(浙大第四版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點全匯總

第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列組合公式)!(!nmmPnm從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù))!(!!nmnmCnm從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進(jìn)行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機(jī)試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，,表示事件，它們是的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：BA如果同時有BA，AB，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者BA，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＂谶\算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：11iiiiAABABA，BABA（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對于兩兩互不相容的事件1A，2A，,有11)(iiiiAPAP常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件A的概率。（8）古典概型1°n21,，2°nPPPn1)()()(21。設(shè)任一事件A，它是由m21,組成的，則有P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPPnm基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A（9）幾何概型若隨機(jī)試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗為幾何概型。對任一事件A，)()()(LALAP。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時，P(B)=1-P(B)（12）條件概率定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱)()(APABP為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為)/(ABP)()(APABP。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，對事件A1，A2，，An，若P(A1A2,An-1)>0，則有21(AAP,)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP,,21|(AAAPn,)1nA。（14）獨立性①兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足)()()(BPAPABP，則稱事件A、B是相互獨立的。若事件A、B相互獨立，且0)(AP，則有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。②多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設(shè)事件nBBB,,,21滿足1°nBBB,,,21兩兩互不相容，),,2,1(0)(niBPi，2°niiBA1，（分類討論的則有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）貝葉斯公式設(shè)事件1B，2B，,，nB及A滿足1°1B，2B，,，nB兩兩互不相容，)(BiP>0，i1，2，,，n，2°niiBA1，0)(AP，（已經(jīng)知道結(jié)果求原因則njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，，n。此公式即為貝葉斯公式。)(iBP，（1i，2，,，n），通常叫先驗概率。)/(ABPi，（1i，2，,，n），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為qp1，用)(kPn表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn))0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,,2,1,0。第二章隨機(jī)變量及其分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xk(k=1,2,,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè))(xF是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù))(xf，對任意實數(shù)x，有xdxxfxF)()(，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。)(xf稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1°0)(xf。2°1)(dxxf。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系dxxfdxxXxPxXP)()()(積分元dxxf)(在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與kkpxXP)(在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù))()(xXPxF稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入?yún)^(qū)間],(ba的概率。分布函數(shù))(xF表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°,1)(0xFx；2°)(xF是單調(diào)不減的函數(shù)，即21xx時，有)(1xF)(2xF；3°0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4°)()0(xFxF，即)(xF是右連續(xù)的；5°)0()()(xFxFxXP。對于離散型隨機(jī)變量，xxkkpxF)(；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為n,,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,,2,1,0,10,1，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布。記為),(~pnBX。當(dāng)1n時，kkqpkXP1)(，1.0k，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為ekkXPk!)(，0，2,1,0k，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為)(~X或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù))(xf在[a，b]上為常數(shù)ab1，即,0,1)(abxf其他，則稱隨機(jī)變量X在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為xdxxfxF)()(當(dāng)a≤x1<x2≤b時，X落在區(qū)間（21,xx）內(nèi)的概率為abxxxXxP1221)(。指數(shù)分布其中0，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為記住積分公式：!ndxexxn0，x<a，,abaxa≤x≤b1，x>b。a≤x≤b)(xf,xe0x,0,0x,)(xF,1xe0x,,0x<0。正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為222)(21)(xexf，x，其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為),(~2NX。)(xf具有如下性質(zhì)：1°)(xf的圖形是關(guān)于x對稱的；2°當(dāng)x時，21)(f為最大值；若),(~2NX，則X的分布函數(shù)為dtexFxt222)(21)(。。參數(shù)0、1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為)1,0(~NX，其密度函數(shù)記為2221)(xex，x，分布函數(shù)為xtdtex2221)(。)(x是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝21。如果X~),(2N，則X~)1,0(N。1221)(xxxXxP。（6）分位數(shù)下分位表：＝)(XP；上分位表：＝)(XP。