能控性和能觀測性-2講

第四章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性ModernControlTheory1能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!第四章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性本章主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性對偶原理線性系統(tǒng)的能控標準形與能觀標準形線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解傳遞函數(shù)矩陣與能控性、能觀性的關(guān)系2能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!4.3對偶原理一、線性定常系統(tǒng)的對偶關(guān)系設(shè)有兩個系統(tǒng)，一個系統(tǒng)另一個系統(tǒng)若滿足下列條件，則稱與是互為對偶的。

維輸入,維輸出的階系統(tǒng)

維輸入,維輸出的階系統(tǒng)

3能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!4.3對偶原理

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

輸入輸出互換；信號傳遞反向；信號引出與綜合點互換；各矩陣轉(zhuǎn)置。4能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!4.3對偶原理二、對偶原理系統(tǒng)與是互為能觀性,的能觀性等價于的能控性?；蛘叩哪芸匦缘葍r于對偶的兩個系統(tǒng)，則的

是狀態(tài)完全能控的（完全能觀的），說，若

是狀態(tài)完全能觀的（完全能控的）。則5能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

好處對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算、對能控性和能觀性的分析十分方便。能控標準型對于狀態(tài)反饋比較方便能觀標準型對于狀態(tài)觀測器的設(shè)計及系統(tǒng)辯識比較方便由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達也不是唯一的。在實際應用中，常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間表達式化成相應的幾種標準形式（如前述的對角標準型、約當標準型）4.4線性系統(tǒng)的能控標準形

和能觀標準形6能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形實質(zhì)：對系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式進行非奇異線性變換關(guān)鍵：在于尋找相應的變換矩陣。理論依據(jù)：非奇異變換不改變系統(tǒng)的自然模態(tài)及能控、能觀性注意：只有系統(tǒng)完全能控（能觀）才能化成能控（能觀）標準型

7能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!

回顧：第二章講過，根據(jù)傳遞函數(shù)可寫出其狀態(tài)空間表達式：能控標準形8能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形能控標準形非能控標準形9能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形10能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形例4.13試將下列系統(tǒng)變換為能控標準形解：（1）先判別系統(tǒng)的能控性∴系統(tǒng)是能控的

11能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形（3）求得能控標準形：12能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：若系統(tǒng)是完全能觀的，則必存在非奇異線性變換將系統(tǒng)變換為能觀標準形o變換矩陣為：13能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!例4.14解：1）判斷能觀性能觀性矩陣：

試判斷如下系統(tǒng)是否能觀。如果能觀，則變換成能觀標準形。2）求變換矩陣

14能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形本節(jié)小結(jié)1、能控標準型、能觀標準型的基本形式；2、牢固掌握將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程和輸出方程轉(zhuǎn)化為能控標準型、能觀標準型的方法；（重點：變換矩陣）3、注意：只有能控能觀的系統(tǒng)才可以化為能控標準型、能觀標準型（即：在化能控標準型時需先判斷系統(tǒng)是否能控，而在化能觀標準型需先判斷系統(tǒng)是否能觀）。15能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!x--能控能觀--能控不能觀--不能控能觀--不能控不能觀4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解16能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!則其中：--能控狀態(tài)子向量--不能控狀態(tài)子向量rn-rrn-r4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解17能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解關(guān)鍵：非奇異變換陣的構(gòu)造n個列向量的求法如下：1）前

r個列向量是能控性判別矩陣中的r個線性無關(guān)的列；2）另外個列向量

，在確保

為非奇異的條件下任意選擇。18能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解注意！系統(tǒng)按能控性分解后：1）能控性不變；2）傳遞函數(shù)矩陣不變；且能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同（換言之，不完全能控系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)矩陣只描述能控子系統(tǒng)的特性）。19能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!例4.15、試對系統(tǒng)進行能控性分解。4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解解：所以系統(tǒng)不能控。20能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!1維不能控子系統(tǒng)：4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解2維能控子系統(tǒng)：21能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!練習：為了進一步理解在構(gòu)造變換陣列時，第n-r個列向量是任意選取的（只需保證變換陣為非奇異的前提條件下）若對例4.15，選取請自行對系統(tǒng)進行能控性分解。4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解22能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!--能觀子狀態(tài)--不能觀子狀態(tài)4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解-123能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!u＋4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解按能觀性分解的系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖24能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!例4.16、進行能觀性分解。4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解所以不能觀。解：（1）判斷能觀測性25能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!于是，，即經(jīng)過4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解26能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!三、同時按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解能控性分解定理+能觀性分解定理=卡爾曼的典型分解定理，又稱標準分解定理。

假設(shè)系統(tǒng)：不能控也不能觀標準分解的步驟：

．進行能控性分解對能控子系統(tǒng)進行能觀性分解4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解27能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解28能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!能控能觀：能控不能觀：不能控能觀：不能控不能觀：4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解29能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例4.17、試對該系統(tǒng)進行標準分解。30能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!(A，b，c)進行能控性分解(,,)取31能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：顯然32能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!33能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!4.6能控性、能觀性

與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系能控性、能觀性----描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性傳遞函數(shù)------描述系統(tǒng)的外部特性問題：兩者關(guān)系如何？換言之，基于傳遞函數(shù)的能控、能觀性條件是怎樣的？34能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!能觀不能控！傳遞函數(shù)相同的不同狀態(tài)空間模型帶來顯著的能控、能觀性的差異！4.6能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系2）35能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)4.6能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系定理1：單變量系統(tǒng)能控又能觀的充要條件是G(s)中沒有零極點相消現(xiàn)象。

