一文搞定最值系列之“瓜豆原理”

瓜豆原理原理概述俗語云“種瓜得瓜，種豆得豆”，數(shù)學(xué)上有“種線得線，種圓得圓”：平面內(nèi)，動點(diǎn)）隨著動點(diǎn)P的運(yùn)動而運(yùn)動，我們把點(diǎn)P叫做主動點(diǎn)，點(diǎn)Q叫做從動點(diǎn)；當(dāng)這兩個動點(diǎn)與某個定點(diǎn)連線的夾角一定，且與該定點(diǎn)距離之比一定時（簡記為“定角、定比”），易判斷兩個動點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成的三角形形狀一定，大小可能變，此時兩個動點(diǎn)的軌跡形狀相同瓜豆問題的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)、相似（包含全等）變換，往往與共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）模型相結(jié)合，考查類型有：（1）確定動點(diǎn)軌跡；（2）求運(yùn)動路程；（3）求線段最值、面積最值等.基本模型一、種直線得直線（主動點(diǎn)與從動點(diǎn)的軌跡都是直線或直線上一部分）圖1圖2如圖1，已知l為定直線，O為直線外一定點(diǎn)，P為直線l上一動點(diǎn)，連接OP，若Q為直線OP上一點(diǎn)（一般在線段OP上），且Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離之比為定值k（k>0且k/1），即愣=k，此時我們可認(rèn)為Q、P兩點(diǎn)與定點(diǎn)O連線的夾角一定（夾角為0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的條件，因而Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡也是直線；如圖2,另取一組對應(yīng)的點(diǎn)P’、Q’，則豫=°Q=k，因而△OQ’Qs^OP'P，相似比為k，可知從動OP'OP點(diǎn)Q在平行于l的直線m上運(yùn)動.易判斷點(diǎn)O到直線m和l的距離之比也等于k.2.圖1圖2

如圖1,已知l為定直線，O為直線外一定點(diǎn)，P為直線l上一動點(diǎn)，將射線OP繞著點(diǎn)O按確定的方向（如順時針）旋轉(zhuǎn)一個確定的角度d（0<a<180°），得到射線OM，在射線OM上取一點(diǎn)Q，使算=k（k為大于0的定值），此時符合瓜豆原理“定角、定比”的條件，因而Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡也是直線；如圖2,另取一組對應(yīng)的點(diǎn)P’、Q’，則Q點(diǎn)的運(yùn)動軌跡即為直線QQ'，?「NPOQ=NP'OQ’=a，.?.NPOP'=ZQOQ'，又.「O=妲=k，OPOP'.?.△OPP’s^OQQ’.特別的，當(dāng)k=1時，△OPP'gAOQQ'.k/1時，左。。。'可看做由△OPP’繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放縮（0<k<1時縮小，k>1時放大）而來.直線QQ'可看做由直線l繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)a角而來，0<a<90。時，兩直線的夾角即為2.圖1圖2典型例題1-1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4,0），B為y軸正半軸上一動點(diǎn)，以AB為一邊向下作等邊^(qū)ABC，連接OC，則線段OC的最小值為.B【分析】B為主動點(diǎn)，C為從動點(diǎn)；r方法一：與從動點(diǎn)有關(guān)的線段最值，優(yōu)先轉(zhuǎn)化為與主動點(diǎn)有關(guān)O.4；的線段最值，將線段OA繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線V/段O'A，構(gòu)造全等三角形可實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化；C方法二：兩動點(diǎn)與定點(diǎn)A連線的夾角為定值（60°），到點(diǎn)A的距離之比為定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主動點(diǎn)B的軌跡為射線，則從動點(diǎn)C的軌跡也為射線，確定其軌跡后，依據(jù)“垂線段最短”求OC得最小值.【解答】方法一：如圖1，將線段OA繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段O'A；連接O'B，易證△AO'B^^AOC，則OC=O'B，即求O'B的最小值；由于O'為定點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動，如圖2，由垂線段最短，知O'B±y軸時，O'B最小，連接OO'，貝2圖1圖2△AOO'為等邊三角形，作O'H±OA于H，此時O'B=OH=iOA=2，即OC2圖1圖2方法二：如圖3,當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)時，對應(yīng)的點(diǎn)C位于C1（2,-2*3）

