2020-2021中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)的綜合題及詳細(xì)答案

2020-2021中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)的綜合題及詳細(xì)答案~、二次函數(shù)1.（10分）（2015>佛山）如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=-x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=*x刻畫.（1）請用配方法求二次函數(shù)圖彖的最高點P的坐標(biāo)；（2）小球的落點是A,求點A的坐標(biāo)；（3）連接拋物線的最高點P與點0、A得厶POA,求厶POA的面積;（4）在0A上方的拋物線上存在一點M(M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積.請直接寫出點M的坐標(biāo).7721315【答案】⑴（2,4）:（2）(2,4);(3)兀；(4)(2,兀).【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點A的坐標(biāo)；（3）作PQ丄x軸于點Q,AB丄x軸于點B.根據(jù)Sapoa=Sapoq+S△様形pqba?Saboa，代入數(shù)值計算即可求解；（4）過P作0A的平行線，交拋物線于點M,連結(jié)OM、AM,由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個三角形面枳相等，可得AMOA的面枳等于APOA的面積.設(shè)直11線PM的解析式為yA-Fb,將P（2,4）代入，求出直線PM的解析式為y=2<+3.再與拋1

y=2x+3?v=一尢2+Ar物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，，解方程組即可求出點M的坐標(biāo).試題解析：（1）由題意得，y—x2+4x=-（x-2）2+4,故二次函數(shù)圖彖的最高點P的坐標(biāo)為（2,4）:71X=2y=7/=o\y=-rW=一xL+4xIv—n4（2）聯(lián)立兩解析式可得：7,解得：或

