信息融合狀態(tài)估計(jì)爾曼濾波課件

第七講狀態(tài)估計(jì)—卡爾曼濾波整理ppt1第七講整理ppt1狀態(tài)估計(jì)的主要內(nèi)容應(yīng)用：通過數(shù)學(xué)方法尋求與觀測數(shù)據(jù)最佳擬合的狀態(tài)向量。1、確定運(yùn)動目標(biāo)的當(dāng)前位置與速度；2、確定運(yùn)動目標(biāo)的未來位置與速度；3、確定運(yùn)動目標(biāo)的固有特征或特征參數(shù)。整理ppt2狀態(tài)估計(jì)的主要內(nèi)容應(yīng)用：整理ppt2狀態(tài)估計(jì)主要內(nèi)容：位置與速度估計(jì)。位置估計(jì)：距離、方位和高度或仰角的估計(jì)；速度估計(jì)：速度、加速度估計(jì)。整理ppt3狀態(tài)估計(jì)主要內(nèi)容：位置與速度估計(jì)。整理ppt3狀態(tài)估計(jì)的主要方法1、α-β濾波2、α-β-γ濾波3、卡爾曼濾波這些方法針對勻速或勻加速目標(biāo)提出，如目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動與采用的目標(biāo)模型不一致，濾波器發(fā)散。整理ppt4狀態(tài)估計(jì)的主要方法1、α-β濾波整理ppt4算法的改進(jìn)及適應(yīng)性狀態(tài)估計(jì)難點(diǎn)：機(jī)動目標(biāo)的跟蹤

1、自適應(yīng)α-β濾波和自適應(yīng)Kalman濾波均改善對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤能力。

2、擴(kuò)展Kalman濾波針對卡爾曼濾波在笛卡兒坐標(biāo)系中才能使用的局限而提出。整理ppt5算法的改進(jìn)及適應(yīng)性狀態(tài)估計(jì)難點(diǎn)：機(jī)動目標(biāo)的跟蹤整理ppt5卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器的應(yīng)用:通信、雷達(dá)、導(dǎo)航、自動控制等領(lǐng)域；航天器的軌道計(jì)算、雷達(dá)目標(biāo)跟蹤、生產(chǎn)過程的自動控制等。整理ppt6卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器的應(yīng)用:整理ppt6卡爾曼濾波器的應(yīng)用特點(diǎn)對機(jī)動目標(biāo)跟蹤中具有良好的性能；為最佳估計(jì)并能夠進(jìn)行遞推計(jì)算；只需當(dāng)前的一個測量值和前一個采樣周期的預(yù)測值就能進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。整理ppt7卡爾曼濾波器的應(yīng)用特點(diǎn)對機(jī)動目標(biāo)跟蹤中具有良好的性能；整理p卡爾曼濾波器的局限性卡爾曼濾波器解決運(yùn)動目標(biāo)或?qū)嶓w的狀態(tài)估計(jì)問題時，動態(tài)方程和測量方程均為線性。整理ppt8卡爾曼濾波器的局限性卡爾曼濾波器解決運(yùn)動目標(biāo)或?qū)嶓w的狀態(tài)估計(jì)一、數(shù)字濾波器作估值器1、非遞歸估值器

2、遞歸估值器整理ppt9一、數(shù)字濾波器作估值器1、非遞歸估值器整理ppt1、非遞歸估值器采樣平均估值器：采用時域分析方法在摻雜有噪聲的測量信號中估計(jì)信號x。整理ppt101、非遞歸估值器采樣平均估值器：整理ppt10根據(jù)數(shù)字信號處理我們知道，所謂非遞歸數(shù)字濾波器是一種只有前饋而沒有反饋的濾波器，它的沖擊脈沖響應(yīng)是有限的，在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。假定用zk表示觀測值，

zk=x+nk

式中：x—恒定信號或稱被估參量

nk—觀測噪聲采樣

假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。整理ppt11根據(jù)數(shù)字信號處理我們知道，所謂非遞歸數(shù)字濾

h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應(yīng)hj的采樣，或稱濾波器的加權(quán)系數(shù)。濾波器的輸出當(dāng)h1=h2=…=hm=1/m時，

該式表明，估計(jì)是用m個采樣值的平均值作為被估參量x的近似值的，故稱其為采樣平均估值器。

整理ppt12h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應(yīng)h估計(jì)的均方誤差以Pε表示，有當(dāng)i=j時δij=1，當(dāng)i≠j時δij=0，有

