兩個重要極限課件

一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限§1.6兩個重要極限下頁鈴結(jié)束返回首頁一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限二、準(zhǔn)則II及第二個重要極1一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限

如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件

(1)ynxnzn(n=123

)

準(zhǔn)則I（夾逼定理）準(zhǔn)則I

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件(1)g(x)f(x)h(x)

(2)limg(x)Alimh(x)A

那么limf(x)存在且limf(x)A

下頁那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且￥?nlimxn=a

.

那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且￥?nlimxn=a

.

一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限如果數(shù)列{xn2第一個重要極限顯然BC

AB

AD(因此sinx

x

tanx

DB1OCAx

簡要證明參看附圖設(shè)圓心角AOB=x

下頁第一個重要極限顯然BCABAD(3應(yīng)注意的問題這是因為令u=a(x)則u

0于是第一個重要極限下頁應(yīng)注意的問題這是因為令u=a(x)4

例1

解:解:例2

下頁例1解:5

例3

解:解:例4

下頁例3解:6

例5

解:下頁例5解:下頁7

例6

解:首頁例6解:首頁8二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限單調(diào)數(shù)列如果數(shù)列{xn}滿足條件x1x2x3

xnxn+1

就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的如果數(shù)列{x

n}滿足條件x1x2x3

xnxn+1

就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少的單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列

下頁二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限單調(diào)數(shù)列如果9準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

前面曾證明收斂的數(shù)列一定有界但有界的數(shù)列不一定收斂現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明如果數(shù)列不僅有界并且是單調(diào)的那么這個數(shù)列一定是收斂的

說明下頁準(zhǔn)則II前面曾證明收斂的數(shù)列一定有界10可以證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的,根據(jù)準(zhǔn)則II數(shù)列{xn}必有極限,這個極限我們用e來表示,即第二個重要極限e是個無理數(shù)它的值是e=2718281828459045

指數(shù)函數(shù)y=ex及對數(shù)函數(shù)y=lnx中的底就是常數(shù)e

下頁可以證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的,根據(jù)準(zhǔn)則11第二個重要極限應(yīng)注意的問題下頁第二個重要極限應(yīng)注意的問題下頁12

例7

解:原式下頁

例8

解:原式例7解:原式下頁例813經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫14ThankYou在別人的演說中思考，在自己的故事里成長ThinkingInOtherPeople‘SSpeeches，GrowingUpInYourOwnStory講師：XXXXXXXX年XX月XX日ThankYou15一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限§1.6兩個重要極限下頁鈴結(jié)束返回首頁一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限二、準(zhǔn)則II及第二個重要極16一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限

如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件

(1)ynxnzn(n=123

)

準(zhǔn)則I（夾逼定理）準(zhǔn)則I

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件(1)g(x)f(x)h(x)

(2)limg(x)Alimh(x)A

那么limf(x)存在且limf(x)A

下頁那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且￥?nlimxn=a

.

那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且￥?nlimxn=a

.

一、準(zhǔn)則I及第一個重要極限如果數(shù)列{xn17第一個重要極限顯然BC

AB

AD(因此sinx

x

tanx

DB1OCAx

簡要證明參看附圖設(shè)圓心角AOB=x

下頁第一個重要極限顯然BCABAD(18應(yīng)注意的問題這是因為令u=a(x)則u

0于是第一個重要極限下頁應(yīng)注意的問題這是因為令u=a(x)19

例1

解:解:例2

下頁例1解:20

例3

解:解:例4

下頁例3解:21

例5

解:下頁例5解:下頁22

例6

解:首頁例6解:首頁23二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限單調(diào)數(shù)列如果數(shù)列{xn}滿足條件x1x2x3

xnxn+1

就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的如果數(shù)列{x

n}滿足條件x1x2x3

xnxn+1

就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少的單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列

下頁二、準(zhǔn)則II及第二個重要極限單調(diào)數(shù)列如果24準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

前面曾證明收斂的數(shù)列一定有界但有界的數(shù)列不一定收斂現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明如果數(shù)列不僅有界并且是單調(diào)的那么這個數(shù)列一定是收斂的

說明下頁準(zhǔn)則II前面曾證明收斂的數(shù)列一定有界25可以證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的,根據(jù)準(zhǔn)則II數(shù)列{xn}必有極限,這個極限我們用e來表示,即第二個重要極限e是個無理數(shù)它的值是e=2718281828459045

指數(shù)函數(shù)y=ex及對數(shù)函數(shù)y=lnx中的底就是常數(shù)e

下頁可以證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的,根據(jù)準(zhǔn)則26第二個重要極限應(yīng)注意的問題下頁第二個重要極限應(yīng)注意的問題下頁27

例7

解:原式下頁

例8

解:原式例7解:原式下頁例828經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMore