北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)全冊(cè)各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

北師大版《數(shù)學(xué)》（八年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即（2）勾股定理的驗(yàn)證：測(cè)量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法……（通過面積的不同表示方法得到驗(yàn)證，也叫等面積法或等積法）（3）勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……規(guī)律：（1），短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且a＜b時(shí)，如果b+c=a2那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n＞1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別是：2n,n2-1,n2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常見題型應(yīng)用：（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積……（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關(guān)系，求各邊的長度找最長邊；b.比較長邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；c.確定形狀（4）構(gòu)建直角三角形解題例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10。求直角三角形的兩直角邊。解：設(shè)兩直角邊為3x，4x，由題意知：∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。中考突破（1）中考典題例.如圖（1）所示，一個(gè)梯子AB長米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動(dòng)后停在DE位置上，如圖（2）所示，測(cè)得得BD=米，求梯子頂端A下落了多少米思維入門指導(dǎo)：梯子頂端A下落的距離為AE，即求AE的長。已知AB和BC，根據(jù)勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=，∴AC=2∵BD=，∴CD=2∴EC=答：梯子頂端下滑了米。點(diǎn)撥：要考慮梯子的長度不變。例5.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。思維入門指導(dǎo)：求面積時(shí)一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結(jié)BD，似乎不解：連結(jié)AC，在Rt△ADC中，在△ABC中，AB2=1521答：這塊地的面積是216平方米。點(diǎn)撥：此題綜合地應(yīng)用了勾股定理和直角三角形判定條件。第二章實(shí)數(shù)基本知識(shí)回顧1.無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。一、實(shí)數(shù)的概念及分類1、實(shí)數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如π/3+8等；（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如…等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值1、相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、絕對(duì)值在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。（|a|≥0）。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。5、估算利用非負(fù)數(shù)解題的常見類型例1.解：點(diǎn)撥：利用算術(shù)平方根，絕對(duì)值非負(fù)性解題。三、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號(hào)a。性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。注意的雙重非負(fù)性：被開方數(shù)與結(jié)果均為非負(fù)數(shù)。即a≥0，3、立方根一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。四、實(shí)數(shù)大小的比較1、實(shí)數(shù)比較大?。赫龜?shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。。（6）倒數(shù)法：設(shè)a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負(fù)，如果1/a＞1/b，則a＞b五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）1、含有二次根號(hào)“2、性質(zhì)：”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。（1）（2）（3）（）（4）（）3、運(yùn)算結(jié)果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）六種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。（3）運(yùn)算律加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律例.計(jì)算：通過以上計(jì)算，觀察規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示上面規(guī)律的等式___________。解：規(guī)律：第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)一、平移1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體沿某方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。2、要素（或條件）：方向，即前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射線方向；距離，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離3、性質(zhì)：平移前后兩個(gè)圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等。4、平移作圖：線段的平移作法：作法1：將線段兩端點(diǎn)分別平移，然后將兩個(gè)平移后的點(diǎn)連成線段，即為原線段平移后的線段；作法2：將線段一端點(diǎn)平移，然后過平移后的點(diǎn)作原線段的平行線，在該平行線適當(dāng)方向截取長度為指定線段長度，則所得線段為所求.二、旋轉(zhuǎn)1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、要素（或條件）：旋轉(zhuǎn)中心（定點(diǎn)）、旋轉(zhuǎn)方向（順時(shí)針/逆時(shí)針）、旋轉(zhuǎn)角度（0~3600）3、性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。4、旋轉(zhuǎn)作圖：（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關(guān)鍵點(diǎn)）——確定旋轉(zhuǎn)的三要素——找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)——連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)——作答（2）旋轉(zhuǎn)作圖的方法：1、把各關(guān)鍵點(diǎn)依次與旋轉(zhuǎn)中心連接2、按要求向順時(shí)針/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度3、截取對(duì)應(yīng)線段4、連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)5、作答三、簡單的圖案設(shè)計(jì)：第四章四邊形性質(zhì)探索一、四邊形的相關(guān)概念1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能引（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形。多邊形的對(duì)角線共有二、平行四邊形條。1、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處相等）兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah三、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長×高=兩條對(duì)角線乘積的一半四、矩形1、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）矩形的對(duì)邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角相等，都是直角（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長×寬=ab五、正方形（3~10分）1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì)稱軸有四條，是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設(shè)正方形邊長為a，對(duì)角線長為bS正方形=例1.菱形的周長為20cm，相鄰兩內(nèi)角的比為1：2，求菱形的面積解：如圖所示，菱形ABCD，由于周長為20cm，∴AB=5cm過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為E，則∠BAE=30°另一種解法：如圖所示，連結(jié)AC、BD，相交于點(diǎn)O?！唷鰽BC是等邊三角形，∴AC=5點(diǎn)撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注意根據(jù)題中所給的條件靈活選擇。有時(shí)要與一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性質(zhì)聯(lián)系起來。六、梯形（一）1、梯形的相關(guān)概念一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定義法：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ),不同底的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對(duì)角線相等。（4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：①；②③；七、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；八、中心對(duì)稱圖形1、定義在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形