2.兩種方法中，均有兩個等邊三角形構(gòu)成“共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）”模型，會伴隨產(chǎn)生一組全2.兩種方法中，均有兩個等邊三角形構(gòu)成“共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）”模型，會伴隨產(chǎn)生一組全等三角形;方法二中，由于從動點(diǎn)的軌跡為射線，因而先確定其端點(diǎn)，再找一組特殊位置的主動點(diǎn)和從動點(diǎn)（目的是便于計算），即可確定從動點(diǎn)的軌跡；嚴(yán)格來說，y軸的正半軸不包括原點(diǎn)，因此C點(diǎn)的軌跡不包括點(diǎn)C1.運(yùn)用相似比計算該線段長.運(yùn)用相似比計算該線段長.【解答】如圖1，連接BF、BD和DF，由正方形的性質(zhì)知da=df二克，圖1ZBDA=ZFDE=45°，則ZADE=ZBDF，AADAE^ADBF，ABF^;2AE，當(dāng)E點(diǎn)位于A點(diǎn)處時，F(xiàn)點(diǎn)位于B點(diǎn)處，當(dāng)E點(diǎn)位于B點(diǎn)處時，F(xiàn)點(diǎn)的位置如圖2,則F點(diǎn)的運(yùn)動軌跡即為圖2中的線段BF，BF=（2AB=4，

即點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長為4板2.【小結(jié)】1.圖1中，ADAB與^DEF構(gòu)成“共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）”模型，伴隨產(chǎn)生一組相似三角形（△DAE和^DBD）；2.瓜豆題型的突破口在于找到從動點(diǎn)、主動點(diǎn)和某定點(diǎn)之間的“定角、定比”關(guān)系變式訓(xùn)練1-1如圖，AABC為等邊三角形，AB=4，AD為高，E為直線AD上一動點(diǎn)，連接CE并以CE為邊向下作等邊^(qū)CEF，連接DF；則點(diǎn)E在運(yùn)動的過程中，線段DF的最小值為.變式訓(xùn)練1-2（原創(chuàng)）如圖，在△ABC中，匕A=105°，ZABC=30°，AC=r'2，動點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AC邊向終點(diǎn)C作無折返運(yùn)動，以BD為邊向上作^BDE，使ZBDE=ZA，且ZE=45°，則點(diǎn)D運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為；F為直線CE上一動點(diǎn)，連接BF，則線段BF的最小值為.變式訓(xùn)練1-3（多種方法）如圖，已知AB=12，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=4，以AC為一邊向上作等邊△ACD，再以CD為直角邊向右作Rt^DCE，使ZDCE=90°，F(xiàn)為斜邊DE的中點(diǎn)，連接DF，隨著CE邊長的變化，BF長也在改變，則BF長的最小值為.~C二、種曲線得曲線（主動點(diǎn)與從動點(diǎn)的軌跡都是雙曲線或雙曲線一部分）其原理與模型一類似，不再贅述，直接看例題：典型例題2-1如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=4在第一象限上的一動點(diǎn)，連接AO并延長，交雙曲線的另一支于點(diǎn)B,以AB為斜邊作等腰RtAABC,點(diǎn)C落在第二象限內(nèi)，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但始終在同一函數(shù)圖像上，則該函數(shù)解析式為.【分析】A為主動點(diǎn)，C為從動點(diǎn)；方法一：根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)判斷，連接CO過點(diǎn)C向x軸作垂線段，構(gòu)建“三垂直”模型，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，表示出點(diǎn)C坐標(biāo)，觀察其坐標(biāo)符合的函數(shù)解析式；方法二：根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義判斷；TOC\o"1-5"\h\z方法三：動點(diǎn)A、C與定點(diǎn)O符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，因而點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，任意的點(diǎn)C均可看做對應(yīng)的點(diǎn)A繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而來，因而點(diǎn)C的軌跡可看做由原雙曲線第一象限的一支繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到..【解答】方法一：連接OC，作CD±x軸于點(diǎn)D，AE±x軸于點(diǎn)E，「[由雙曲線的對稱性知OA=OB，又?「△ABC為等腰直角三角形，..?心CO±OA，CO=OA，則易證△COD^^OAE，設(shè)A(a,#)，則C(-#,—■'―a)，易判斷點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-4(x<0)上，故答案為：\xy=--4(x<0).x方法二：輔助線同方法一，由反比例函數(shù)k的幾何意義知S^OE=SAC0D=2，易判斷點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-4(x<0)上.x方法三：點(diǎn)C的軌跡可看做由原雙曲線第一象限的一支繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，因而新反比例函數(shù)的k與原函數(shù)k互為相反數(shù)，故點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=-4(x<0)上.x變式訓(xùn)練2-1如圖，Rt^ABO中，且AO：BO=1：.五，變式訓(xùn)練2-1如圖，Rt^ABO中，且AO：BO=1：.五，B(x，y)的坐標(biāo)x，圖1圖2如圖1，已知點(diǎn)P為。M上一動點(diǎn)，O為定點(diǎn)（一般在圓外），Q為直線OP上一點(diǎn)（一般在線段OP上）,若國=k（k>0且k/1）,則主動點(diǎn)P、從動點(diǎn)Q與定點(diǎn)O符合“定角（0°）、OP定比”特征，因而Q點(diǎn)的軌跡也是圓，如何確定該圓的圓心和半徑呢？如圖2,連接MP、MO,作QN〃PM，交MO于點(diǎn)網(wǎng)則^OQNs^OPM，從而有甕=器=M=k，由于M、O為定點(diǎn)，k為定值，「.N為定點(diǎn)，設(shè)。M半徑為R，0N半徑為r，?「NQ=kMP=kR,.??NQ長為定值，由圓的定義知，點(diǎn)Q在以N為圓心，kR長為半徑的圓上運(yùn)動，即Q點(diǎn)的軌跡是以N為圓心，kR長為半徑的圓.如圖1，已知點(diǎn)P為。M上一動點(diǎn)，O為定點(diǎn)（一般在圓外），將射線OP繞著點(diǎn)O按確定的方向（如順時針）旋轉(zhuǎn)一個確定的角度a（0<a<180°），得到射線OT，在射線OT上有一點(diǎn)Q，滿足0Q=k（k為大于0的常數(shù)），則主動點(diǎn)P、從動點(diǎn)Q與定點(diǎn)O符合“定角、定OP

比”的特征，因而Q點(diǎn)的軌跡也是圓，如何確定該圓的圓心和半徑呢？如圖2,連接MP、MO,OM將射線OM繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)a角，得到射線OS，在射線OS上取一點(diǎn)N，使砰=k,則N為PMOP定點(diǎn)，易證△OQNsOPM，則砰O=k，「?QN=kPM=kR，則QN為定值，由圓的定義知，點(diǎn)Q在以N為圓心，kR長為半徑的圓上運(yùn)動，即Q點(diǎn)的軌跡是以N為圓心，kR長為半徑的圓.特別的，當(dāng)k=1時，△OQNSOPM，ON和0M為等圓，0N可看做由。M繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)a角而來；當(dāng)k/1時，ON可看做由OM繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)a角，且半徑放縮k倍（OVkVl時縮小，k>1OMPMOP典型例題3-1如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是以點(diǎn)A為圓TOC\o"1-5"\h\z心4為半徑的圓上一動點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，線段CM長度的/\最大值為.IK1【分析】方法一：關(guān)聯(lián)三角形法，取AB的中點(diǎn)E，連接EC、EM和AD，\\放到△CEM中求解CM的范圍，三點(diǎn)共線時取最大值；方法二：輔助圓法，從動點(diǎn)相關(guān)的線段優(yōu)先轉(zhuǎn)化為主動點(diǎn)相關(guān)的線段，V將線段BC加倍延長，借助中位線構(gòu)造出2CM，即求2CM的最大值；方法三：符合瓜豆原理基本模型，確定從動點(diǎn)M的軌跡圓，進(jìn)而求CM——的最大值.【解答】方法一：如圖1，取AB的中點(diǎn)E，連接EC、EM和AD，?「M為BD的中點(diǎn)，「?EM為△BAD的中位線，..?EM=iAD=2；VZACB=90°，ACE=+AB=5,CMWCE+EM，即CMW7，當(dāng)且僅當(dāng)C、E、M共線時（如圖2），CM取得最大值7.圖1圖2圖1圖2方法二：如圖3，延長BC至點(diǎn)F，使CF=BC，則F為定點(diǎn)，連接DF，則CM^△BDF的中位線，.??FD=2CM，當(dāng)FD最大時，CM最大；如圖4，連接FA并延長，與OA交于點(diǎn)D，此時FD最大，易知AF=AB=1O，則此時FD=14，對應(yīng)CM的最大值即為7.