故可得點A的坐標(biāo)為Z°）；AB丄x軸于點B?SaPOA=S°POQ+Sa彬形PQBA■BOA1177SaPOA=S°POQ+Sa彬形PQBA■BOA1177177694921（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M,連結(jié)OM、AM.則△MOA的面積等于△POA的面積.1設(shè)直線PM的解析式為yA+b,TP的坐標(biāo)為(2,4),14=^x2+b,解得b=3,1???直線PM的解析式為yA+3.1y=5x+1515厶(X=23215由Wi+X,解得3215考點：二次函數(shù)的綜合題將將A(-1,0),B(4,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c中，得:2.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a=0)與x軸交于點A(-1,0)、B(4,0)兩點，與y軸交于點C,且0C=3OA.點P是拋物線上的一個動點，過點P作PE丄x軸于點E,交直線BC于點D,連接PC.求拋物線的解析式；如圖2,當(dāng)動點P只在第一彖限的拋物線上運動時，求過點P作PF丄BC于點F,試問APDF的周長是否有最大值？如果有，請求出其最人值，如果沒有，請說明理由.當(dāng)點P在拋物線上運動時，將ACPD沿直線CP翻折，點D的對應(yīng)點為點Q,試問，四邊形CDPQ四邊形CDPQ是否成為菱形？如果能，請求出此時點P的坐標(biāo)，如果不能，請說明理由.菱形，此時點P的坐標(biāo)為(一，一)或(一，?竿).TOC\o"1-5"\h\z633【解析】試題分析：(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；9(2)設(shè)P(m,-—mJ丁m+3),APFD的周長為L,再利用待定系數(shù)法求直線BC的解43析式為"行x+3,表示PD「沙+初，證明5D…。C,根據(jù)周長比等于對應(yīng)邊的比得:白勺周長"、BOC的周長一方邊的比得:白勺周長"、BOC的周長一方U代入得：L=■■7(m?2)2+—,求L的最人值即口J；〉3(3)如圖3,當(dāng)點Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，根據(jù)翻折的性質(zhì)知：CD=CQ,PQ=PD,ZPCQ二ZPCD,又知Q落在y軸上時，則CQIIPD,由四邊相等：CD=DP=PQ=QC,得四邊形CDPQ是菱形，表示P(n,--112+?n+3),則D(n,-43—n+3),G(0,?一n+3),利用勾股定理表示PD和CD的長并列式可得結(jié)論.4試題解析：(1)由OC=3OA,有C(0,a-b+c=O<16a+4b+c=0,[c=33a=—49TOC\o"1-5"\h\z解得：｛“，c=39故拋物線的解析式為：y=--x2+-x+3；4APFD的周長為APFD的周長為L,(2)如圖2,設(shè)P(m,--m2+-m+3),4???直線BC經(jīng)過B(4,0),C(0,3),設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,4k+b=0b=3k=--解得：\4[b=33???直線BC的解析式為：y=-—x+3,43“則D(m,--in+3),PD=--nr+3m94???PE丄x軸，PEIIOC,???ZBDE=ZBCO,???ZBDE=ZPDF,???ZPDF=ZBCO,???ZPFD=ZBOC=90\???△PFD?△BOC,△PED的周長PD■,…△BOCW周長一方由(1)得：OC=3,OB=4,BC=5,故厶BOC的周長=12,r-—nr+3mTOC\o"1-5"\h\z??厶4,12-59.36即L=-—(m-2)2+——,5???當(dāng)m=2H寸tL誡大二—；(3)存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖3,當(dāng)點Q落在y軸上時，四邊形CDPQ是菱形，理由是：由軸對稱的性質(zhì)知：CD=CQ,POPD,ZPCOZPCD,當(dāng)點Q落在y軸上時，CQIIPD,???ZPCQ=ZCPD,???ZPCD=ZCPD,???CD二PD,???CD=DP=PQ=QC,???四邊形CDPQ是菱形，過D作DG丄y軸于點G,TOC\o"1-5"\h\z933設(shè)P(n,--fl2+-n+3)，則D(n,--n+3),G(0,--77+3),44425在RtACGD中，CD2=CG2+GD2=[(--n+3)-3]2+n2=—n2,16“933而|PD|=|(-—ir+—n+3+n4-3)-(-—n+3)|=|-—/?2+3n|,444??-—n2+3n=—n①,442--n2+3n=--n?,44_7解方程①得：2亍或0（不符合條件，舍去），17解方程②得：2丁或0（不符合條件，舍去），333725綜上所述，存在這樣的Q點，使得四邊形CDPQ是菱形，此時點P的坐標(biāo)為（=,—）點睛:本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)和判定、三角形相似的性質(zhì)和判定，將周長的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，此類問題要熟練掌握利用解析式表示線段的長，并利用相似比或勾股定理列方程解決問題.3.如圖所示，拋物線y=ax77【答案】⑴y=±x2+x-3；（2）12；（3）當(dāng)x=—3時，有最大值冷，點P的坐標(biāo)是P—3,——j.【解析】【分析】⑴設(shè)頂點式并代入已知點4（-6,0）即可：77【答案】⑴y=±x2+x-3；（2）12；（3）當(dāng)x=—3時，有最大值冷，點P的坐標(biāo)是P—3,——j.【解析】【分析】⑴設(shè)頂點式并代入已知點4（-6,0）即可：（2）令y=0,求出A、B和C點坐標(biāo)，運用三角形面積公式計算即可；（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求“WC的面積；（3）能否在拋物線第三彖限的圖象上找到一點P,使的面枳最人？若能，請求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.(3)假設(shè)存在這樣的點，過點P作PE丄X軸于點E，交AC于點F，線段PF的長度即為兩函數(shù)值之差，將△4PC的面枳計算拆分為S&apf+Ss即可?【詳解】設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k,???函數(shù)圖象頂點為M(—2,—4),/.y=a(x+2)2—4,又???函數(shù)圖彖經(jīng)過點4(—6,0),0=d(-6+2)‘一4解得a=—????此函數(shù)的解析式為y=±(x+2)'-4,即y=丄T+x-3；(2)???點C是函數(shù)y=-x2+—3的圖象與y軸的交點,???點C的坐標(biāo)是(0-3),又當(dāng)y=0時,有y=-x2+x-3=0,解得^=-6,x2=2,???點B的坐標(biāo)是(2,0),則^c=-H.|^C|=-x8x3=12；(3)假設(shè)存在這樣的點，過點P作PE丄x軸于點E,交AC于點尸?設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,?.?直線AC過點4(—6,0),C(0,-3),-6k+b=0—3=b