（7）函數(shù)分布離散型已知X的分布列為,,,,,,,,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY的分布列（)(iixgy互不相等）如下：,,,,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，則應(yīng)將對應(yīng)的ip相加作為)(ixg的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為),2,1,)(,(jiyxji，且事件{=),(jiyx}的概率為pij,,稱),2,1,()},(),{(jipyxYXPijji為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2,yj,x1p11p12,p1j,x2p21p22,p2j,xipi1,ijp,這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,,）；（2）.1ijijp連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量),(YX，如果存在非負(fù)函數(shù)),)(,(yxyxf，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有DdxdyyxfDYXP,),(}),{(則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1）f(x,y)≥0;（2）.1),(dxdyyxf（2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì))(),(yYxXyYxX（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)},{),(yYxXPyxF稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件})(,)(|),{(2121yYxX的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）;1),(0yxF（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）對于，，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，，，，.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，，，（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為),2,1,()(jipxXPPijjii；Y的邊緣分布為),2,1,()(jipyYPPijijj。連續(xù)型X的邊緣分布密度為；dyyxfxfX),()(Y的邊緣分布密度為.),()(dxyxfyfY（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為,)|(jijjippyYxXP連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為)(),()|(yfyxfyxfY；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為)(),()|(xfyxfxyfX（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型jiijppp有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf＝0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,,Xm,Xm+1,,Xn相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,,Xm）和g（Xm+1,,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其他,0),(1),(DyxSyxfD其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1x圖3.1y1O2x圖3.2ydcOa圖3.3D2bx1D3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf其中1||,0,0,21,21是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（).,,,2221,21由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（).(~),,22,2211NY但是若X～N（)(~),,22,2211NY，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：)()()(zYXPzZPzFZ對于連續(xù)型，fZ(z)＝dxxzxf),(兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（222121,）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。iiiC，iiiC222Z=max,min(X1,X2,,Xn)若nXXX21,相互獨立，其分布函數(shù)分別為)()()(21xFxFxFnxxx，，則Z=max,min(X1,X2,,Xn)的分布函數(shù)為：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)](1[)](1[)](1[1)(21minxFxFxFxFnxxx2分布設(shè)n個隨機(jī)變量nXXX,,,21相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和niiXW12的分布密度為.0,0,0221)(2122uueunufunn我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的2分布，記為W～)(2n，其中.212dxexnxn所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)),(2iinY則).(~2112kkiinnnYZt分布設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且),(~),1,0(~2nYNX可以證明函數(shù)nYXT/的概率密度為2121221)(nntnnntf).(t我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。)()(1ntntF分布設(shè))(~),(~2212nYnX，且X與Y獨立，可以證明21//nYnXF的概率密度函數(shù)為,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為F～f(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）離散型連續(xù)型一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(kxX)＝pk，k=1,2,,,n，nkkkpxXE1)(（要求絕對收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，dxxxfXE)()(（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差D(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差)()(XDX，kkkpXExXD2)]([)(dxxfXExXD)()]([)(2矩①對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為vk,即νk=E(Xk)=iikipx,k=1,2,,.②對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k，即.))((kkXEXE=iikipXEx))((，k=1,2,,.①對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為vk,即νk=E(Xk)=,)(dxxfxkk=1,2,,.②對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k，即.))((kkXEXE=,)())((dxxfXExkk=1,2,,.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式22)(XP切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率)(XP的一種估計，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布),1(pBp)1(pp二項分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P幾何分布)(pGp121pp超幾何分布),,(NMnHNnM11NnNNMNnM均勻分布),(baU2ba12)(2ab指數(shù)分布)(e121正態(tài)分布),(2N2分布2n2nt分布2nn(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函數(shù)的期望)],([YXGE＝ijijjipyxG),()],([YXGE＝－－dxdyyxfyxG),(),(方差iiipXExXD2)]([)(jjjpYExYD2)]([)(dxxfXExXDX)()]([)(2dyyfYEyYDY)()]([)(2協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為),cov(YXXY或，即))].