初三數(shù)學初中數(shù)學 旋轉(zhuǎn)的專項培優(yōu)練習題(含答案)含答案

初三數(shù)學初中數(shù)學旋轉(zhuǎn)的專項培優(yōu)練習題（含答案）含答案一.旋轉(zhuǎn)操作與證明：如圖4把一個含45。角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點c重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點IVI,EF的中點N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：AAEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是一；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180%其他條件不變，則（2）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE二CF,繼而證明出△ABE雯AADF,得到AE=AF,從而證明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點G,標記出各個角，首先證明出11MNIIAE,MN=^AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=^AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)屋關(guān)系得到ZDMN=ZDGE=90°.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）v四邊形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF=90°,T△CEF是等腰直角三角形,Z090°,???CE=CF,/.BC-CE=CD-CF,即BE=DF,???△ABE竺△ADF,???AE二AF,???△AEF是等腰三角形；（2）DM.MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM.IVIN的位置關(guān)系是垂直；???在RtAADF中DM是斜邊AF的中線,/.AF=2DM,?/MN是ZkAEF的中位線,/.AE=2MN,-/AE=AF,/.DM=MN；?/ZDMF=ZDAF+ZADM,AM二MD,???ZFMN=ZFAE,ZDAF=ZBAE,/.ZADM=ZDAF=ZBAE,???ZDMN=ZFMN+ZDMF=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZBAD=90%/.DM丄MN；(3)(2)中的兩個結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點G,???點M為AF的中點，點N為EF的中點，1/.MNIIAE,MN=^AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF,CE=CF,又???BC+CE二CD+CF,即BE=DF,/.△ABE雯△ADF,AAE=AF,在RtAADF中,T點M為AF的1中點，???DM二刁AF,/.DM=MN,T△ABE雯△ADF,/.Z1=Z2,?/ABIIDF,/.Z1=Z3,同理可證：Z2=Z4,/.Z3=Z4,???DM二AM,/.ZMAD=Z5,/.ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90°,?/MNIIAE,/.ZDMN=ZDGE=90°,/.DM丄MN?所以(2)中的兩個結(jié)論還成立.質(zhì).（操作發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1,AABC為等邊三角形，先將三角板中的60。角與ZACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小于30。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板斜邊上取一點F,使CF=CD,線段AB上取點E,使ZDCE=30%連接AF,EF.求ZEAF的度數(shù)：DE與EF相等嗎？請說明理由：（類比探究）（2）如圖2,AABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,先將三角板的90。角與ZACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角人于0。且小于45。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點D,在三角板另一直角邊上取一點F,使CF=CD,線段AB±取點E,使ZDCEM5。，連接AF,EF.請直接寫出探究結(jié)果：ZEAF的度數(shù)：線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】試題分析：（1）①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,ZBAC=Z8=60%求出ZACF=ZBCD.證明△ACFXBCD,得出ZCAF=AB=60\求出ZEAF=ABAC^ACAF=120\②證出ZDCE=ZFCE,由SAS證明△DCE^△FCE,得出DE=EF即可：（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,ZBAC=^8=45°，證出ZACF=ABCD,由SAS證明△AC甩△BCD,得出ZCAF^Z.B=45°,AF=DB9求出ZEAF=ABAC^ZCAF=90Q；②證出ZDCE=ZFCE,由SAS證明△DCE^△FCE,得出DE=EF；在RtAAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）①???△ABC是等邊三角形，???AC二BC,ZBAC=A8=60°??/ZDCF=60°,/.ZACF^ABCD.在AACF和△3CD中，?/AC=BC9乙ACFNBCD,CF二CD,?△ACF里△BCD(SAS),???ZCAF=Z8=60°,???ZEAFNBAC+ZCAF=120\②DE=EF.理由如下:???ZDCF=60。,ZDCE=30°,/.ZFCE=60°-30°=30°,/.ZDCE=ZFCE.在厶DCE和厶FCE中，???CD二CF,乙DCE二ZFCE,CE=CE.:.DCE^△FCE(SAS),仁DE二EF；(2)①?「△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°t:.AC=BC,ZBAC=AB=45°??/ZDCF=90°,/.ZACF^Z.BCD?在4ACF和△BCD中，?/AC=BC,ZACF=Z.BCD.CF二CD,:.△ACF^△BCD(SAS),/.ZCAF二乙B二45°,AF二DB,???ZEAFM弘C+ZCAF=90Q：②AE2+DB2=DE2,理由如下：???ZDCF=90。，ZDCE二45°,二ZFC&90。-45。=45°,二ZDCE=ZFCE?在△DCE和△FCE中，JCD二CF,乙DCE二ZFCE,CE二CE,dDCE^△FCE(SAS),/.DE=EF.在RtAAEF中,AE2+AF2二EF?,又JAF二DB…\AE2WB2=DE2?3?⑴發(fā)現(xiàn)：如圖1,點人為線段3C外一動點，且BC=a,AB=b.填空：當點A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為（用含a,b的式子表示）（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=4,>48=1,如圖2所示，分別以AB,AC対邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最人值.