???直線AC的解析式為y=-ix-3,(1A???點尸的坐標(biāo)為尸x,--x-3,1(1\13則阿=一亍一3七疋+/—3卜一玄疋一尸,…?APC=S的扌+S&CPF=^\PF\.\AE\+^-\PF[\OE\11(=-\PF[\OA\=--???當(dāng)x=—3時，有最人值一，4(15、此時點P的坐標(biāo)是P-3,-—?4【點睛】本題第3問中將所求三角形拆分為兩個小三角形進行求解，從而將面積最人的問題轉(zhuǎn)化為PF最大進行理解.4.如圖，直線AB和拋物線的交點是&(0,-3),B(5,9),已知拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2.求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)：在x軸上是否存在一點C,與A,B組成等腰三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)，若不在，請說明理由；在直線的卜?方拋物線上找一點P,連接〃，PB使得NPAB的面積最大，并求出這個最大值.

【答案】（1）y=yX2-yX-3,頂點D（2,-￥）；（2）C（±4価，0）或9775（5±2辰，0）或（?,0）；（3）y【解析】【分析】（1）拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2,則x=—丄=2,拋物線過A（0,-3）,則：函數(shù)2a的表達式為：y=ax2+bx-3,把B點坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，即可求解；（2）分AB=ACyAB=BC、AC=BC,三種情況求解即可;（3）由S^PAB=—?PH*Xb,即可求解.2【詳解】（1）拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2,則x=—f=2①，拋物線過人（0,-3）,貝IJ：函2ci數(shù)的表達式為：y=ax2+bx-3,把B點坐標(biāo)代入上式得：9=25a+5b-3②，聯(lián)立①、②解得：a=—,b=-—9c=-3,/.拋物線的解析式為:y=—%2-—x-3.555當(dāng)C2時，y=-y,即頂點D的坐標(biāo)為（2,-y）:（2）A（0,-3）,8（5,9）,則＞48=13，設(shè)點C坐標(biāo)（m,0）,分三種情況討論：當(dāng)AB=AC時，貝ij：（m）2+（?3）2=132,解得：m=±4應(yīng)，即點C坐標(biāo)為：則：（5-m）2+92=132,解得：m=5土2伍，即：點C則：（5-m）2+92=132,解得：m=5土2伍，即：點C坐標(biāo)為或（5?2血,0）:當(dāng)AB=BC時，（5+2（22?°）③當(dāng)AC=BC時,則點C坐標(biāo)為則：5-m）2+92=伽）③當(dāng)AC=BC時,則點C坐標(biāo)為1097(——，0)?10綜上所述：存在，點C綜上所述：存在，點C的坐標(biāo)為：（±4丁^,0）或（5+2-722?0）或（—,0）；10（3）過點P作y軸的平行線交于點H.設(shè)直線的表達式為y=kx?3,把點B坐標(biāo)代121?入上式，9=5k-3,則k=—,故函數(shù)的表達式為：y=—x-3,設(shè)點P坐標(biāo)為（m,12°48c—1215—m2——m-3）,則點H坐標(biāo)為（m,—m-3）,pab=—?PH^xb=—(m2+12m)=—6m2+30m=-6(w?-—)2+—,當(dāng)m=—時，取得最人值為:222

75T【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題.主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.5.已知，m,門是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個實數(shù)根，fi|m|<|n|,拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）,B（0,n）,如圖所示.（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為拋物線的頂點為D,求出點C,D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；（3）點P是直線BC上的一個動點（點P不與點B和點C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M,點Q在直線BC上，距離點P為血個單位長度，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為r,備用圖【答案】(1)y=〒—2x—3；(2)C(3,0),D(1,-4),ABCD是直角三角形;

