初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)梳理：旋轉(zhuǎn)

1111旋轉(zhuǎn)知識(shí)定位旋轉(zhuǎn)在初中幾何或者競(jìng)賽中占據(jù)非常大的地位，是解決平面幾何中最重要的工具之一它的有關(guān)知識(shí)是今后我們學(xué)習(xí)綜合題目重要基礎(chǔ)。本節(jié)需要掌握旋轉(zhuǎn)圖形變換的特征；學(xué)會(huì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的特征進(jìn)行圖形的求解換。本節(jié)我們通過(guò)一些實(shí)例的求解，旨在介紹數(shù)學(xué)競(jìng)賽中旋轉(zhuǎn)相關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)題型及其求解方法本講將通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這些方法的運(yùn)用。知識(shí)梳理1、旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P',那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。注意：旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時(shí)判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向.旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點(diǎn)。2、旋轉(zhuǎn)的基本特點(diǎn)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.（2）旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．3、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．4、中心對(duì)稱（1）中心對(duì)稱的定義：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.（3）中心對(duì)稱圖形：注意：中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱不同，中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，而中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形自身的特點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同．常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形：:平行四邊形、圓形、正方形、長(zhǎng)方形等等．5、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)是P'(-x,-y).關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或圖形屬于中心對(duì)稱，它是中心對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，它具有中心對(duì)稱的所有性質(zhì)．但它主要是用坐標(biāo)變化確定圖形．注意：運(yùn)用時(shí)要熟練掌握，可以不用圖畫(huà)和結(jié)合坐標(biāo)系，只根據(jù)符號(hào)變化直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)坐標(biāo)與圖形變化--旋轉(zhuǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：P(x,y)P(-x,-y)旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°．6、幾種常見(jiàn)的變換平移變換：在平移變換下,對(duì)應(yīng)線段平行且相等．兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段與給定的有向線段平行(共線)且相等．軸對(duì)稱變換：在軸對(duì)稱變換下,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)直線(段)或者平行,或者交于對(duì)稱軸,且這兩條直線的夾角被對(duì)稱軸平分．旋轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。位似變換：在位似變換下,一對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；一條線上的點(diǎn)變到一條線上,且保持順序,即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn),共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線；對(duì)應(yīng)線段的比等于位似比的絕對(duì)值,對(duì)應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行,即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A,且兩圓心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)；兩對(duì)應(yīng)圓相切時(shí)切點(diǎn)為位似中心例題精講r【試題來(lái)源】【題目】在厶ABC中，ZC為等腰直角三角形，AB=BC,PABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA2+2PB2=PC2求ZAPB的大小【答案】135【解析】解：作厶ABPR(B,90°)△CP'Bk.\ZAPB=ZCP'B,P'C=PA,PB=P'B,ZPBP'=ZRTAii11.??PP'■v'2PB,即PB=PP'2又:PA2+2PB2=PC2,1,.??P'C2+2(PP')2=PC2即P'C2+PP'2=PC2???△P'PC為直角三角形。AZPP'C=90°?ZAPC=ZAPZBP'C=90°+45°=135【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】【題目】設(shè)P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=5,PB=4,PC=3，求此三角形的邊長(zhǎng)?！敬鸢浮俊窘馕觥拷猓簩③藺PC繞C逆時(shí)旋轉(zhuǎn)60°到厶BDC的位置，則△DPC是等邊三角形。?BD=PA=5,PB=4,PD=PC=3.?.△DPB是直角三角形，ZDPC=90°。.??ZBPE=180°-90°-60°=30°過(guò)B作CP的垂線,PB=4，則BE=2,EP=2在直角三角形BEC中，BC2=BE2+EC2=22+(2+3)2=25+12:：BC=【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】2006年北京初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題【題目】在厶ABC中AC=BCZACB=90od、E是邊AB上的兩點(diǎn).AD=3.BE=4ZDCE=45o則厶ABC的面積是多少【答案】36【解析】解：把Acad繞c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△cbf???BF=AD=3ZA=ZCBF=45o??ZCBA=45o.??ZEBF=900???BE=4?EF=5AE1而ZEAE]ADCE9AFCE?DE=EF=511?:S4bc=4AB2=4(3+4+5)2二36知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題難度系數(shù)】3試題來(lái)源】2012年北京市初二學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題【答案】6+4打【解析】解：以B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。角到ABaC的位置，連接PQ易知ABPa是等邊三角形因?yàn)镻Q=BQ=BP=4,ZPQB=60。又△BQC9AAPB?CQ=AP=31111則CP2523242CQ2PQ2???ZPQC=9OoS=S=S+S故四變形ABCP四變形PBQC△pbq△pbq「342143=6+4、；342知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)題難度系數(shù)】3【試題來(lái)源】2011年《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題【題目】如圖已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P、Q是其內(nèi)兩點(diǎn)，且ZPAQ=ZPCQ=450,求S^+S+SPAB△PCQ△QAB答案】1/2【解析】解：將AAQD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至AAQ/B.△CQD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至ACQ//B連接PQ/,PQ//則厶人卩?gAAPQ,ACPQ//^△CPQ由ZABQ/+ZCPQ//=ZADQ+ZCDQ=900知Q/、B、Q/三點(diǎn)共線且BQ/=DQ/=BQ//則、PBQ/=?bq〃故SaPAB+S^PCQ+SaQAB=SaPAQ+S^PBC+SaQCD=2S正方形CD_1=2【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來(lái)源】【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAPB,ZBPC,ZCPA的大小之比為5：6：7,則以叭PB，PC為邊的三角形三內(nèi)角大小之比（從小到大）是（）答案】2：3：4【解析】解：如圖，將AAPB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C,顯然有△AP'C^AAPB，連PPZ,?.?AP'=AP,ZP'AP=60°,:.△APT是等邊三角形，.??PP'=AP,???PC=PB,.?.△PCP的三邊長(zhǎng)分別為PA,PB,PC,VZAPB+ZBPC+ZCPA=360°,ZAPB：ZBPC：ZCPA=5：6：7,AZAPB=100°,ZBPC=120°,ZCPA=14O°,.??ZPP'C=ZAP'C-ZAPZP=ZAPB-ZAP'P=100°-60°=40°,ZPzPC=ZAPC-ZAPP'=140°-60°=80°,ZPCP'=180°-(40°+80°)=60°,.??ZPP'C：ZPCP'：ZP'PC=2：3：4.

知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)題難度系數(shù)】4試題來(lái)源】【題目】如圖，△ABC內(nèi)，ZBAC=60°,ZACB=40°,P,Q分別在BC,CA上，并且AP,BQ分另I」是ZBAC,ZABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP.答案】如下解析【解析】證明：延長(zhǎng)AB到D,使BD=BP，連接PD?則ZD=Z5.TAP,BQ分別是ZBAC,ZABC的平分線，ZBAC=60°,ZACB=40°,.??Zl=Z2=30°,ZABC=180°-60°-40°=80°,Z3=Z4=40°=ZC..??QB=QC,又ZD+Z5=Z3+Z4=80°,???ZD=40°.在△人卩。與4APC中，AP=AP,Z1=Z2,ZD=ZC=40°.?.△APD9AAPC(AAS),.AD=AC.即AB+BD=AQ+QC，.AB+BP=BQ+AQ.

A知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題難度系數(shù)】4試題來(lái)源】【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZD=90°,BC=CD=12,ZABE=45°，點(diǎn)E在DC上,AE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若AE=10，則S^ADE+S^CEF的值是.答案】30或48【解析】解：過(guò)B點(diǎn)作BG丄AD交DA的延長(zhǎng)線于G,得四邊形BCDG為正方形,又把RtABCE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得厶BGE,貝9BE'=BE且ZEBE'=90°,?.?ZABE=45°,AB=AB,.?.△ABE'^AABE,.??AE'=AE=10,設(shè)CE=x,貝9AG=10-x,DE=12-x,AD=DG-AG=x+2,在RtAADE中，由(12-x)2+(x+2)2=102，得x=4或x=6.?.?AD〃CF,.?.△CEFs^DEA,又S^ade冷xADxDE冷(x+2)(12-x),

當(dāng)x=4時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)SaAde=24，S^cef=6，故SaAde+當(dāng)x=4時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)SaAde=24，S^cef=6，故SaAde+SaCef=3°，S^ADE=24，S^CEF=24，故S^ADE+S^CEF=48-DA<?S'I-"I7知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)題難度系數(shù)】5試題來(lái)源】【題目】如圖，在AABC中，ZBAC=120°,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA、PB、PC、AB、AC的關(guān)系A(chǔ)3【答案】AB+ACVAP+BP+CP.??ZCAC'=ZPAP=60°,AC=AC',AP=AP',PC=P'C,???△APP為等邊三角形，.??PP'=AP,VZBAC=120°,.??ZBAC'=120°+60°=180°,即B,A,C共線，.??BC'VBP+PP'+P'C,即AB+ACVAP+BP+CP.

適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題難度系數(shù)】4【試題來(lái)源】【題目】圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3則PC所能達(dá)到的最大值為是多少答案】5【解析】解：把PA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得AD,貝yDA=PA,連CD，DP,CP,如圖,?.?△ABC為等邊三角形ABC,.??ZBAC=60°,AC=ABAZDAC=ZBAP,.?.△DAC9APAB,.??DC=PB,而PB=3,PA=2,.DC=3,?.?PCWDP+DC,APC<5,所以PC所能達(dá)到的最大值為5..