(3)拓展：如圖3,在平面直角坐標系中，點&的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),點P為線段AB外一動點，且必=2,PM=PB,ZBPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.【答案】(QCB的延長線上，a+b；(2)①CD=BE,理由見解析：②BE長的最大值為5；(3)滿足條件的點P坐標(2-77,咸(2-近、-近)，AM的最大值為2JJ+4.【解析】【分析】根據(jù)點人位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最人值，即可得到結(jié)論；(2)①根據(jù)已知條件易證根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CD=BE；②由于線段BE長的最人值=線段CD的最人值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果：(3)連接BM,將氐A(chǔ)PM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△PB/V,連接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當A/在線段的延長線時，線段B/V取得最大值，即可得到最犬值為2血+4：如圖2,過P作PE丄x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得點P的坐標.如圖3中，根據(jù)對稱性可知當點P在第四彖限時也滿足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標.【詳解】⑴T點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,???當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最人值，且最人值為BC+AB=a+b,故答案為CB的延長線上，a+b；⑵①CD=BE,理由：與AACE是等邊三角形，/.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°fZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZCAD=ZEAB,AD=AB在△CAD與△FAB中，＜ZCAD=AEAB,△CAD^△EAB(SAS)f:.CD=BE；②???線段BE長的最人值=線段CD的最人值，由(1)知，當線段CD的長取得最人值時，點D在CB的延長線上,???最人值為BD+BC=AB+BC=5；⑶如圖1，圖L???將厶APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,則氐A(chǔ)PN是等腰直角三角形，/.PN=PA=2,BN=AM,???A的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),???OA=2,08=6,???AB=49???線段AM長的最人值=線段BN長的最人值，???當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最人值=AB+AN,???AN=yf^AP=2忑,???最人值為2JJ+4；過P作PE丄x軸于E,???△AP/V是等腰直角三角形，???PE=AE=^2，???OE=BO?AB-AE=6-4?忑=2■忑'.?-P(2->/2，V2).如圖3中，

根據(jù)對稱性可知當點P在第四彖限時，PQ-Q-V2）時，也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點P坐標（2-72?咸（2-JJ，-JI），&A4的最人值為2忑+4.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最人值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.4.（探索發(fā)現(xiàn)）如圖，AABC是等邊三角形，點D為BC邊上一個動點，將AACD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AAEF，連接CE.小明在探索這個問題時發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE是菱形.小明是這樣想的：尊邊三角形ABC將繞點川逆時針旅轉(zhuǎn)妙得尊邊三角形ABC將繞點川逆時針旅轉(zhuǎn)妙得（1）請參考小明的思路寫出證明過程；（2）直接寫出線段CD,CF,AC之間的數(shù)量關(guān)系：:（理解運用）如圖，在AABC中，AD丄BC于點D.將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAEF,延長FE與BC,交于點G.（3）判斷四邊形ADGF的形狀，并說明理由；（拓展遷移）（4）在（3）的前提下，如圖，將AAfE沿折疊得到連接若AD=6.BD=2、求伽的長.