最后得：

整理ppt13當(dāng)i=j時δij=1，當(dāng)i≠j時δij=0，有最后得：結(jié)論①估計(jì)值是用m個采樣值的平均值作為被估參量x的近似值；②估值器的均方誤差隨著m的增加而減少；③該估值器是一個無偏估值器。整理ppt14結(jié)論①估計(jì)值是用m個采樣值的平均值作為被整2、遞歸估值器一階遞歸估值器：

a為濾波器的加權(quán)系數(shù)，a<1。整理ppt152、遞歸估值器一階遞歸估值器：整理ppt15遞歸數(shù)字濾波器是一種帶有反饋的濾波器，它有無限的脈沖響應(yīng)，有階數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，但其暫態(tài)過程較長。關(guān)于信號和噪聲的基本假設(shè)與非遞歸情況相同。上圖給出的一階遞歸濾波器輸入輸出信號關(guān)系如下：式中，zk與非遞歸情況相同；a是一個小于1的濾波器加權(quán)系數(shù)，如果它大于或等于1，該濾波器就不穩(wěn)定了。

整理ppt16遞歸數(shù)字濾波器是一種帶有反饋的濾波器，它有無k時刻的輸出：

yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk

將zk中的信號和噪聲分開，并代入，有輸出由于│a│＜1，故隨著k值的增加，yk趨近于x/(1-a)。這樣，如果以(1-a)yk作為x的估計(jì)值，則整理ppt17k時刻的輸出：yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk此時信號x和估值之間只差一個噪聲項(xiàng)。當(dāng)k值較大時，估值的均方誤差而一次取樣的均方誤差

故上一結(jié)果的均方誤差約為一次采樣的（1-a）/（1+a）倍。

整理ppt18此時信號x和估值之間只差一個噪聲項(xiàng)。當(dāng)k值較二、線性均方估計(jì)1、最優(yōu)非遞歸估計(jì)（標(biāo)量維納濾波）2、遞歸估計(jì)整理ppt19二、線性均方估計(jì)1、最優(yōu)非遞歸估計(jì)（標(biāo)量維納濾波）整理ppt

1.最優(yōu)非遞歸估計(jì)非遞歸濾波器的估計(jì)值及其估計(jì)誤差可分別表示為整理ppt201.最優(yōu)非遞歸估計(jì)整理ppt20對m個參數(shù)逐一求導(dǎo)，令等于零，在均值為零的白噪聲的情況下，可得到最小均方誤差和估計(jì)：其中，b=σ2n/σ2x，在b<<m時，這種估計(jì)近似于采樣平均。在噪聲方差σ2n較大時，其性能明顯優(yōu)于非最佳情況。這種最小均方誤差準(zhǔn)則下的線性濾波，通常稱作標(biāo)量維納濾波。

hj與非最優(yōu)情況的不同，這里的濾波器的加權(quán)系數(shù)為整理ppt21對m個參數(shù)逐一求導(dǎo)，令等于零，在均值為零的白

2、由最優(yōu)非遞推估計(jì)導(dǎo)出遞歸估計(jì)由前可知，非遞歸估值器可以表示為

條件與前面相同。對k+1次取樣，相應(yīng)的估計(jì)量

相應(yīng)的估計(jì)誤差

整理ppt222、由最優(yōu)非遞推估計(jì)導(dǎo)出遞歸估計(jì)條件與前面由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有

所以有

整理ppt23由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有所以有于是,分成二項(xiàng)：將第一項(xiàng)同時乘、除一個bk，則整理ppt24于是,分成二項(xiàng)：將第一項(xiàng)同時乘、除一個bk，則整理pp或

最后有

整理ppt25或最后有整理ppt25最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt26最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt26最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt27最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt27

遞推開始時的初始條件應(yīng)滿足：以使為最佳值。解之，得 ，這時的 如果E(x)=0，可從零開始遞推運(yùn)算，即整理ppt28遞推開始時的初始條件應(yīng)滿足：以使三、標(biāo)量卡爾曼濾波器－時變信號主要作用：對摻雜有噪聲的隨機(jī)信號進(jìn)行線性估計(jì)。整理ppt29三、標(biāo)量卡爾曼濾波器－時變信號主要作用：整理ppt291、模型

1）信號模型設(shè)要估計(jì)的隨機(jī)信號為由均值為0，方差為σ2w的白噪聲激勵的一個一階遞歸過程，即信號對時間變化滿足動態(tài)方程：x(k)=ax(k-1)+w(k-1)

式中，a——系統(tǒng)參數(shù)；

w(k-1)——白噪聲采樣。如果令x(0)=0，E［w(k)］=0，則

整理ppt30

該過程稱作一階自回歸過程。x(k)的均值和方差分別為：

自相關(guān)函數(shù)

整理ppt31該過程稱作一階自回歸過程。x(k)的均值和方差分別為：自2）觀測模型觀測模型由下式給出：z(k)=cx(k)+v(k)式中：c——測量因子；

v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪聲。最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型如圖所示。

整理ppt322）觀測模型z(k)=cx(k)+v(k)式中：c——最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型整理ppt33最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型整理ppt332、標(biāo)量卡爾曼濾波器由前將遞歸估計(jì)的形式寫成：均方誤差

分別對a(k)和b(k)求導(dǎo)，并令其等于0，求其最佳估計(jì)，得出a(k)與b(k)的關(guān)系：a(k)=a［1-cb(k)］最后有遞歸估值器：

整理ppt342、標(biāo)量卡爾曼濾b(k)為濾波器增益

其中,

均方誤差

對于給定的信號模型和觀測模型，上述一組方程便稱為一維標(biāo)量卡爾曼濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖所示。整理ppt35b(k)為濾波器增益其中,均方誤差對于標(biāo)量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)

整理ppt36標(biāo)量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)整理ppt36

3、標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器

標(biāo)量卡爾曼濾波是對摻雜有噪聲的隨機(jī)信號進(jìn)行線性估計(jì)。但經(jīng)常要對信號的未來值進(jìn)行預(yù)測，特別是在控制系統(tǒng)中。根據(jù)預(yù)測提前時間的多少，把預(yù)測分成1步、2步、…、m步預(yù)測，通常把1步預(yù)測記作。預(yù)測的步數(shù)越多，誤差越大。這里討論1步預(yù)測問題。信號模型和觀測模型同前：整理ppt37

根據(jù)前一節(jié)，有一步線性預(yù)測遞推公式：

其中，a(k)和β(k)可以通過使均方預(yù)測誤差最小來確定。預(yù)測的均方誤差可表示為將預(yù)測方程代入該式，并求導(dǎo)，就會得到一組正交方程：整理ppt38根據(jù)前一節(jié)，有一步線性預(yù)測遞推公式：其中，a(k)和β解之，得

a(k)=a-cβ(k)將其代入預(yù)測方程，有

進(jìn)一步可求出：

其中，

由以上表達(dá)式可以看出，可根據(jù)均方預(yù)測誤差Pε(k/k-1)計(jì)算β(k)，然后再給出Pε(k+1/k)的均方預(yù)測誤差。整理ppt39解之，得a(k)=a-cβ(k)將其代入預(yù)測方程，有進(jìn)最優(yōu)一步預(yù)測器整理ppt40最優(yōu)一步預(yù)測器整理ppt40最優(yōu)一步預(yù)測及濾波器整理ppt41最優(yōu)一步預(yù)測及濾波器整理ppt41四、向量卡爾曼濾波器1、信號向量和數(shù)據(jù)向量如果要求對q個信號進(jìn)行同時估計(jì)，這q個信號在k時刻的采樣值記作x1(k)、x2(k)、…、xq(k)。假設(shè)每個信號都是由一階自回歸過程產(chǎn)生的，即第α個信號在時刻k的采樣值為:xα(k)=aαxα(k-1)+wα(k-1)α=1，2，…，q

每個wα過程都是白的，零均值的，與其它過程的采樣是獨(dú)立的。于是把q個信號與q個白噪聲組成的q維向量分別表示成整理ppt42四、向量卡爾曼濾顯然，

X(k)=AX(k-1)+W(k-1)式中，X(k)，X(k-1)，W(k-1)都是q維向量，A是個q×q階矩陣，即如果信號不滿足一階遞歸差分方程，而滿足二階遞歸差分方程，即x(k)=ax(k-1)+bx(k-2)+w(k-1)

整理ppt43顯然，X(k)=AX(k-1)+W(k-1)式中，X(k定義兩個分量

x1(k)=x(k)x2(k)=x1(k-1)=x(k-1)于是，有

最后，有

X(k)=AX(k-1)+W(k-1)

結(jié)果把一個二階差分方程變成了一個一階二維向量方程，該方程用起來更簡單方便。整理ppt44定義兩個分量x1(k)=x(k)于是，有最后，有X(

用R(k)表示k時刻的距離，R(k)表示k時刻的速度，U(k)表示k時刻的加速度，T表示采樣周期，則寫成一般形式：

其中，

.整理ppt45用R(k)表示k時刻的距離，R(k)表示k寫成向量形式：

最后,有

即可寫成一階向量的形式。在對信號向量進(jìn)行估計(jì)的過程中，同時產(chǎn)生r個含有噪聲的測量值，記作z1(k)，z2(k)，…,zr(k)。則得到一組觀測方程:

整理ppt46寫成向量形式：最后,有即可寫成一階向量的形式。整理其中，vi(k)表示附加噪聲，ci表示第i個測量參數(shù)，于是有Z(k)=CX(k)+V(k)

式中，Z(k)，V(k)是r維向量，X(k)是q維向量，C是r×q階矩陣。對于r=q，有C即是觀測矩陣。

整理ppt47其中，vi(k)表示附加噪聲，ci表示第i個測量參數(shù)，于是有

2、向量問題的表示根據(jù)前面的討論，我們完全可以把前面的信號模型動態(tài)方程和觀測方程寫成如下形式:采用標(biāo)量運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的等價關(guān)系，推廣到多維情況：整理ppt48

據(jù)此，可以將觀測噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣

對兩個信號的情況，則有

同理，也可以把系統(tǒng)噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣，即

由于系統(tǒng)噪聲采樣互不相關(guān)，該協(xié)方差矩陣的非對角線元素的值均為零。單一信號均方誤差也可變成協(xié)方差矩陣，

整理ppt49據(jù)此，可以將觀測噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣對兩個信號的情況，

3、向量卡爾曼濾波器利用前面的概念，直接把標(biāo)量卡爾曼濾波器公式變成向量卡爾曼濾波器公式：濾波器增益：

式中，

實(shí)際上，它是預(yù)測協(xié)方差。

誤差協(xié)方差矩陣：

整理ppt503用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符號，如圖：向量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)

整理ppt51用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符號，如圖：向量卡增益矩陣K(k)的計(jì)算流程如圖所示：

增益矩陣計(jì)算流程

整理ppt52增益矩陣K(k)的計(jì)算流程如圖所示：增益矩陣計(jì)算流程整理4、向量卡爾曼預(yù)測器根據(jù)相同的推導(dǎo)方法，可以獲得卡爾曼預(yù)測器方程組。預(yù)測方程：預(yù)測增益:預(yù)測均方誤差:

它們與標(biāo)量的情況是一一對應(yīng)的，只是用G(k)代替了β(k)。就可以將濾波和預(yù)測用同一個方框圖表示出來。

整理ppt53

5、總結(jié)卡爾曼濾波器應(yīng)用廣泛，這里只對其進(jìn)行簡單歸納。

1）卡爾曼濾波器的主要特性卡爾曼濾波器是一個遞歸、線性、無偏和方差最小的濾波器，如果過程噪聲和觀測噪聲是正態(tài)高斯白噪聲，則它保持最佳特性。整理ppt54

2）卡爾曼濾波器模型目標(biāo)運(yùn)動模型：

位置測量模型：

整理ppt552）卡爾曼濾波器模型位置測量模型：整理ppt55狀態(tài)方程:

X(t+T)=Φ(t)X(t)+W(t)Q(t)=E［W(t)W(t)T］

觀測方程:Z(t)=HX(t)+V(t)

R(t)=E［V(t)V(t)T］

整理ppt56狀態(tài)方程:X(t+T)=Φ(t)X(t)+W(t)Q(t3)卡爾曼濾波器方程組殘差:

預(yù)測方程:

狀態(tài)估計(jì):

卡爾曼濾波器增益:

整理ppt573)卡爾曼濾波器方程組預(yù)測方程:狀態(tài)估計(jì):卡爾曼預(yù)測協(xié)方差:

估計(jì)協(xié)方差:

整理ppt58預(yù)測協(xié)方差:估計(jì)協(xié)方差:整理ppt58五、卡爾曼濾波器的應(yīng)用

1.系統(tǒng)矩陣假定系統(tǒng)矩陣是四維矩陣，即距離、速度、方位角及其變化率,它們分別由R，，θ和表示，距離方向上的加速度和角度方向的加速度分別由ur(k)和uθ(k)表示。狀態(tài)方程為整理ppt59五、卡爾曼濾波器的應(yīng)用則系統(tǒng)方程為

用標(biāo)準(zhǔn)符號x1，x2

，x3,x4分別表示R，R,θ,θ。式中，A為系統(tǒng)矩陣，W(k)為噪聲項(xiàng)。..整理ppt60則系統(tǒng)方程為用標(biāo)準(zhǔn)符號x1，x2，x3,x4分別表示

2.觀測矩陣假定觀測值只有距離和方位兩個，即R和θ，分別用z1和z2來表示。它們是由狀態(tài)值和測量噪聲組成的，且測量噪聲是相互獨(dú)立的零均值的白噪聲。測量方程：則有