方法三：主動點(diǎn)D、從動點(diǎn)M與定點(diǎn)B符合“定角（0°）、定比”特征，因而點(diǎn)M的軌跡為圓；如圖5,連接AD，?卻為BD的中點(diǎn)，.?.取AB得中點(diǎn)E,連接EM,可知E為定點(diǎn)且EM二+AD=2，根據(jù)圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡為以E為圓心，2為半徑的圓；如圖6,?「C為。E外一定點(diǎn)，..?連接CE并延長，與。E交于點(diǎn)M，此時CM最大，此時CM=CE+EM=7.圖5圖6圖5圖6【小結(jié)】以上方法中，輔助線均有一舉多得之妙，我們可總結(jié)出一些常見的輔助線作法：①出現(xiàn)直角三角形：常作斜邊的中線；②出現(xiàn)直角三角形：常倍長直角邊，構(gòu)造等腰三角形；③出現(xiàn)線段中點(diǎn)：常取另一線段的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線；④出現(xiàn)線段中點(diǎn)：常倍長另一線段，構(gòu)造中位線.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"典型例題3-2I（改編）如圖，AABC中，AB=3,AC=2，以BC為斜邊作等腰RtABCD（與^ABC分布在直線BC的兩側(cè)），連接AD，則線段AD的最大值為.'【分析】方法一：.「△BCD為等腰直角三角形，...以AB為斜宣7邊向下作等腰直角三角形，與△BCD構(gòu)成“共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）”\/模型，伴隨產(chǎn)生一組相似三角形，用“關(guān)聯(lián)三角形”法求出\/AD的最大值.方法二：不妨固定AB邊，則主動點(diǎn)C在以A為圓心，2為半丫徑的一段圓弧上運(yùn)動，它與從動點(diǎn)D、定點(diǎn)B符合“定角、'定比”特征，借助模型確定D點(diǎn)的軌跡圓弧，求出AD的最大值.【解答】方法一:如圖1，以AB為斜邊向下作等腰Rt^BAE，連接DE，^^BAEs^BCD，從而易證△BACs^BED，.dc=be=士，.?.DE=*=r2，又AE=孝=飛，「?ADWAE+DE，即ADW云，如圖2，當(dāng)且僅當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時，AD取得最大值，最大值為盤.