圖1圖2圖3【答案】(1)詳見解析；(2)CQ+CF=4C：(3)四邊形ADGF是正方形；(4〉2屈【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：AACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE,則四邊形ABCE是菱形：先證明C、F、E在同一直線上，再證明△BAD竺△CAF(SAS),貝'JzADB=ZAFC,BD=CF,可得AC=CF+CD；先根據(jù)ZADC=ZDAF=ZF=90%證明得四邊形ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；證明△BAM竺△EAD(SAS),根據(jù)BM=DE及勾股定理可得結(jié)論.【詳解】證明：???AABC是等邊三角形，???AB=BC=AC.???MCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AAEF，???CAE=60°,AC=AE.???AACE是等邊三角形./.AC=AE=CE.???AB=BC=CE=AE.???四邊形ABCE是菱形.線段DC,CF,AC之間的數(shù)量關(guān)系：CD+CF=AC.四邊形ADGF是正方形.理由如下：???RtAABD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAEF,aAF=AD^ZDAF=90°.??AD丄BC,???ZADC=ZDAF=ZF=90。.???四邊形ADGF是矩形.??AF=AD^???四邊形ADGF是正方形.如圖，連接DE.???四邊形ADGF是正方形，???DG=FG=AD=AF=6.???MED繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到A4EF，aZBAD=ZEAF,BD=EF=2,??EG=FG-EF=6-2=4.???將AAFE沿AE折疊得到AAME,???ZMAE=ZFAE^AF=AM.???ZBAD=ZEAM????ZBAD+ZDAM=ZEAM+ZDAM,即=??AF=AD^???AM=AD.AM=AD在/VMM和中，ZBAM=ZDAE,AB=AE:.ABAM=AEAD(SAS).???BM=DE=y/EG2+DG2=^42+62=2V13-【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)，依據(jù)圖形的性質(zhì)進行計算求解.5.如圖1,點O是正方形&BCD兩對角線的交點.分別延長OD到點G,OC到點E,使OG=2OD,0E=20C,然后以0G、0E為鄰邊作正方形0EFG,連接AG,DE.⑴求證：DF丄AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形0EFG繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)角(0。<°<360。)得到正方形0EFG,如圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，當Z0AG，是直角時，求°的度數(shù)；(注明：當直角邊為斜邊一半時，這條直角邊所對的銳角為30度)若正方形&BCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求A"長的最人值和此時Q的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由.

【答案】（1）DE丄AG（2）①當Z0AG，為直角時，?=30°或150。.②315。【解析】分析：（1）延長ED交AG于點H,證明妥"OE,根據(jù)等量代換證明結(jié)論：（2）根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到乙力G0=3（T,分兩種情況求出°的度數(shù)；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出O&和OF的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出AF長的最人值和此時。的度數(shù).???點O是正方形ABCD兩對角線的交點，???0A=0D0力丄0D?：OG=OE9在△AOG和△DOE中,OA=OD厶40G=ZDOE=90°OG=OE???△AOG^△DOE???LAGO=乙DEO9???2LAGO+Z.GAO=90°???^GAO^-^DEO=90°???Z4HE=9O°f即DELAG,（2）①如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，^AG'成為直角有兩種情況:

G‘FrD圖2(IM由°°增大到90°過程中，當乙。處=90。時,11G‘FrD圖2(IM由°°增大到90°過程中，當乙。處=90。時,11???OA=OD=尹G=-OG1-0Gf：?在Rt△0力G'q~iOA1sinZAGO?2**???LAGlO=30。???OA丄OD0/1丄AG9???OD//AG1^Z.D0G9=zlAG90=30o即a=30。；(nN由90。增大到180。過程中,當z.0AG1=90°時,同理可求乙BOG'=30°,???a=180°-30°=150°綜上所述,當"處二90。時，“30?；?50圖3當旋轉(zhuǎn)到&、0、F在一條直線上時，"F的長最人,???正方形ABCD的邊長為1,n???OA=OD=OC=OR=—29?：OG=2OD???OG'=OG=\耳???OF=2999???Z.COE1=45°■■?此時°=315。點睛：考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合應用，有一定的綜合性，注意分類討論的思想.6.如圖1,在銳角AABC中，ZABO45。，高線AD、BE相交于點F.（1）判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2,將厶ACD沿線段AD對折，點C落在BD上的點M,AM與BE相交于點N,當DEIIAM時，判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【答案】（1）BF=AC,理由見解析；（2）NE=^AC，理由見解析.2【解析】試題分析：（1）如圖1,證明AADC雯△BDF（AAS）,可得BF=AC；（2）如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC,由線段垂直平分線的性質(zhì)得：AB=BC,則ZABE=ZCBE,結(jié)合（1）得：△BDF雯△ADM,貝ijZDBF=ZMAD,最后證明ZANE=ZNAE=45°,得AE=EN,所以EN=-AC.2試題解析：（1）BF=AC,理由是:如圖1,AD丄BC,BE丄AC,ZADB=ZAEF=90°,???ZABC=45°,???△ABD是等腰直角三角形，nAD=BD,???ZAFE=ZBFD,???ZDAC=ZEBC,在厶ADCfOABDF中，ADAC=ZDBF<ZADC=ZBDF,AD=BD???△ADQ△BDF（AAS）,???BF=AC；（2）NE=-AC,理由是:2如圖2,由折疊得:MD=DC,???DEIIAM,???AE=EC,???BE丄AC,???AB=BC,???ZABE二ZCBE,」由（1）得：△ADC雯△BDF,?.?△ADC雯△ADM,???△BDF雯△ADM,???ZDBF=ZMAD,???ZDBA=ZBAD=45%???ZDBA?ZDBF=ZBAD-ZMAD,即ZABE二Z」BAN,???ZANE=ZABE+ZBAN=2ZABE,ZNAE=2ZNAD=2ZCBE,???ZANE=ZNAE=45°,???AE=EN,1.??EN=-AC?27.在平面直角坐標系中，0為原點，點A（3,0）,點B（0,4）,把△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得△ABO，點B,O旋轉(zhuǎn)后的對應點為F,O.（1）如圖1，當旋轉(zhuǎn)角為90。時，求BBZ的長；（2）如圖2,當旋轉(zhuǎn)角為120。時，求點O'的坐標；（3）在（2）的條件下，邊OB上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應點為卩，當O'P+AP'取得最小值時，求點廠的坐標.（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）5^2:（2）O'（-,邁）；（3）P1（―,）?2255【解析】【分析】先求出AB.利用旋轉(zhuǎn)判斷出△&BB'是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論：先判斷出ZHAO-60。,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AH,OH,即可得出結(jié)論；先確定出直線OC的解析式，進而確定出點P的坐標，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】?:A(3,0),B(0,4),OA=3,08=4,:.AB=5,由旋轉(zhuǎn)知，BA=B'A,ZBAB'=90°f:.△ABB'是等腰直角三角形，BB'=AB=5^2:如圖2,過點0'作O'H丄x軸于H,由旋轉(zhuǎn)知,OS=OA=3,ZOAO=120°,13r-3^39/.ZHAO'=60°,:.ZHO'A=30°,:.AH=-AO'=~,OH=J3AH=—,/.OH=OA+AH=-,22N22婕);22由旋轉(zhuǎn)知,AP=AP‘，???O’P+AP丄O’P+AP.如圖3,作A關(guān)于y軸的對稱點C,連接O'C交y軸于P,???O'P+AP=O'P+CP=OC此時,O’P+AP的值最小.???點c與點人關(guān)于y軸對稱，.?.C(-3,0).?.9(?,空)，???直線OC的解析式為尸逅x+邁，令廠0,??.尸也，(0,22555,：.O'P'=OP=^L,作PD丄O'H于D.55???Z3O4Z804=90%ZAOlH=30\:.Z0^0=30°,/.O'D=-OP-,210【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.8.