整理ppt612.觀測矩陣則有整理ppt61其中，x1(k)=r(k)，x3(k)=θ(k)。以上兩個問題實(shí)際上是建立模型問題。

整理ppt62其中，x1(k)=r(k)，x3(k)=θ(k)。整理p

3.觀測噪聲協(xié)方差矩陣在計(jì)算濾波器增益時，需知觀測噪聲的協(xié)方差矩陣。由于只有兩個參數(shù)，因此這里利用了方位和距離觀測噪聲相互獨(dú)立的條件，故左下角和右上角項(xiàng)為零。整理ppt633.觀測噪聲協(xié)方差矩陣這里利用了方位和距

4.系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣假定目標(biāo)作勻速運(yùn)動，由于大氣湍流等因素的影響，目標(biāo)產(chǎn)生隨機(jī)加速度，在距離和方位上都存在隨機(jī)擾動,于是有且

整理ppt644.系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣且整理ppt64因?yàn)?/p>

得輸入擾動的協(xié)方差矩陣

整理ppt65因?yàn)榈幂斎霐_動的協(xié)方差矩陣整理ppt65

5.濾波器的初值濾波器初始化時。先利用一種比較簡單的方法確定，可利用時刻1和時刻2兩點(diǎn)的距離和方位測量值，即z1(1)，z1(2)，z2(1)，z2(2)，建立，而忽略隨機(jī)加速度。

整理ppt665.濾波器的初值整理ppt666.均方誤差矩陣由濾波器初值，有誤差矢量

整理ppt676.均方誤差矩陣整理ppt67從而，

整理ppt68從而，整理ppt68初始誤差的協(xié)方差矩陣

整理ppt69初始誤差的協(xié)方差矩陣整理ppt69由于u，v相互獨(dú)立，且各噪聲采樣之間也獨(dú)立，則

式中,

整理ppt70由于u，v相互獨(dú)立，且各噪聲采樣之間也獨(dú)立，則式中,整這樣，所需要的參數(shù)均已具備，可以進(jìn)行迭代運(yùn)算了。整理ppt71這樣，所需要的參數(shù)均已具備，可以進(jìn)行迭代運(yùn)算了。整理ppt小結(jié)整理ppt72小結(jié)整理ppt72第七講狀態(tài)估計(jì)—卡爾曼濾波整理ppt73第七講整理ppt1狀態(tài)估計(jì)的主要內(nèi)容應(yīng)用：通過數(shù)學(xué)方法尋求與觀測數(shù)據(jù)最佳擬合的狀態(tài)向量。1、確定運(yùn)動目標(biāo)的當(dāng)前位置與速度；2、確定運(yùn)動目標(biāo)的未來位置與速度；3、確定運(yùn)動目標(biāo)的固有特征或特征參數(shù)。整理ppt74狀態(tài)估計(jì)的主要內(nèi)容應(yīng)用：整理ppt2狀態(tài)估計(jì)主要內(nèi)容：位置與速度估計(jì)。位置估計(jì)：距離、方位和高度或仰角的估計(jì)；速度估計(jì)：速度、加速度估計(jì)。整理ppt75狀態(tài)估計(jì)主要內(nèi)容：位置與速度估計(jì)。整理ppt3狀態(tài)估計(jì)的主要方法1、α-β濾波2、α-β-γ濾波3、卡爾曼濾波這些方法針對勻速或勻加速目標(biāo)提出，如目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動與采用的目標(biāo)模型不一致，濾波器發(fā)散。整理ppt76狀態(tài)估計(jì)的主要方法1、α-β濾波整理ppt4算法的改進(jìn)及適應(yīng)性狀態(tài)估計(jì)難點(diǎn)：機(jī)動目標(biāo)的跟蹤

1、自適應(yīng)α-β濾波和自適應(yīng)Kalman濾波均改善對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤能力。

2、擴(kuò)展Kalman濾波針對卡爾曼濾波在笛卡兒坐標(biāo)系中才能使用的局限而提出。整理ppt77算法的改進(jìn)及適應(yīng)性狀態(tài)估計(jì)難點(diǎn)：機(jī)動目標(biāo)的跟蹤整理ppt5卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器的應(yīng)用:通信、雷達(dá)、導(dǎo)航、自動控制等領(lǐng)域；航天器的軌道計(jì)算、雷達(dá)目標(biāo)跟蹤、生產(chǎn)過程的自動控制等。整理ppt78卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器的應(yīng)用:整理ppt6卡爾曼濾波器的應(yīng)用特點(diǎn)對機(jī)動目標(biāo)跟蹤中具有良好的性能；為最佳估計(jì)并能夠進(jìn)行遞推計(jì)算；只需當(dāng)前的一個測量值和前一個采樣周期的預(yù)測值就能進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。整理ppt79卡爾曼濾波器的應(yīng)用特點(diǎn)對機(jī)動目標(biāo)跟蹤中具有良好的性能；整理p卡爾曼濾波器的局限性卡爾曼濾波器解決運(yùn)動目標(biāo)或?qū)嶓w的狀態(tài)估計(jì)問題時，動態(tài)方程和測量方程均為線性。整理ppt80卡爾曼濾波器的局限性卡爾曼濾波器解決運(yùn)動目標(biāo)或?qū)嶓w的狀態(tài)估計(jì)一、數(shù)字濾波器作估值器1、非遞歸估值器

