi)化·悟】【類題·通】求平面向量數(shù)量積的方法(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b=|a||b|cosθ.求解時(shí)要注意靈活使用數(shù)量積的運(yùn)算律.【類題·通】(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個(gè)向量，表示出所求向量，再代入運(yùn)算.(2)若所求向量的模與夾角未知，應(yīng)先選取已知模與夾角的兩個(gè)向【習(xí)練·破】1.已知等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，則=_______.

【習(xí)練·破】【解析】如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D.【解析】如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D.因?yàn)锳B=AC，所以BD=BC=2，于是||cos∠ABC=||=||=×4=2.所以=||||cos∠ABC=2×4=8.答案：8因?yàn)锳B=AC，所以BD=BC=2，2.已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.求：(1)a·b.(2)a在b方向上的射影.(3)(a-2b)·(a+b).(4)(a-b)2.2.已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.【解析】(1)a·b=|a||b|cos120°=10×4×

=-20.(2)a在b方向上的射影為|a|cos120°=10×

=-5.(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos120°-2|b|2=100-10×4×

-2×42=88.【解析】(1)a·b=|a||b|cos120°=10×4(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos120°+|b|2=100-2×10×4×

+42=100+40+16=156.(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|【加練·固】(2019·煙臺(tái)高一檢測(cè))在△ABC中，已知||=||，AB=1，AC=3，M，N分別為BC的三等分點(diǎn)，則= (

)【加練·固】【解析】選B.因?yàn)閨|=||，所以∠BAC=90°.又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，【解析】選B.因?yàn)閨|=||，所《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用課件(第4課時(shí)向量的數(shù)量積)類型二與向量模有關(guān)的問題【典例】1.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=_____________.

類型二與向量模有關(guān)的問題2.(2019·沂南一中高一檢測(cè))已知向量a，b滿足|b|=5，|2a+b|=5|a-b|=5則|a|=________.

2.(2019·沂南一中高一檢測(cè))已知向量a，b滿足|b|=【思維·引】利用模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|==解決.【思維·引】利用模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=【解析】1.

=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|·cos60°+

=22+2×2×2×

+22=4+4+4=12，所以

答案：2

【解析】1.=(a+2b)22.由已知有

將b2=|b|2=25代入方程組，解得|a|=答案：

2.由已知有【內(nèi)化·悟】根據(jù)模長(zhǎng)公式，求向量的模的問題應(yīng)首先做怎樣的轉(zhuǎn)化？提示：求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方.【內(nèi)化·悟】【類題·通】關(guān)于向量模的計(jì)算(1)利用數(shù)量積求模問題，是數(shù)量積的重要應(yīng)用，解決此類問題的方法是對(duì)向量進(jìn)行平方，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算.【類題·通】(2)拓展公式：(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2，(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(2)拓展公式：【習(xí)練·破】已知a，b滿足|a|=4，|b|=3，夾角為60°，則|a+b|= (

)

A.37 B.13 C. D.【習(xí)練·破】類型二與向量模有關(guān)的問題(3)模長(zhǎng)公式：a·a=|a|2或|a|=又因?yàn)镸，N分別為BC的三等分點(diǎn)，【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為________，b在a方向上的投影為________.(1)a·b=b·a(交換律).由題意，得a·(4b)=4(a·b)=又因?yàn)閨a|=|a+2b|，如圖所示：=a，=b，過B作BB1垂直于直線OA，類型一向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義求平面向量數(shù)量積的方法(1)a·b=b·a(交換律).則= ()(1)對(duì)于任意向量a與b，“a⊥b?a·b=0”總成立嗎？提示：不可以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，一定要嚴(yán)格，必須寫成“a·b”的形式.4tk2+16k2=0.量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|=所以a與a+b的夾角為30°.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為________，b在a方向上的投影為________.因?yàn)閨a|=1，a·b=-1，由4|m|=3|n|，【解析】選C.|a+b|類型二與向量模有關(guān)的問題【解析】選C.|a+b|【加練·固】已知向量a，b滿足|a|=|b|=5，且a與b的夾角為60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.【加練·固】【解析】因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=(a+b)·(a+b)=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°=50+2×5×5×=75.所以|a+b|=5|a-b|2=(a-b)2=(a-b)·(a-b)=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，【解析】因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=(a+b)·(a+b所以|a-b|=5.|2a+b|2=(2a+b)·(2a+b)=4|a|2+|b|2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175.所以|2a+b|=5所以|a-b|=5.類型三向量的夾角與垂直問題角度1求向量的夾角【典例】(2019·四平高一檢測(cè))已知a，b均為非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，則向量a與a+b的夾角為________.

類型三向量的夾角與垂直問題【思維·引】利用夾角公式：cosθ=計(jì)算.【思維·引】利用夾角公式：cosθ=計(jì)算.【解析】設(shè)a與a+b的夾角為θ，因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|，所以a2=b2=(a-b)2=a2+b2-2a·b，故a·b=|a|2，所以|a+b|=|a|，【解析】設(shè)a與a+b的夾角為θ，cosθ=所以a與a+b的夾角為30°.答案：30°cosθ=【素養(yǎng)·探】解決向量的夾角與垂直問題時(shí)，常常需要結(jié)合圖形分析問題，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).若將本例條件改為“|a|=3|b|=|a+2b|”，試求a與b夾角的余弦值.【素養(yǎng)·探】【解析】設(shè)a與b夾角為θ，因?yàn)閨a|=3|b|，所以|a|2=9|b|2.又因