在平面直角坐標中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、X軸的正半軸上，點0在原點?現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當4點一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，43邊交直線）'=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）.（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面枳：（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當A/N和AC平行時，求正方形Q4BC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3）設(shè)4WBN的周長為在旋轉(zhuǎn)正方形O43C的過程中，卩值是否有變化？請證明你的結(jié)論.【答案】（1）n/2（2）22.5。⑶周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)扇形的面枳公式來求得邊0A在旋轉(zhuǎn)過程中所打過的面積；（2）解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出ZAOM的度數(shù)；（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子.試題解析：（1）???A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°,???0A旋轉(zhuǎn)了45。.???0A在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為4E2-=￡.3602（2）???MNIIAC,???ZBMN=ZBAC=45\ZBNM=ZBCA=45°?/.ZBMN=ZBNM?二BM二BN?又VBA=BC,/.AM=CN.又???OA=OC,Z0AM=ZOCN,??.△OAM^△OCN?/.ZA0M=ZCON=-（ZAOC-ZMON）=-（90°-45°）=22.5°.22???旋轉(zhuǎn)過程中,當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45。-22.5。=22.5。.（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，則ZAOE=45°-ZAOM,ZCON=90°-45°-ZAOM=45°-ZAOM,???ZAOE=ZCON?又???OA=OC,ZOAE=180°-90°=90°=ZOCN????△OAE雯△OCN????OE=ON,AE=CN.又?/ZMOE=ZMON=45%0M=0M,△OME妥△OMN./.MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN,p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.???在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).9.如圖，AABC是等邊三角形，AB=6cm,D為邊AB中點.動點P、Q在邊AB±同時從點D出發(fā)，點P沿DTA以lcm/s的速度向終點A運動.點Q沿DTBTD以2cm/s的速度運動，回到點D停止.以PQ為邊在AB上方作等邊三角形PQN.將APQN繞QN的中點旋轉(zhuǎn)180。得到設(shè)四邊形PQMN與AABC重疊部分圖形的面枳為S（cm2），點P運動的時間為t（s）（0<t<3）.（1）當點N落在邊BC上時，求t的值.（2）當點N到點A、B的距離相等時，求t的值.（3）當點Q沿DTB運動時，求S與t之間的函數(shù)表達式.（4）設(shè)四邊形PQMN的邊MN、MQ與邊BC的交點分別是E、F,直接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積比為2：3時t的值.【解析】試題分析：（1）由題意知：當點N落在邊BC上時，點Q與點B重合，此時DQ=3；（2）當點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上，此時PD=DQ：（3）當時，四邊形PQMN與4ABC重疊部分圖形為四邊形PQMN；當見t/時，四邊形PQMN與厶ABC重疊部分圖形為五邊形PQFEN.312（4）MN、MQ與邊BC的有交點時，此時列出四邊形PEMF與四邊形PQMN的面積表達式后，即可求出t的值.試題解析：（1）???△PQN與AABC都是等邊三角形，???當點N落在邊BC上時，點Q與點B重合.???DQ=3