36能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!驗證能控性：設(shè)不能控，則一定存在零極點對消。4.6能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系37能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的那一部分子系統(tǒng)。一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零極點對消現(xiàn)象，則視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控的或是不能觀的或是不能控亦不能觀的。兩個推論

4.6能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系38能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!能觀型：不能控39能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!定理2：對多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣

如果在傳遞矩陣G(s)中沒有零極點相消，則該系統(tǒng)是能控且能觀測的。（注意：僅為充分條件，非必要）4.6能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系40能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!第四章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性本章總結(jié)1、在明確能觀、能控的定義基礎(chǔ)上；掌握各能控型判據(jù)和能觀性判據(jù)。注意條件限制，并根據(jù)題意靈活應用2、輸出能控的含義，掌握輸出能控判據(jù)及應用；3、明確將系統(tǒng)的傳函或狀態(tài)方程和輸出方程轉(zhuǎn)化為能控標準型、能觀標準型的必要性；牢固掌握將系統(tǒng)的傳函或狀態(tài)方程和輸出方程轉(zhuǎn)化為能控標準型、能觀標準型的方法；（注意：只有能控能觀的系統(tǒng)才可以化為能控標準型、能觀標準型）

41能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!4.3對偶原理1、對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。2、互為對偶的系統(tǒng)，其特征值相同。

42能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!例如：能觀標準形---顯然能觀的能控標準形——顯然能控的4.3對偶原理43能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!能觀標準形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的A和C表現(xiàn)為能觀的標準形式。能控標準形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的A和B表現(xiàn)為能控的標準形式。4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形44能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形一、能控標準形

如果一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

能控標準形則，該系統(tǒng)一定完全能控。45能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形若系統(tǒng)是完全能控的，則必定存在非奇異線性變換或使其變換成能控標準形：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：46能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形且線性變換矩陣：其中：證明：(由推得)47能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形48能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形（2）計算非奇異變化矩陣

49能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形二、系統(tǒng)的能觀測標準形

則系統(tǒng)必定完全能觀測。如果一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

能觀標準形50能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!4.4線性系統(tǒng)的能控標準形和能觀標準形能觀標準型非能觀標準型51能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!52能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)中只要有一個狀態(tài)變量不能控，則稱系統(tǒng)不能控；不能控系統(tǒng)一般含有能控和不能控兩種狀態(tài)變量。只要有一個狀態(tài)變量不能觀，則稱系統(tǒng)不能觀；不能觀測系統(tǒng)一般也有能觀和不能觀兩種狀態(tài)變量。把系統(tǒng)能控或能觀部分同不能控或不能觀部分區(qū)分開來，將有利于更深入了解系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。因此，從能控性、能觀性角度出發(fā)：狀態(tài)變量可分成：能控能觀狀態(tài)變量、能控不能觀狀態(tài)變量、不能控能觀狀態(tài)變量、不能控不能觀狀態(tài)變量四類。采用系統(tǒng)坐標變換的方法對狀態(tài)空間進行分解，由相應狀態(tài)變量作坐標軸構(gòu)成的子空間也分成四類，并把系統(tǒng)也相應分成四類子系統(tǒng)，這些統(tǒng)稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。53能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!一、按系統(tǒng)的能控性分解

設(shè)線性定常系統(tǒng)為其能控性判別矩陣，系統(tǒng)不能控。

存在非奇異變換矩陣，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解r個線性無關(guān)列向量任意n-r個列向量54能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!將變換后的動態(tài)方程按前r維和后n-r維展開，則有:4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解其中，r維能控子系統(tǒng):n-r維不能控子系統(tǒng):55能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!u4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解y按能控性分解的系統(tǒng)分解結(jié)構(gòu)圖56能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!由前面知識，已知，分解后的能控子系統(tǒng)：能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解57能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!若選取4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解則通過58能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng):59能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!二、按系統(tǒng)的能觀性分解設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為假設(shè)對系統(tǒng)的能觀性矩陣有（n為狀態(tài)向量維數(shù)），則系統(tǒng)不完全能觀。

4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解那么，必然可引入非奇異線性變換：則60能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!則4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解將變換后的動態(tài)方程按前L維和后n-L維展開，L維能觀子系統(tǒng)：n-L維不能觀子系統(tǒng)：61能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解關(guān)鍵：非奇異變換陣的構(gòu)造n個行向量的求法如下：1）前

L個行向量是能觀性判別矩陣中的L個線性無關(guān)的行向量；2）另外個行向量

，在確保

為非奇異的條件下任意選擇。中L個線性無關(guān)的行向量

任意n-L個行向量62能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!（2）構(gòu)造非奇異變換陣取在保證非奇異的條件下，任取，有：4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解63能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!不能觀子系統(tǒng)：4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能觀子系統(tǒng)：64能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!．不能控子系統(tǒng)，能觀性分解4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解65能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解66能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣僅僅決定于能控能觀子系統(tǒng)。即，傳遞函數(shù)矩陣是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不完全描述。67能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!系統(tǒng)不能控且不能觀。由：解:68能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!取則：69能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁!只需對能控子系統(tǒng)進行能觀性分解：

取70能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁!標準分解:71能控性和能觀測性-2講共79頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第71頁!例：如下所示的兩個狀態(tài)空間模型能控不能觀！4.6能控性、能觀性與傳遞函數(shù)矩陣