八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末提分練案第2講第2課時(shí)方法訓(xùn)練構(gòu)造全等三角形的六種常用方法課件新版新人教版

第2講全等三角形的判定和性質(zhì)第2課時(shí)方法訓(xùn)練構(gòu)造全等三角形的六種常用方法期末提分練案第2講全等三角形的判定和性質(zhì)期末提分練案提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示1234見習(xí)題5見習(xí)題6見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示1234見習(xí)題5見習(xí)1．如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于點(diǎn)M，∠1＝∠2，CA＝CB.求證：(1)∠3＋∠4＝180°；【點(diǎn)撥】本題實(shí)際上用到翻折法，作輔助線相當(dāng)于把△OCM沿OC翻折到△OCE.1．如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于點(diǎn)M，∠1＝∠2，證明：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥OB，交OB的延長線于點(diǎn)E.∵CE⊥OE，CM⊥OA，∴∠E＝∠CMO＝90°.在△OCE和△OCM中，證明：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥OB，交OB的延長線于點(diǎn)E.∴△OCE≌△OCM(AAS)．∴CE＝CM.又∵CB＝CA，∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．∴∠3＝∠CBE.∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.∴△OCE≌△OCM(AAS)．(2)OA＋OB＝2OM.證明：由(1)知△OCE≌△OCM，Rt△BCE≌Rt△ACM，∴OE＝OM，BE＝AM.∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.(2)OA＋OB＝2OM.證明：由(1)知△OCE≌△OCM2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長線交AB于點(diǎn)F，連接DF.求證∠ADC＝∠BDF.【點(diǎn)撥】本題利用補(bǔ)形法構(gòu)造出△CBG，證明全等后，通過∠G來尋找∠ADC與∠BDF的相等關(guān)系．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC交CF的延長線于點(diǎn)G，∴∠CBG＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC交CF的延長線于點(diǎn)G，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.∴△ACD≌△CBG(ASA)．在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.在△BDF和△BGF中，3．如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且∠EAF＝∠EFA.求證AC＝BF.【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了倍長中線法，借助點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，構(gòu)造△MDB和△ADC全等．利用全等三角形的性質(zhì)對(duì)線段和角進(jìn)行等量代換，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)解決問題．3．如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)證明：如圖，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM.∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB(SAS)．∴∠M＝∠MAC，BM＝AC.∵∠EAF＝∠EFA，∠AFE＝∠BFM，∴∠M＝∠BFM.∴BM＝BF.∴AC＝BF.證明：如圖，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM.4．如圖，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)．求證：AB－AC>PB－PC.【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了截長法或補(bǔ)短法，AB比AC長，在AB上截取AN＝AC，構(gòu)造△APN，通過全等證明；或者延長AC補(bǔ)成AM＝AB，構(gòu)造△AMP，同樣通過全等證明．4．如圖，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P為AD上任證法一(截長法)：如圖①，在AB上截取AN＝AC，連接PN.在△APN和△APC中，∴△APN≌△APC(SAS)．∴PN＝PC.在△BPN中，PB－PN<BN，∴PB－PC<AB－AN.∴AB－AC>PB－PC.證法一(截長法)：如圖①，在AB上截取AN＝AC，連接PN.證法二(補(bǔ)短法)：如圖②，延長AC至點(diǎn)M，使AM＝AB，連接PM.在△ABP和△AMP中，∴△ABP≌△AMP(SAS)．∴PB＝PM.在△PCM中，CM>PM－PC，∴AM－AC＞PB－PC.∴AB－AC＞PB－PC.證法二(補(bǔ)短法)：如圖②，延長AC至點(diǎn)M，使AM＝AB，連接5．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角尺的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB相交于點(diǎn)C，D，PC與PD相等嗎？試說明理由．【點(diǎn)撥】本題中沒有全等三角形，通過作垂線構(gòu)造三角形，證明三角形全等，問題得解．5．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角尺的頂解：PC＝PD.理由如下：如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn).∵OM平分∠AOB，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°.∴∠EPF＝90°.∴∠EPC＋∠CPF＝90°.∵∠CPD＝90°，∴∠CPF＋∠FPD＝90°.∴∠EPC＝∠FPD.解：PC＝PD.理由如下：在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF(ASA)．∴PC＝PD.在△PCE和△PDF中，6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，BQ平分∠ABC交AC于點(diǎn)Q.求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.【點(diǎn)撥】本題中沒有全等三角形，由角平分線想到作平行線，構(gòu)造出全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行線段的等量代換，問題得證．6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP證明：∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠CBQ＝

∠ABC＝

×80°＝40°.∴∠CBQ＝∠C.∴BQ＝CQ.∴BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC.①如圖，過點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，則∠CPD＝∠CBQ＝40°.∴∠CPD＝∠C＝40°.∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠C＝40°＋40°＝80°.證明：∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP.∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP.在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP(AAS)．∴AB＝AD，BP＝PD.∴AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC.②由①②可得AB＋BP＝BQ＋AQ.∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP.第2講全等三角形的判定和性質(zhì)第2課時(shí)方法訓(xùn)練構(gòu)造全等三角形的六種常用方法期末提分練案第2講全等三角形的判定和性質(zhì)期末提分練案提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示1234見習(xí)題5見習(xí)題6見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題提示：點(diǎn)擊進(jìn)入習(xí)題答案顯示1234見習(xí)題5見習(xí)1．如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于點(diǎn)M，∠1＝∠2，CA＝CB.求證：(1)∠3＋∠4＝180°；【點(diǎn)撥】本題實(shí)際上用到翻折法，作輔助線相當(dāng)于把△OCM沿OC翻折到△OCE.1．如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于點(diǎn)M，∠1＝∠2，證明：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥OB，交OB的延長線于點(diǎn)E.∵CE⊥OE，CM⊥OA，∴∠E＝∠CMO＝90°.在△OCE和△OCM中，證明：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥OB，交OB的延長線于點(diǎn)E.∴△OCE≌△OCM(AAS)．∴CE＝CM.又∵CB＝CA，∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．∴∠3＝∠CBE.∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.∴△OCE≌△OCM(AAS)．(2)OA＋OB＝2OM.證明：由(1)知△OCE≌△OCM，Rt△BCE≌Rt△ACM，∴OE＝OM，BE＝AM.∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.(2)OA＋OB＝2OM.證明：由(1)知△OCE≌△OCM2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長線交AB于點(diǎn)F，連接DF.求證∠ADC＝∠BDF.【點(diǎn)撥】本題利用補(bǔ)形法構(gòu)造出△CBG，證明全等后，通過∠G來尋找∠ADC與∠BDF的相等關(guān)系．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC交CF的延長線于點(diǎn)G，∴∠CBG＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC交CF的延長線于點(diǎn)G，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.∴△ACD≌△CBG(ASA)．在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.在△BDF和△BGF中，3．如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且∠EAF＝∠EFA.求證AC＝BF.【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了倍長中線法，借助點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM，構(gòu)造△MDB和△ADC全等．利用全等三角形的性質(zhì)對(duì)線段和角進(jìn)行等量代換，再結(jié)合相關(guān)知識(shí)解決問題．3．如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)證明：如圖，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM.∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB(SAS)．∴∠M＝∠MAC，BM＝AC.∵∠EAF＝∠EFA，∠AFE＝∠BFM，∴∠M＝∠BFM.∴BM＝BF.∴AC＝BF.證明：如圖，延長AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接BM.4．如圖，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)．求證：AB－AC>PB－PC.【點(diǎn)撥】本題運(yùn)用了截長法或補(bǔ)短法，AB比AC長，在AB上截取AN＝AC，構(gòu)造△APN，通過全等證明；或者延長AC補(bǔ)成AM＝AB，構(gòu)造△AMP，同樣通過全等證明．4．如圖，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P為AD上任證法一(截長法)：如圖①，在AB上截取AN＝AC，連接PN.在△APN和△APC中，∴△APN≌△APC(SAS)．∴PN＝PC.在△BPN中，PB－PN<BN，∴PB－PC<AB－AN.∴AB－AC>PB－PC.證法一(截長法)：如圖①，在AB上截取AN＝AC，連接PN.證法二(補(bǔ)短法)：如圖②，延長AC至點(diǎn)M，使AM＝AB，連接PM.在△ABP和△AMP中，∴△ABP≌△AMP(SAS)．∴PB＝PM.在△PCM中，CM>PM－PC，∴AM－AC＞PB－PC.∴AB－AC＞PB－PC.證法二(補(bǔ)短法)：如圖②，延長AC至點(diǎn)M，使AM＝AB，連接5．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角尺的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB相交于點(diǎn)C，D，PC與PD相等嗎？試說明理由．【點(diǎn)撥】本題中沒有全等三角形，通過作垂線構(gòu)造三角形，證明三角形全等，問題得解．5．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角尺的頂解：PC＝PD.理由如下：如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn).∵OM平分∠AOB，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°.∴∠EPF＝90°.∴∠EPC＋∠CPF＝90°.∵∠CPD＝90°，∴∠CPF＋∠FPD＝90°.∴∠EPC＝∠FPD.解：PC＝PD.理由如下：在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF(ASA)．∴PC＝PD.