???2t=3.3（2）???當點N到點A、B的距離相等時，點N在邊AB的中線上,???PD二DQ,3當ovtv，時，此時,PD=t,DQ=2t???t=2t???t=o（不合題意，舍去），3當2<t<3時，此時,PD=t,DQ=6-2t???t=6-2t,解得t=2；綜上所述，當點N到點A、B的距離相等時，t=2：（3）由題意知:此時，PD=t,DQ=2t當點M在BC邊上時，???MN=BQ???PQ=MN=3t,BQ=3-2t???3t=3?2t3???解得t=5如圖①，當OwtJ時，TOC\o"1-5"\h\z屮9屮SApnq=°PQ2=4t2；叩2?"-S=S眨形pqmn=2S°pnq二t2,33如圖②,當5址2時,設(shè)MN、MQ與邊BC的交點分別是E.F,???MN=PQ=3t,NE=BQ=3-2t,/.ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3,???△EMF是等邊三角形，.?-SAemf=4ME2=4(5t-3)2S=S菱形pqmN-SbMEF=S=S菱形pqmN-SbMEF=_務(513)2（4）MN.MQ與邊BC的交點分別是E、F,312此時^<t<5,15t=〒t=l或7?囹①考點：幾何變換綜合題囹①考點：幾何變換綜合題10?如圖1,在RtAABC中，ZACB=90%E是邊AC±任意一點（點E與點A,C不重合），以CE為一直角邊作RtAECD,ZECD=90°,連接BE,AD.（1）若CA=CB,CE=CD猜想線段BE,AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論：現(xiàn)將圖1中的RtAECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角a,得到圖2,請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（2）若CA=8,CB=6,CE=3,CD=4,RtAECD繞著點C順時針轉(zhuǎn)銳角a,如圖3,連接BD,AE,計算肋+血的值.【答案】（1）①BE二AD,BE丄AD：②見解析；（2）125.【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD,BE丄AD；設(shè)BE與AC的交點為點F,BE與AD的交點為點G,根據(jù)ZACB=ZECD=90。得出ZACD=ZBCE,然后結(jié)合AC=BC,CD=CE得出△ACD雯△BCE,則AD二BE,ZCAD=ZCBF,根據(jù)ZBFC=ZAFG,ZBFC+ZCBE=90°得出ZAFG+ZCAD=90\從而說明垂直：首先根據(jù)題意得出△ACD?“BCE,然后說明ZAGE=ZBGD=90%最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）①解：BE=AD,BE丄AD②BE=AD,BE丄AD仍然成立證明：設(shè)BE與AC的交點為點F,BE與AD的交點為點G,如圖1.???ZACB=ZECD=90%/.ZACD=ZBCETAC=BCCD=CEACD竺△BCE???AD=BEZCAD=ZCBFTZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°/.ZAGF=90°???BE丄AD（2）證明：設(shè)BE與AC的交點為點F,BE的延長線與AD的交點為點G,如圖2.???ZACB=ZECD=90%/.ZACD=ZBCETAC=8,BC=6,CE=3,CD=4/.△ACD-△BCE???ZCAD=ZCBE???ZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°/.ZAGF=90°???BE丄AD/.ZAGE=ZBGD=9OC./IE2=AG2+EG2BD2=BG2+DG2?BD?+AE2=AG2+EG2+BG2+DG2??9????..AG2+BG2=AB2EG2+DG2=ED2?,,?BD2+AE2=AB2+El"=CA2+CB2+CD2+CE2=125考點：三角形全等與相似、勾股定理?11.如圖所示，在AABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEIIBC,如圖①，然后將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM￡bd,en￡ce,得到圖③，請解答卞列問題：⑴若AB=AC，請?zhí)骄勘辶袛?shù)量關(guān)系：在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是；在圖③中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、ZMAN與ZBAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB=k?AC(k>l),按上述操作方法，得到圖④，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、ZMAN與ZBAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證