2、遞歸估值器整理ppt81一、數(shù)字濾波器作估值器1、非遞歸估值器整理ppt1、非遞歸估值器采樣平均估值器：采用時域分析方法在摻雜有噪聲的測量信號中估計(jì)信號x。整理ppt821、非遞歸估值器采樣平均估值器：整理ppt10根據(jù)數(shù)字信號處理我們知道，所謂非遞歸數(shù)字濾波器是一種只有前饋而沒有反饋的濾波器，它的沖擊脈沖響應(yīng)是有限的，在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。假定用zk表示觀測值，

zk=x+nk

式中：x—恒定信號或稱被估參量

nk—觀測噪聲采樣

假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。整理ppt83根據(jù)數(shù)字信號處理我們知道，所謂非遞歸數(shù)字濾

h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應(yīng)hj的采樣，或稱濾波器的加權(quán)系數(shù)。濾波器的輸出當(dāng)h1=h2=…=hm=1/m時，

該式表明，估計(jì)是用m個采樣值的平均值作為被估參量x的近似值的，故稱其為采樣平均估值器。

整理ppt84h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應(yīng)h估計(jì)的均方誤差以Pε表示，有當(dāng)i=j時δij=1，當(dāng)i≠j時δij=0，有

最后得：

整理ppt85當(dāng)i=j時δij=1，當(dāng)i≠j時δij=0，有最后得：結(jié)論①估計(jì)值是用m個采樣值的平均值作為被估參量x的近似值；②估值器的均方誤差隨著m的增加而減少；③該估值器是一個無偏估值器。整理ppt86結(jié)論①估計(jì)值是用m個采樣值的平均值作為被整2、遞歸估值器一階遞歸估值器：

a為濾波器的加權(quán)系數(shù)，a<1。整理ppt872、遞歸估值器一階遞歸估值器：整理ppt15遞歸數(shù)字濾波器是一種帶有反饋的濾波器，它有無限的脈沖響應(yīng)，有階數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，但其暫態(tài)過程較長。關(guān)于信號和噪聲的基本假設(shè)與非遞歸情況相同。上圖給出的一階遞歸濾波器輸入輸出信號關(guān)系如下：式中，zk與非遞歸情況相同；a是一個小于1的濾波器加權(quán)系數(shù)，如果它大于或等于1，該濾波器就不穩(wěn)定了。

整理ppt88遞歸數(shù)字濾波器是一種帶有反饋的濾波器，它有無k時刻的輸出：

yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk

將zk中的信號和噪聲分開，并代入，有輸出由于│a│＜1，故隨著k值的增加，yk趨近于x/(1-a)。這樣，如果以(1-a)yk作為x的估計(jì)值，則整理ppt89k時刻的輸出：yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk此時信號x和估值之間只差一個噪聲項(xiàng)。當(dāng)k值較大時，估值的均方誤差而一次取樣的均方誤差

故上一結(jié)果的均方誤差約為一次采樣的（1-a）/（1+a）倍。

整理ppt90此時信號x和估值之間只差一個噪聲項(xiàng)。當(dāng)k值較二、線性均方估計(jì)1、最優(yōu)非遞歸估計(jì)（標(biāo)量維納濾波）2、遞歸估計(jì)整理ppt91二、線性均方估計(jì)1、最優(yōu)非遞歸估計(jì)（標(biāo)量維納濾波）整理ppt

1.最優(yōu)非遞歸估計(jì)非遞歸濾波器的估計(jì)值及其估計(jì)誤差可分別表示為整理ppt921.最優(yōu)非遞歸估計(jì)整理ppt20對m個參數(shù)逐一求導(dǎo)，令等于零，在均值為零的白噪聲的情況下，可得到最小均方誤差和估計(jì)：其中，b=σ2n/σ2x，在b<<m時，這種估計(jì)近似于采樣平均。在噪聲方差σ2n較大時，其性能明顯優(yōu)于非最佳情況。這種最小均方誤差準(zhǔn)則下的線性濾波，通常稱作標(biāo)量維納濾波。

hj與非最優(yōu)情況的不同，這里的濾波器的加權(quán)系數(shù)為整理ppt93對m個參數(shù)逐一求導(dǎo)，令等于零，在均值為零的白

2、由最優(yōu)非遞推估計(jì)導(dǎo)出遞歸估計(jì)由前可知，非遞歸估值器可以表示為

條件與前面相同。對k+1次取樣，相應(yīng)的估計(jì)量

相應(yīng)的估計(jì)誤差

整理ppt942、由最優(yōu)非遞推估計(jì)導(dǎo)出遞歸估計(jì)條件與前面由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有