圖1圖2方法二：如圖3,假定AB邊固定，則主動點(diǎn)C在半圓（不包括端點(diǎn)G、H）上運(yùn)動，從動點(diǎn)D可看作由主動點(diǎn)C繞著點(diǎn)B順時—針旋轉(zhuǎn)45°，且到點(diǎn)B的距離縮至號倍而來，則將主動圓心A按照相同的操作可得到從動圓心F，從動圓的半徑縮小至主r.動圓半徑的號（即構(gòu)造△bdfs^bca，與構(gòu)造“手拉手”模型本質(zhì)相同），D點(diǎn)在如圖所示的半圓（不包括端點(diǎn)I、J）上W」運(yùn)動，A為。F外一定點(diǎn)，...當(dāng)A、F、D共線時，AD最大，最大值為AF+DF=云.圖3【小結(jié)】1.方法一與方法二實(shí)質(zhì)相同，只是方法二多了確定主動點(diǎn)軌跡、從動點(diǎn)軌跡的過程;由圖2可知，當(dāng)AD取得最大值時，匕BAC=ZBDE=90°，ZBAD=ZCAD=45°，因而可以變換多種問法，如當(dāng)AD取得最大值時，求ZBAD.ZBAC的大小，求BC長、BD長等；本題可稍稍加大難度，將“求AD得最大值”改為“求△ABD面積的最大值”（答案為4，4方法見視頻講解）；許多同學(xué)誤將主動點(diǎn)和從動點(diǎn)的軌跡判斷為完整的圓，雖不影響結(jié)論，但不夠嚴(yán)謹(jǐn)共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與瓜豆可謂形影相伴模型，很多題往往用兩種方法均可解答；0，□XB變式訓(xùn)練3-1如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=弁（k>0）的圖象交于A，尤0，□XBB兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（-2,0）為圓心，1為半徑的OC上，連接AP，Q是AP的中點(diǎn)，連接OQ，已知OQ長的最大值為3，則k的值為2'BQ的最大值為.變式訓(xùn)練3-2（原創(chuàng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心在x軸正半軸上的。M交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A（-1,0），交y軸正半軸于點(diǎn)B（0，<3），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著。M順時針向終點(diǎn)C做無折返運(yùn)動，D（-2,0），在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，連接DP，Q為線段DP上一點(diǎn)且始終滿足PQ=2DQ，則在整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為;線段DQ掃過的區(qū)域面積為.

變式訓(xùn)練3-3（原創(chuàng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A（2,0）,B（-1,0）,以O(shè)A為直徑的圓上有兩個動點(diǎn)C、D，連接BC，并以BC為直角邊向逆時針方向作RtABCE,使匕CBE=90°,ZBEC=30。，連接CD、ED和BD，則C、D兩點(diǎn)的位置在變化的過程中，△BCE面積的最大值與最小值之差為;線段DE的最小值為；當(dāng)ZEBD最大時，線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系是.中考真題如圖，點(diǎn)入是雙曲線y=-&在第二象限分支上的一個動點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于尤點(diǎn)B，以AB為底作等腰^ABC，且ZACB=120°，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y二七上運(yùn)動，則k的值為（）尤A.1B.2C.3D.42?如圖，拋物線y=『-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)OQ.則線段OQ的最大值是（）

TOC\o"1-5"\h\zA.3B.C.號D.4如圖，在矩形ABCD中，AB=4,ZDCA=30。，點(diǎn)F是對角線AC上的一個動點(diǎn)，連接DF,以DF為斜邊作ZDFE=30。的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長是.DC如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是（）如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=2\&，如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=2\&，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著半圓從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為如圖，在矩形ABCD中，AB=_.&AD=3,點(diǎn)P是AD邊上的一個動點(diǎn)，連接BP,作點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)A1，連接A1C，設(shè)A1C的中點(diǎn)為Q,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD運(yùn)動到點(diǎn)D時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑長為.APD如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊^(qū)EFG，連接CG，則CG的最小值為.AD如圖，正方形ABCD中，AB=2'%，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得DF，連接AE，CF.(備用圖)求證:AE=CF；若A，E，O三點(diǎn)共線，連接OF，求線段OF的長.(備用圖)求線段OF長的最小值.

參考答案變式訓(xùn)練1-11.變式訓(xùn)練1-2,2廣6；2?2I'6.22變式訓(xùn)練1-36.變式訓(xùn)練2-1y=-:.變式訓(xùn)練3-1I羽，2T45I5.變式訓(xùn)練3-28#9'3I8n.TOC\o"1-5"\h\z9；27變式訓(xùn)練3-34p3；3-73；BEf'3CD.中考真題BC23