rr【答案】(1)①BD二CE；②AM二AN,ZMAN=ZBAC理由如下：???在圖①中，DE//BC,AB=AC???AD=,,AE.nAB=AC,乙BAD=lCAE,An=Ar在厶ABD與厶ACE中一???△ABD雯△ACE.???BD=CE,ZACE=ZABD?在厶DAM與厶EAN中，11?/DM=^bd,EN=^CE,BD=CE,ADM=EN,VZAEN=ZACE+ZCAE,ZADM=ZABD+ZBAD,/.ZAEN=ZADM?又???AE=AD,???△ADM雯△AEN./.AM=AN,ZDAM=ZEAN./.ZMAN=ZDAE=ZBAC./.AM=AN,ZMAN=ZBAC.(2)AM=kAN,ZMAN=ZBAC.【解析】①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AAEC竺△ADB,所以BD=CE：②根據(jù)題意可知ZCAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到△BAD聖△CAE,在△ABM和△ACN中，DM=-BD,EN=-CE,可證△ABM仝△ACN,月f以AM二AN,艮卩ZMAN=ZBAC?直接類比(1)中結(jié)果可知AM二k?AN,ZMAN=ZBAC?12.（特例發(fā)現(xiàn)）如圖1,在AABC中，AG丄BC于點G,以A為直角頂點，分別以AB,AC為直角邊，向AABC外作等腰RtAABE和等腰RtAACF,過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.求證：EP=FQ.（延伸拓展）如圖2,在AABC中，AG丄BC于點G,以A為直角頂點，分別以AB,AC為

直角邊，向AABC外作RtAABE和RtZkACF,射線GA交EF于點H.若AB二kAE,AC=kAF,請思考HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.（深入探究）如圖3,在AABC中，G是BC邊上任意一點，以A為頂點，向△ABC外作任意ZkABE和ZkACF,射線GA交EF于點H?若ZEAB=ZAGB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結(jié)論還成立嗎？并證明你的結(jié)論.（應用推廣）在上一問的條件卞，設(shè)大小恒定的角ZIHJ分別與AAEF的兩邊AE、AF分別交于點M、N,若AABC為腰長等于4的等腰三角形，其中ZBAU120。，且ZIHJ=ZAGB=0=6O°,k=2；求證：當ZIHJ在旋轉(zhuǎn)過程中，AEMH、△HMN和△FNH均相似，并直接寫出線段MN的最小值（請在答題卡的備用圖中補全作圖）?【答案】⑴證明參見解析；（2）HE=HF；⑶成立，證明參見解析：⑷證明參見解析，MN最小值為1.【解析】試題分析：⑴特例發(fā)現(xiàn)：易證AAEP雯4BAG,△AFQ^aCAG,即可求得EP=AG,FQ=AG,即可解題：（2）延伸拓展：過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P.Q?易證ABG-^EAP,△ACG-DFAQ,得到PE=^AG,FQ=^AG,/.PE=FQ,然后證明1EPH異△FQH,即可得出HE=HF；⑶深入探究:判斷△PEA-△GAB,得到PE^AG,1△AQF?ACGA,FQr得到FQ」AG,再判斷△EPH雯△FQH,即可得出HE二HF；（4）應用推廣：由前一個結(jié)論得到△AEF為正三角形，再依次判斷△MHN-△HFN-△MEH,即可得出結(jié)論.試題解析：（1）特例發(fā)現(xiàn)，如圖：PAE=90%ZGAB+ZPAE=90°,?\ZPEA=ZGAB,BGC

@1???ZEPA=ZAGB,AE二AB,/.△PEA^△GAB,/.PE=AG,同理，△QFA^△GAC,???FQ二AG,???PE=FQ：(2)延伸拓展,如圖:?/ZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,/.ZPEA=ZGAB,/.ZEPA=ZAGB,AE???△PEA-△AE???△PEA-△GAB.AAGAB,???ab二kAE,PEAE1/.AGkAE,/.PE=^AG.同理,FQAF△QFA?FQAF△QFA?△GAC,???AGAC1TAUkAF,???Fq/aG,???PE二FQ,???EPIIFQ,???ZEPH=ZFQH,JZPHE=ZQHF,二△EPH妥△FQH,/.HE=HF；在直線AG上取一點P,使得在直線AG上取一點P,使得ZEPA=ZAGB,作FQIIPE,TZEAP+ZBAG=180°-ZAGB,ZABG+ZBAG=180°?ZAGB,二ZEAP=ZABG,TZEPA=ZAGB,二△APE?△BGA,PEAE?AG~AB

?-,1???AB二kAE,???PE^AG,由于ZFQA=ZFAC=ZAGC=180°-ZAGB,同理可得,FQAF△AQF?FQAF△AQF?△CGA,???AGAC1AC=kAF,???FqJaG,EP二FQ,???EPIIFQ,???ZEPH=ZFQH,JZPHE=ZQHF,二△EPH妥△FQH,/.HE=HF；在前面條件及結(jié)論,得到，點H是EF中點,AAE=AF,VZEAB=ZAGB,ZFAC=ZAGC/?ZEAB+ZFAC=180°/.ZEAF=360°-(ZEAB+ZFAC)-ZBAC=60\/.△AEF為正三角形.又H為EF中點,/.ZEHM+ZIHJ=120°,ZIHJ+ZFHN=120°,

