2023屆北京市第十四中學(xué)高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆北京市第十四中學(xué)高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，且，則集合可能是A． B．C． D．【答案】A【詳解】由子集的概念易知只有選項(xiàng)A中集合可能為集合的子集．故選A．2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令且即可求解.【詳解】由題意得：得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.3．已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可求出，然后根據(jù)與共線即可得出，然后解出的值即可．【詳解】解：，，且與共線，，解得．故選：．4．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖像平移即得解析式.【詳解】由題意可知，故選：B．5．已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),,則的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用函數(shù)的奇偶性，得到，進(jìn)而得到或，進(jìn)而求解即可【詳解】是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),，令,則有，則當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，當(dāng)或，解得故選：C6．下列區(qū)間中，包含函數(shù)的零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以，使得，即的零點(diǎn)位于；故選：B7．已知三角形，那么“”是“三角形為銳角三角形”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】在不等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得，判斷出角的屬性，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】三角形中，“”，可得為銳角，此時(shí)三角形不一定為銳角三角形.三角形為銳角三角形為銳角.三角形，那么“”是“三角形為銳角三角形”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查必要而不充分條件的判斷，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.8．若函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的周期，再求出的值，根據(jù)周期設(shè)出和的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值．【詳解】解：由圖知，則，設(shè)，則，解得，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式的方法，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，考查了讀圖能力．9．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn).點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn).則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．平面C． D．是銳角【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，，，所以，A正確；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，B正確；，所以，所以，C正確；，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：D10．在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L，記作）和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度（單位mol/L，記作）的乘積等于常數(shù)．已知pH的定義為，健康人體血液的pH保持在7．35～7．45之間，那么健康人體血液中的可以為（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)有，又，所以，所以．又，只有在范圍之中，故選C．點(diǎn)睛：利用之間的關(guān)系把轉(zhuǎn)化為，再利用指對(duì)數(shù)的關(guān)系求出，從而得到的范圍，依次檢驗(yàn)各值是否在這個(gè)范圍中即可．二、填空題11．若的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，則______.【答案】0【分析】利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可得解.【詳解】由可得，令解得或，令解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為和，則.故答案為：012．已知平面和三條不同的直線m，n，l.給出下列六個(gè)論斷：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中兩個(gè)論斷作為條件，使得成立.這兩個(gè)論斷可以是______.（填上你認(rèn)為正確的一組序號(hào)）【答案】①④（或③⑥）【解析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)①④，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，，則，故可填①④對(duì)①⑤，若，，則；對(duì)①⑥，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對(duì)②④，若，，則；對(duì)②⑤，若，，則可能相交，平行或異面；對(duì)②⑥，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對(duì)③④，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對(duì)③⑤，若，，則無法判斷的位置關(guān)系；對(duì)③⑥，由平行的傳遞性可知，若，，則，故可填③⑥故答案為：①④（或③⑥）【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、雙空題13．已知，且.則=_________，=_________.【答案】

【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再利用兩角差的正切公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，所以，所以故答案為：?4．在中，，，則________；________.【答案】

6

【分析】根據(jù)的余弦定理列出關(guān)于的方程，由此求解出的值；先根據(jù)二倍角公式將變形為，然后根據(jù)正弦定理以及的值即可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以（舍去），所以，故答案為：?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題第二空的關(guān)鍵是通過正弦二倍角公式先轉(zhuǎn)化為單倍角的三角函數(shù)，然后結(jié)合正弦定理將正弦值之比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)之比，對(duì)于公式運(yùn)用以及轉(zhuǎn)化計(jì)算有著較高要求.15．已知函數(shù).①若，則函數(shù)的零點(diǎn)有______個(gè)；②若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】

2

【分析】空1：通過分類討論解方程判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；空2：根據(jù)題意可得與有3個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系作出與的圖象，分類討論結(jié)合圖象分析求解.【詳解】空1：若，則函數(shù)，令，則有：當(dāng)時(shí)，，解得或或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；故函數(shù)的零點(diǎn)為，共2個(gè).空2：對(duì)于函數(shù)，則，令，則∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，令，則，由題意可得：與有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，在同一坐標(biāo)系作出與的圖象，則有：當(dāng)時(shí)，存在，使得與有3個(gè)交點(diǎn)，即成立；當(dāng)時(shí)，與至多有2個(gè)交點(diǎn)，即不成立；當(dāng)時(shí)，存在，使得與有3個(gè)交點(diǎn)，即成立；當(dāng)時(shí)，與至多有2個(gè)交點(diǎn)，即不成立；故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：2；.【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)數(shù)形結(jié)合：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．四、解答題16．如圖，在三棱柱中，平面為線段上的一點(diǎn).(1)求證：；(2)若為線段上的中點(diǎn)，求直線與平面所成角大小.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，（2）先求出平面的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋詢蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,設(shè)，所以，所以，所以，所以（2）因?yàn)闉榫€段上的中點(diǎn)，所以，所以，,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)椋?，所以直線與平面所成角的大小為.17．已知函數(shù).(1)求的值；(2)求的最小正周期及對(duì)稱軸方程；(3)求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)1；(2)最小正周期為，對(duì)稱軸方程為；(3)和.【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，從而求得的值；（2）利用正弦函數(shù)的周期性及對(duì)稱性即得；（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得；【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以的最小正周期為，由，可得，所以函?shù)的對(duì)稱軸方程為；（3）由，可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間有和.18．開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)在（2）中，表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫結(jié)果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用古典概型的概率公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意可得的可能取值為，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件得出，再利用方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）依題意支持方案二的學(xué)生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.（2）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，則，，則的可能取值為、、，所以，，

所以的分布列為：

所以.（3）依題意可得，所以，即.19．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)銳角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn).記.(1)求函數(shù)的值域；(2)設(shè)的角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由任意角三角函數(shù)的定義，利用輔助角公式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（2）由題意，求得角的值，利用余弦定理以及基本不等式，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）由題意，得，所以，因?yàn)?，所以，?（2）因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得，即，即，?dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，所以.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，如果曲線恒在軸上方，求的取值范圍.【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，（2）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，（3）由題意得不等式在上恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為最值問題求解，【詳解】（1）時(shí)，，故，故切線方程是：，即；（2），①當(dāng)時(shí)，由于，故，∴，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，得，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由題意知在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，解得：；令，解得：；故在遞增，在遞減，而，∴在上，故，即a的范圍為21．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析【解