i3一―尸+_f(o</V3)(3)S=<22i3-r--r(r<0或/>3)L22【解析】試題分析：(1)先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；先解方程求出拋物線與x軸的交點，再判斷出ABOC和ABED都是等腰直角三角形,從而得到結(jié)論；先求出QF=1,再分兩種情況，當(dāng)點P在點M上方和下方，分別計算即可.試題解析：解(1)???亍十4x+3=0,???山=一1，兀=一3,???m,n是一元二次方程疋十4x+3=0的兩個實數(shù)根，且|m|<|n|,/.m=-1>n—3,???拋物線y=亍-2x—3l-b+c=0的圖象經(jīng)過點A(m,0),B(0,n),l-b+c=0的圖象經(jīng)過點A(m,0),B(0,n),，Uc=_3b=—2???拋物線解析式為y=x2-2x-3:令y=0,則才_2/-3=0，???%=-1,x2=3,/.c(3,0),???)，=疋一2/-3=("-1)2-4,.?.頂點坐標(biāo)D(1,-4),過點D作DE丄y軸，???0B=0C=3,BE=DE=1,△BOC和△BED都是等腰直角三角形,/.ZOBC=ZDBE=45°,???ZCBD=90°,△BCD是直角三角形;如圖，?/B(0,-3),C(3,0),/.直線BC解析式為y=x-3,?.?點P的橫坐標(biāo)為t,PM丄x軸，.?.點M的橫坐標(biāo)為t,???點P在直線BC上，點M在拋物線上，??/(「t?3)，M(t,尸一力_3)，過點Q作QF丄PM,△PQF是等腰直角三角形，??■PQ=72，QF=1.①當(dāng)點P在點M上方時，即0VtV3時，PM=t-3-(r-2t-3)=-t2+引，[|13s=yPMxQF=-(-r2+30=--r2+-r,②如圖3,當(dāng)點p在點m下方時，即tvo或t1113>3時，PM=r-2r-3-(t-3)=r-3r>.?-s=-pmxqf=-(t2-3t)=-r--r?22223——t2+—t(O<tv3)綜上所述，S={22$號(r〈0或f〉3)

6.拋物線y二-亍+bx+c(b,c為常數(shù))與x軸交于點(兀,0)和(召,0),與y軸交于點A,點E為拋物線頂點。當(dāng)=-l,X2=3時，求點A,點E的坐標(biāo)；(H)若頂點E在直線〉'=兀上，當(dāng)點A位置最高時，求拋物線的解析式；(HI)若兀=—1,b>0,當(dāng)P(1,O)滿足PA+PE值最小時，求b的值?！敬鸢浮?I)4(0,3),￡(1,4):(H)y=-x2+x+^(皿)b=3+?.【解析】【分析】(I)將(-1,0),(3,0)代入拋物線的解析式求得b、c的值，確定解析式，從而求出拋物線與y軸交于點A的坐標(biāo)，運用配方求出頂點E的坐標(biāo)即可；<n)先運用配方求出頂點e的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點e在直線y=*上得出吧b與c的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)XI時，點A位置最高，從而確定拋物線的解析式：(01)根據(jù)拋物線經(jīng)過(-1,0)得出c=b+l,再根據(jù)(口)中頂點E的坐標(biāo)得出E點關(guān)于x軸的對稱點E'的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、P兩點坐標(biāo)求出直線AP的解析式，再根據(jù)點在直線AP上，此時PA+PE值最小，從而求出b的值.【詳解】解：(I)把點(?1,0)和(3,0)代入函數(shù)y=-x2+bx+c,f-l-b+c=07有｛-9+3b+c=0°解得"2,c=3???y=-x2+2x+3=-(x-1)，+4???4(0,3)衛(wèi)(1,4)（口）由y=-x2+bx+c=-lb4c+b（口）由y=-x2+bx+c=-lb4c+b2???點e在直線『=兀上,x——2丿b4c+b2?—??*'2C一分+丄“丄(b—廳+丄4244當(dāng)b=1時，點A是最高點此時,y=—x"+x+—4（皿）：拋物線經(jīng)過點（-1,0）,有-[-b+c=0???c=b+l,4(0,c),A(0,b+l)b（z?+2r???E關(guān)于x軸的對稱點F為亍-I，4丿設(shè)過點A,P的直線為y=Z.把A（0上+l）,P（l,0）代入y=kx+tt得y=-（b+l）（x-l）把點e'｛常一氣匚代入y=—@+1）（兀一i）.二4丿得~=一（〃+1）（亍一1，即Z?2—6Z?—8=0解得，b=3±>/17。Z?>0,b=3->/17舍去..?.b=3+?【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次的解析式、最短距離，數(shù)形結(jié)合思想及待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交X軸于點4（—4,0）、5（2,0）,交y軸于點c（0、6）,在y軸上有一點疋（0,-2）,連接ae.求二次函數(shù)的表達式：若點D為拋物線在X軸負(fù)半軸上方的一個動點，求△/!￡)￡面枳的最人值：拋物線對稱軸上是否存在點P,使AAEP為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有P點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.33?【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=--x2--x+6；(2)當(dāng)x=-~時，的面積取得最大值斗；(3)P點的坐標(biāo)為(-1,1),(一1,土JTT),(一1,一2±応).【解析】分析：(1)把已知點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點D坐標(biāo)，過點D作DG丄x軸，交AE于點F,表示△ADE的面積，運用二次函數(shù)分析最值即可；設(shè)出點P坐標(biāo)，分PA=PE,PA=AE,PFME三種情況討論分析即可.詳解：(1)???二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點&(-4,0)、B(2,0),C(0,6),16a-4b+c=0:.<4c+2b+c=0,c=63a=—43解得：p=--,2c=623所以二次函數(shù)的解析式為：y=--X2--X+6;(2)由&(-4,0),E(0,?2),可求AE所在直線解析式為y=--x-2,2過點D作D/V丄x軸，交AE于點F,交x軸于點G,過點E作EH丄DF,垂足為H,如圖，