HMEHHMEH???ZEHM=ZFHN.ZAEF=ZAFE,/.△HEM-△???ZEHM=ZFHN.HMFHHN?,且zMHN=ZHFN=60。,???△MHN?△HFN,/.△MHN?△HFN?△MEH,在AHMN中，ZMHN=60°,根據(jù)三角形中人邊對人角，.??要MN最小，只有△HMN是等邊三角形,/.ZAMN=60%?/ZAEF=60°,MN/.MNIIEF,T△AEF為等邊三角形,/.MN為11AAEF的中位線,/.MNmin=2EF=2x2=l?考點：1?幾何變換綜合題；2?三角形全等及相似的判定性質(zhì).13.如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，Z>4=30°,點0為AB中點，點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合)，連接OC、OP,將線段OP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段PQ,連接BQ.如圖1,當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.如圖2,當點P在CB延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；如圖3,當點P在BC延長線上時，若ZBP0=15°,BP=4,請求出BQ的長.AA【答案】(1)BQ二CP；(2)成立：PC二BQ；(3)4?。恳??【解析】試題分析：(1)結(jié)論：BQ=CP.如圖1中，作PHIIAB交CO于H,可得△PCH是等邊三角形，只要證明厶POH儀△QPB即可；成立：PC=BQ.作PHWAB交CO的延長線于H.證明方法類似(1)；如圖3中，作CE丄OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF.設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,在RtAPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4,可得方程(>/6+>/2)a+y/2a=4,求出a即可解決問題；試題解析：解：(1)結(jié)論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PHIIAB交CO于H.在RtAABC中,???ZACB=90。，Z/A=30°,點O為AB中點,/.CO=AO=BO,ZC80=60°,???△CBO是等邊三角形,???ZCHP=ZCO8=60°,ZCPH二ZCBO=60°,/.ZCHP=ZCPH=60°,???△CPH是等邊三角形，???PC二PH二CH,???OH二PB,???ZOP8=ZOPQ+ZQPB=ZOC8+ZCOP,TZOPQ二ZOCP=60%/.ZPOH二ZQPB,

???P0二PQ,???△POH里△QPB,???PH二QB,/.PC二BQ.成立：PC二BQ?理由：作PHIIAB交CO的延長線于H?在RtAABC中,?/ZACB=90\Z/A=30°,點O為AB中點,CO=AO=BO9ZC80=60°,???△CBO是等邊三角形，???ZCHP二ZCOfi=60°,ZCPH=ZCBO=60°,/.ZCHP=ZCPH二60。,???△CPH是等邊三角形,???PC二PH二CH,???OH二PB,TZPOH=6(T+ZCPO,ZQPO=60°+ZCPQ,???ZPOH二ZQPB,?/PO=PQ、：2POH雯△QPB,/.PH二QB,???PC二BQ.如圖3中，作CE丄OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF.???ZOPC=15°,ZOCB二ZOCP+ZPOC,/.ZPOC=45°,/.CE二EO,設(shè)CE=CO=a,貝ljFC=FP=2a,EF=*a,在RtAPCE中，PC=^pe當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，04恰好平分乙COD,求此時ZBOC當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，04恰好平分乙COD,求此時ZBOC的度數(shù)；若射線0C的位置保持不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某個時刻，使得射線04、OC、0D中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請求出r的取值，若不存在，請說明理由；若在三角板開始轉(zhuǎn)動的同時，射線0C也繞0點以每秒15。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，=(>/6+y/2)a,vpc+CB=4,a(y/6+42)a+yf2a=4,解得*4邁-2汞，.?-PC=4>/3-4,由(2)可知BQ=PC,BQ=4jT—4.點睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角