())(([(11YEYXEXEXY與記號XY相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為XX與YY。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱)()(YDXDXY為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作XY（有時可簡記為）。||≤1，當(dāng)||=1時，稱X與Y完全相關(guān)：1)(baYXP完全相關(guān)，時負(fù)相關(guān)，當(dāng)，時正相關(guān)，當(dāng))0(1)0(1aa而當(dāng)0時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：①0XY；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣YYYXXYXX混合矩對于隨機(jī)變量X與Y，如果有)(lkYXE存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為kl；k+l階混合中心矩記為：].))(())([(lkklYEYXEXEu（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨立和不相關(guān)（i）若隨機(jī)變量X與Y相互獨立，則0XY；反之不真。（ii）若（X，Y）～N（,,,,222121），則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律X切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，,相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,,),則對于任意的正數(shù)ε，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP特殊情形：若X1，X2，,具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則上式成為.11lim1niinXnP伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε，有.1limpnPn伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即.0limpnPn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，,，Xn，,是相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=μ，則對于任意的正數(shù)ε有.11lim1niinXnP（2）中心極限定理),(2nNX列維－林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，,相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，則隨機(jī)變量nnXYnkkn1的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量nX為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22（3）二項定理若當(dāng)),(,不變時knpNMN，則knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當(dāng)0,npn時，則ekppCkknkkn!)1().(n其中k=0，1，2，,，n，,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品nxxx,,,21稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，nxxx,,,21表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，nxxx,,,21表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設(shè)nxxx,,,21為總體的一個樣本，稱（nxxx,,,21）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（nxxx,,,21）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)樣本均值.11niixnx樣本方差niixxnS122.)(11樣本標(biāo)準(zhǔn)差.)(1112niixxnS樣本k階原點矩nikikkxnM1.,2,1,1樣本k階中心矩nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)nxxx,,,21為來自正態(tài)總體),(2N的一個樣本，則樣本函數(shù)).1,0(~/Nnxudeft分布設(shè)nxxx,,,21為來自正態(tài)總體),(2N的一個樣本，則樣本函數(shù)),1(~/ntnsxtdef其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。分布2設(shè)nxxx,,,21為來自正態(tài)總體),(2N的一個樣本，則樣本函數(shù)),1(~)1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度為n-1的2分布。F分布設(shè)nxxx,,,21為來自正態(tài)總體),(21N的一個樣本，而nyyy,,,21為來自正態(tài)總體),(22N的一個樣本，則樣本函數(shù)),1,1(~//2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度為11n，第二自由度為12n的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)X與2S獨立。第七章參數(shù)估計（1）點估計矩估計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)m,,,21，則其分布函數(shù)可以表成).,,,;(21mxF它的k階原點矩),,2,1)((mkXEvkk中也包含了未知參數(shù)m,,,21，即),,,(21mkkvv。又設(shè)nxxx,,,21為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為nikixn11).,,2,1(mk這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),,,(,1),,,(,1),,,(由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)),,,(21m即為參數(shù)（m,,,21）的矩估計量。若為的矩估計，)(xg為連續(xù)函數(shù)，則)?(g為)(g的矩估計。極大似然估計當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為),,,;(21mxf，其中m,,,21為未知參數(shù)。又設(shè)nxxx,,,21為總體的一個樣本，稱),,,;(),,,(11122nimimxfL為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為),,,;(}{21mxpxXP，則稱),,,;(),,,;,,,(1111222nimimnxpxxxL為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)),,,;,,,(2211mnxxxL在m,,,21處取到最大值，則稱m,,,21分別為m,,,21的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。miLiiin,,2,1,0ln若為的極大似然估計，)(xg為單調(diào)函數(shù)，則)?(g為)(g的極大似然估計。（2）估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè)),,,(21nxxx為未知參數(shù)的估計量。若E（）=，則稱為的無偏估計量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性設(shè)),,,,(2111nxxx和),,,,(2122nxxx是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若)()(21DD，則稱21比有效。一致性設(shè)n是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有,0)|(|limnnP則稱n為的一致估計量（或相合估計量）。若為的無偏估計，且),(0)?(nD則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。（3）區(qū)間估計置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本nxxx,,,,21出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量),,,,(2111nxxx與)