則點FS,_”2),則點FS,_”2),.???DF二——nr4TOC\o"1-5"\h\z3.???DF二——nr4——in+6-(——m-2)=——tn2-//?+8,2411Siade二Saadf^-S^edf=—xDFxAG+—DFxEH2211=—xDFxAG+—xDFxEH221=—x4xDF2==2x(——rrr一〃7+8)450.??當(dāng)心亍時，"DE的面積取得最大值為亍.3(3)y=--x2--x+6的對稱軸為x=-l,設(shè)PCI,門)，又E(0,-2)24,0),可求PA=j9+f『，PE=Ji+(〃+2)2,AE=g^=2巫,分三種情況討論：當(dāng)網(wǎng)=PE時，如宀Jl+S+2)2，解得：n=l,此時P(-1,1):當(dāng)PA=AE時，丁9+〃2=J16+4=25解得：2±JFT，此時點P坐標(biāo)為(-1，±a/TT);當(dāng)PE=AE時，Jl+S+2)2=貞市=2炳,解得：n=-2±V19,此時點P坐標(biāo)為：(-1，-2±y/19).綜上所述：p點的坐標(biāo)為：(-i,u,(-1,±JFT)>(-1>-2±JT5*).點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的最人值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關(guān)鍵.

&如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點&和點B（3,0）,與y軸交于點C（0,3）,點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為F,連接DB.（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）點M是拋物線上的動點，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m.當(dāng)ZMBA=ZBDF時，求點M的坐標(biāo)；過點M作MNWx軸，與拋物線交于點N,P為x軸上一點，連接PM,PN,將△PA4N沿著A4N翻折，得△QM/V,若四邊形MPNQ恰好為正方形，直接寫出m的值.3Q-3Q-，--）:②m的值為3±疔或1土廬22【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題：（2）①根據(jù)tanZMBA=MG__〃'+2〃/+3.tanZBDE=_^=丄，由ZMBA=ZBDE,BG3-mDE2構(gòu)建方程即可解決問題：②因為點M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，四邊形MPNQ是正方形，推出點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點，即OPT,易證GM=GP,即卜m2+2m+3|=|l-m|,解方程即可解決問題.【詳解】(1)把點B(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,-9+3b+c=0b=2得到｛.，解得｛“c=3c=3???拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,y=-x2+2x-1+1+3=-(x-1)2+4,???頂點D坐標(biāo)(1,4)；(2)①作MG丄x軸于G,連接BM.則ZMGB=90°,設(shè)IVI(m,-m2+2m+3),MG=|-m2+2m+3|,BG=3-m,-nr+2/r?+3當(dāng)點-nr+2/r?+3當(dāng)點M在x軸上方時,-nr+2m+3??tanZMBA二理^BG3-/7???DE丄x軸，D(1,4),??ZDEB=90\DE=4,OE=1,??B(3,0),??BE=2,BE1tanZBDE==—DE2??ZMBA=ZBDE,3_m解得m嗚或3（舍棄）,當(dāng)點M當(dāng)點M在x軸下方時,nr一2/77一33解得吩巧或詳3（舍棄）,,39.??點M（巧，行），綜上所述，滿足條件的點M綜上所述，滿足條件的點M坐標(biāo)FP或；②如圖中,IMNIIx軸,???點M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，???四邊形MPNQ是正方形，???點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點，即OPT,易證GM=GPt即|-m2+2m+3|=|1-m|,當(dāng)-m2+2m+3=l?m時，解得m二§土,2當(dāng)-m2+2m+3=m-1時，解得m」土,2???滿足條件的m的值為三並或±/遼.22【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=|x+2與X軸交于點A,與y軸交于點C,拋經(jīng)過人、c兩點，與x經(jīng)過人、c兩點，與x軸的另一交點為點B.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點，①連接BC、CD、36設(shè)BD交直線AC于點E,ACDE的面積為S-ABCE的面積為S2?求：才■的最人值；?^2②如圖2,是否存在點D,使得乙DCA=2ZBAC?若存在，直接寫出點D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