適用場(chǎng)合】當(dāng)堂練習(xí)題難度系數(shù)】4習(xí)題演練尸廣【試題來(lái)源】【題目】）如圖，AABC是等腰三角形，ZC=90°,O是AABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)0到AABC各邊的距離等于1,將AABC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AXBXCX，兩三角形的公共部分為多邊形KLMNPQ.證明：△AKL,ABMN,ACPQ都是等腰直角三角形.求證：AABC與厶A1B1C1公共部分的面積.答案】如下解析【解析】證明：①連接OC、OC1，分別交PQ、NP于點(diǎn)D、E,根據(jù)題意得ZCOC1=45°.???點(diǎn)O到AC和BC的距離都等于1,???0C是ZACB的平分線.?.?ZACB=90°???ZOCE=ZOCQ=45°同理ZOC1D=ZOC1N=45°AZOEC=ZODC1=90°AZCQP=ZCPQ=ZC1PN=ZC1NP=45°???△CPQ和厶C1NP都是等腰直角三角形.AZBNM=ZC1NP=45°ZA1QK=ZCQP=45°,VZB=45°ZA1=45°,???△BMN和厶A1KQ都是等腰直角三角形..??ZB1ML=ZBMN=90°,ZAKL=ZA1KQ=90°AZB1=45°ZA=45°/.△B1ML和AAKL也都是等腰直角三角形.②在RtAODC]和RtAOEC中，OD=OE=1,/COC]=45°AOC=OC1=TOC\o"1-5"\h\z???CD=C1E=l'2^1_.??PQ=NP=202-1)二2匚紅2,_CQ=CP=C1P=C1N^1(T2-1)=2-延長(zhǎng)CO交AB于HCO平分ZACB，且AC=BCCH丄AB,_.??CH=CO+OH=''衛(wèi)+1___AC=BC=A1C1=B1C1^2(I2+1)=2+匚2,?:也亦尹遼+◎i,A1Q=BN=(2^2)-(2T2-2)-(2-l2)=2,KQ=MN=I2,?冊(cè)冷乂(：：小Jl，*.*AK=(2+12)-(2-l戈)-l戈=12,$△血兮乂(Q2=1，--$參邊^(qū)KLMNP(F^AABC-^ACPQ-^ABW-=(3+2^2)-(A2血)-1-1=4^/2~2

6r知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)難度系數(shù)】5試題來(lái)源】【題目】已知，直角三角形ABC中，ZC=90°,點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，BC=6.(1)如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿直線DE方向向右運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)EP=時(shí)，四邊形BCDP是矩形；2)將點(diǎn)B繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．如圖2,旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F處，連接AF、BF、EF.設(shè)ZBEF=a°，求證：AABF是直角三角形；如圖3,旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)G處，連接DG、EG.已知ZBEG=90°,求厶DEG的面積.衛(wèi)刈4\hx答案】如下解析【解析】解：(1)7四邊形BCDF是矩形，???DP=BC=6,???點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，?.DE=2bC=3,?.EP=6-3=3,2故答案為：3；(2)①??點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，??AE=BE,?根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BE=EF，?BE=EF=AE

可得ZEBF=ZBFE冷(180°-a°)=90°-ga°,

在AAEF中，可得ZEAF=ZAFE^ZFEB=|c???△ABF是直角三角形；②過(guò)點(diǎn)E作EK丄BC,垂足為點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)G作GM丄DE交DE延長(zhǎng)線于M,???點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，.??DE〃BC,TZC=90°,/.ZEDC=90°,VZC=90°,EK丄BC,GM丄DE,?ZM=ZEKB=90°,EK〃DC,/.ZMEK=ZEDC=90°,ZMEB+ZBEK=90°,EG丄AB,???ZGEB=90°,/.ZGEM+ZMEB=90°,/.ZGEM=ZBEK,?將點(diǎn)B繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到G,?EG=BE,VN=ZEKB在△GME和ABKE中?/GEN二上EEK,’EG二EE△GME^ABKE(AAS),GM=BK，VZC=ZEKC=ZEDC=90°,?四邊形DCKE是矩形，?DE=CK=3，.??GM=BK=6-3=3,11q△DEG的面積為尹ExGM垃x3x3垃.知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)難度系數(shù)】4

試題來(lái)源】【題目】如圖，凸四邊形ABCD滿足條件：AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=120°那么ACBC+CD.（填“〉”或“Z”或“=”)答案】相等【解析】解：將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到厶ADE，則有△ABC與厶ADE全等.???AC=AE,ZABC=ZADE.VZBAD=60°,ZBCD=120°.AZADC+ZADE=ZADC+ZABC=180°.???C、D、E三點(diǎn)共線.???BC+CD=DE+DC=CE.又?ZZCAE等于旋轉(zhuǎn)角，即ZCAE=60°,??.△ACE為等邊三角形.?AC=BC+CD．A知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)難度系數(shù)】3

【試題來(lái)源】【題目】如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90°,ZB=ZE=30°.(1)如圖2,固定△ABC,將ADEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，設(shè)ABDC的面積為S.△AEC的面積為S2，那么S］與S2的數(shù)量關(guān)系是;當(dāng)厶DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中Si與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和AAEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想.如圖4,ZABC=60°，點(diǎn)D在其角平分線上，BD=CD=6，DE#AB交BC于點(diǎn)E,若點(diǎn)F在射線BA上，并且S^DCF=S^BDE,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的BF的長(zhǎng).XT圖斗答案】如下解析【解