所以有

整理ppt95由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有所以有于是,分成二項(xiàng)：將第一項(xiàng)同時乘、除一個bk，則整理ppt96于是,分成二項(xiàng)：將第一項(xiàng)同時乘、除一個bk，則整理pp或

最后有

整理ppt97或最后有整理ppt25最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt98最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt26最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt99最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞推公式整理ppt27

遞推開始時的初始條件應(yīng)滿足：以使為最佳值。解之，得 ，這時的 如果E(x)=0，可從零開始遞推運(yùn)算，即整理ppt100遞推開始時的初始條件應(yīng)滿足：以使三、標(biāo)量卡爾曼濾波器－時變信號主要作用：對摻雜有噪聲的隨機(jī)信號進(jìn)行線性估計(jì)。整理ppt101三、標(biāo)量卡爾曼濾波器－時變信號主要作用：整理ppt291、模型

1）信號模型設(shè)要估計(jì)的隨機(jī)信號為由均值為0，方差為σ2w的白噪聲激勵的一個一階遞歸過程，即信號對時間變化滿足動態(tài)方程：x(k)=ax(k-1)+w(k-1)

式中，a——系統(tǒng)參數(shù)；

w(k-1)——白噪聲采樣。如果令x(0)=0，E［w(k)］=0，則

整理ppt102

該過程稱作一階自回歸過程。x(k)的均值和方差分別為：

自相關(guān)函數(shù)

整理ppt103該過程稱作一階自回歸過程。x(k)的均值和方差分別為：自2）觀測模型觀測模型由下式給出：z(k)=cx(k)+v(k)式中：c——測量因子；

v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪聲。最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型如圖所示。

整理ppt1042）觀測模型z(k)=cx(k)+v(k)式中：c——最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型整理ppt105最優(yōu)遞推估值器的信號和觀測模型整理ppt332、標(biāo)量卡爾曼濾波器由前將遞歸估計(jì)的形式寫成：均方誤差

分別對a(k)和b(k)求導(dǎo)，并令其等于0，求其最佳估計(jì)，得出a(k)與b(k)的關(guān)系：a(k)=a［1-cb(k)］最后有遞歸估值器：

整理ppt1062、標(biāo)量卡爾曼濾b(k)為濾波器增益

其中,

均方誤差

對于給定的信號模型和觀測模型，上述一組方程便稱為一維標(biāo)量卡爾曼濾波器，其結(jié)構(gòu)如圖所示。整理ppt107b(k)為濾波器增益其中,均方誤差對于標(biāo)量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)

整理ppt108標(biāo)量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)整理ppt36

3、標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器

標(biāo)量卡爾曼濾波是對摻雜有噪聲的隨機(jī)信號進(jìn)行線性估計(jì)。但經(jīng)常要對信號的未來值進(jìn)行預(yù)測，特別是在控制系統(tǒng)中。根據(jù)預(yù)測提前時間的多少，把預(yù)測分成1步、2步、…、m步預(yù)測，通常把1步預(yù)測記作。預(yù)測的步數(shù)越多，誤差越大。這里討論1步預(yù)測問題。信號模型和觀測模型同前：整理ppt109

根據(jù)前一節(jié)，有一步線性預(yù)測遞推公式：

其中，a(k)和β(k)可以通過使均方預(yù)測誤差最小來確定。預(yù)測的均方誤差可表示為將預(yù)測方程代入該式，并求導(dǎo)，就會得到一組正交方程：整理ppt110根據(jù)前一節(jié)，有一步線性預(yù)測遞推公式：其中，a(k)和β解之，得

a(k)=a-cβ(k)將其代入預(yù)測方程，有

進(jìn)一步可求出：

其中，

由以上表達(dá)式可以看出，可根據(jù)均方預(yù)測誤差Pε(k/k-1)計(jì)算β(k)，然后再給出Pε(k+1/k)的均方預(yù)測誤差。整理ppt111解之，得a(k)=a-cβ(k)將其代入預(yù)測方程，有進(jìn)最優(yōu)一步預(yù)測器整理ppt112最優(yōu)一步預(yù)測器整理ppt40最優(yōu)一步預(yù)測及濾波器整理ppt113最優(yōu)一步預(yù)測及濾波器整理ppt41四、向量卡爾曼濾波器1、信號向量和數(shù)據(jù)向量如果要求對q個信號進(jìn)行同時估計(jì)，這q個信號在k時刻的采樣值記作x1(k)、x2(k)、…、xq(k)。假設(shè)每個信號都是由一階自回歸過程產(chǎn)生的，即第α個信號在時刻k的采樣值為:xα(k)=aαxα(k-1)+wα(k-1)α=1，2，…，q

每個wα過程都是白的，零均值的，與其它過程的采樣是獨(dú)立的。于是把q個信號與q個白噪聲組成的q維向量分別表示成整理ppt114四、向量卡爾曼濾顯然，

X(k)=AX(k-1)+W(k-1)式中，X(k)，X(k-1)，W(k-1)都是q維向量，A是個q×q階矩陣，即如果信號不滿足一階遞歸差分方程，而滿足二階遞歸差分方程，即x(k)=ax(k-1)+bx(k-2)+w(k-1)

整理ppt115顯然，X(k)=AX(k-1)+W(k-1)式中，X(k定義兩個分量

x1(k)=x(k)x2(k)=x1(k-1)=x(k-1)于是，有

最后，有

X(k)=AX(k-1)+W(k-1)

結(jié)果把一個二階差分方程變成了一個一階二維向量方程，該方程用起來更簡單方便。整理ppt116定義兩個分量x1(k)=x(k)于是，有最后，有X(

用R(k)表示k時刻的距離，R(k)表示k時刻的速度，U(k)表示k時刻的加速度，T表示采樣周期，則寫成一般形式：

其中，

.整理ppt117用R(k)表示k時刻的距離，R(k)表示k寫成向量形式：

最后,有

即可寫成一階向量的形式。在對信號向量進(jìn)行估計(jì)的過程中，同時產(chǎn)生r個含有噪聲的測量值，記作z1(k)，z2(k)，…,zr(k)。則得到一組觀測方程:

整理ppt118寫成向量形式：最后,有即可寫成一階向量的形式。整理其中，vi(k)表示附加噪聲，ci表示第i個測量參數(shù)，于是有Z(k)=CX(k)+V(k)

式中，Z(k)，V(k)是r維向量，X(k)是q維向量，C是r×q階矩陣。對于r=q，有C即是觀測矩陣。

整理ppt119其中，vi(k)表示附加噪聲，ci表示第i個測量參數(shù)，于是有

2、向量問題的表示根據(jù)前面的討論，我們完全可以把前面的信號模型動態(tài)方程和觀測方程寫成如下形式:采用標(biāo)量運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的等價關(guān)系，推廣到多維情況：整理ppt120

據(jù)此，可以將觀測噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣

對兩個信號的情況，則有

同理，也可以把系統(tǒng)噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣，即

由于系統(tǒng)噪聲采樣互不相關(guān)，該協(xié)方差矩陣的非對角線元素的值均為零。單一信號均方誤差也可變成協(xié)方差矩陣，

整理ppt121據(jù)此，可以將觀測噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣對兩個信號的情況，

3、向量卡爾曼濾波器利用前面的概念，直接把標(biāo)量卡爾曼濾波器公式變成向量卡爾曼濾波器公式：濾波器增益：

式中，

實(shí)際上，它是預(yù)測協(xié)方差。

誤差協(xié)方差矩陣：

整理ppt1223用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符號，如圖：向量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)

整理ppt123用K(k)代替了B(k)，因K(k)是通用符號，如圖：向量卡增益矩陣K(k)的計(jì)算流程如圖所示：

增益矩陣計(jì)算流程

整理ppt124增益矩陣K(k)的計(jì)算流程如圖所示：增益矩陣計(jì)算流程整理4、向量卡爾曼預(yù)測器根據(jù)相同的推導(dǎo)方法，可以獲得卡爾曼預(yù)測器方程組。預(yù)測方程：預(yù)測增益:預(yù)測均方誤差:

它們與標(biāo)量的情況是一一對應(yīng)的，只是用G(k)代替了β(k)。就可以將濾波和預(yù)測用同一個方框圖表示出來。

整理ppt125

5、總結(jié)卡爾曼濾波器應(yīng)用廣泛，這里只對其進(jìn)行簡單歸納。

1）卡爾曼濾波器的主要特性卡爾曼濾波器是一個遞歸、線性、無偏和方差最小的濾波器，如果過程噪聲和觀測噪聲是正態(tài)高斯白噪聲，則它保持最佳特性。整理ppt126