3s4【答案】(1)y=--x2--x+2；(2)①當(dāng)d=—2時，于的最人值是=；②點D2亠5的坐標(biāo)是(-2,3)【解析】【分析】根據(jù)題意得到A(-4,0),C(0,2)代入y=-|x2+bx+c,于是得到結(jié)論；①如圖，令y=0,解方程得到x1=-4,x2=l,求得B(1,0),過D作DM丄x軸于M,過B作BN丄x軸交于AC于N,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)勾股定理的逆定理得到厶ABC是以ZACB為直角的直角三角形，取AB的中點P,求得P0),得到PA=PC=PB=-,過D作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延線于22G,ZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1)根據(jù)題意得A(-4,0),C(0,2),拋物線尸丄x拋物線尸丄x2+bx+c經(jīng)過A.2C兩點,0=--xl6-4/?+c22=cb=-—???<2,c=23拋物線解析式為：y=--x2--x+2；2①令y=0,.??--x2x+2=022解得：X]=—4,x2=1???B(1,0)過點D作DM丄x軸交AC于過點B作BN丄X軸交AC于點N,

???DMIIBNaQMEs隨NE???DMIIBNaQMEs隨NEDE_DM設(shè)：Da,——ci2——a+2I22/.Ma,—a+225-21Az/mvS]4???當(dāng)c=—2時，孑的最興值是￡；亠5②???A(40),B(1,0),C(0,2),???AC=2疔，BC=75tAB=5,???AC2+BC2=AB2,△ABC是以ZACB為直角的直角三角形，取AB的中點P,.3??P(—,0),25???pa=PC=PB=-,2???ZCPO=2ZBAC,4/.tanZCPO=tan(2ZBAC)=—,3過D作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延長線于G,如圖,???ZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,???ZCDG=ZBAC,1tanZCDG=tanZBAC=—,2令D（a,-—a2a+2）,22TOC\o"1-5"\h\z.3??DR=-a9RC=—a—a,23二（—a2—a）:（-a）=1：2,2ai=O（舍去）,a2=-2,?"-Xq=-2,93??—a—3+2=3,2???點D的坐標(biāo)是（—2,3）【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度較人.10.（12分）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=-lx2+bx+c表示，且拋物線上的點C到617OB的水平距離為3m,到地面OA的距離為一m?2（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離：（2）-輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-|x2+2x+4,拱頂D到地面0A的距離為10m：6（2）兩排燈的水平距離最小是4m.【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)點B和點C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點坐標(biāo)，得出最大值；根據(jù)題意得出車最外側(cè)與地面OA的交點為（2,0）（或（10,0〉）,然后求出當(dāng)"2或x=10時y的值，與6進行比較大小，比6犬就可以通過，比6小就不能通過；將y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進行做差得出最小值.（17、試題解析：（1）由題知點〃（0.4）,C3,—在拋物線上所以c=4—=--x9+3/?+c26b=2所以c=4—=--x9+3/?+c26b=2解得｛”c=4w所以）一存+2卄4b所以,當(dāng)—礦6—。答：y=--xz+2x+4,拱頂D到地面OA的距離為10米6（2）由題知車最外側(cè)與地面OA的交點為（2,0）（或（10,0））22當(dāng)x=2或x=io時，y=—>6,所以可以通過（3）令y=8,即一丄〒+2x+4=8,可得亍—12x+24=0,解得6x1=6+2>/3,x2=6—2\/3為_兀=4-^3答：兩排燈的水平距離最小是4考點：二次函數(shù)的實際應(yīng)用.

11.如圖①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(-l,0)、B(3,0)兩點，且與y軸交于點C求拋物線的表達式；如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(點P在點Q的左側(cè))，連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D,連接DP、DQ.若點P的橫坐標(biāo)為-*,求厶DPQ面枳的最人值，并求此時點D的坐標(biāo)；直尺在平移過程中，△DPQ面枳是否有最人值？若有，求出面積的最人值；若沒有，請說明理由.【答案】(1)拋物線y=-x2+2x+3；(2)①點D(扌,普);②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：(1)根據(jù)點A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；(2)(I)由點P的橫坐標(biāo)可得出點P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，過點D作DEIIy軸交直線PQ于點E,設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點E的坐標(biāo)為(x,-x+?),進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S.dpq=-472x?+6x+—,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題：2(ID假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,則點Q的橫坐標(biāo)為4+t,進而可得出點P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點E的坐標(biāo)為(X,-2(t+l)x+t2+4t+3),進而即可得出DE的長度，利用三角形的面枳公式可得出S,dpq=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.詳解：(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得：TOC\o"1-5"\h\z(a-b+3=0(a=-l[9c/+3b+3=0‘解得：p=2???拋物線的表達式為y=-x2+2x+3.7(2)(I)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為■—時，點Q的橫坐標(biāo)為；2

779???此時點P的坐標(biāo)為（——，-），點Q的坐標(biāo)為（一，——）?424設(shè)直線PQ的表達式為y=mx+n,779將P,—）、Q（—,）代入y=mx+n?得：4247——m+一47解得：—m+n=--124???直線PQ的表達式為y=-x+1.4如圖②，過點D作DEIIy軸交直線PQ于點E,圖②圖②設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,W+2X+3),則點E的坐標(biāo)為(x,?x+?),4TOC\o"1-5"\h\z7???DE=-x2+2x+3-(-X+—)=-x2+3x+—,473???S^dpq二—DE?(xq?xp)=-2x2+6x+—=-2(x-—)2+8?22???-2<0,.?.當(dāng)x=2時，△DPQ的面積取最人值，最人值為8,此時點D的坐標(biāo)為(2,早).224(II)假設(shè)存在，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,則點Q的橫坐標(biāo)為4+t,???點P的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3),點Q的坐標(biāo)為(4+t,?(4+t)2+2(4+t)+3),利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達式為y=2(t+1)x+t2+4t+3.設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點E的坐標(biāo)為(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),DE=-x2+2x+3-[-2(t+1)x+t2+4t+3]=-x2+2(t+2)x-t2-4t,?ISadpq=*DE?(Xq-Xp)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2[x-(t+2)]2+&???-2<0,當(dāng)x=t+2時，△DPQ的面積取最大值,最大值為8.???假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，ADPQ面枳有最人值，面積的最人值為&點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次(一次)函數(shù)解析式、二次(一次)函數(shù)圖彖上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；(2)(I)利用三角形的面積公式找出Sadpq=2x2+6x+-:(II)利用三角形的面積公式找出dpq=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t?212.如圖所示拋物線y=ax2+bx+cii點4(—1,0),點C(0,3),且OB=OC求拋物線的解析式及其對稱軸；點ZXE在直線X=1上的兩個動點，且DE=],點D在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值；(3)點P為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CBP4的面積分為3:5兩部分，求點P的坐標(biāo).y廠Kc/A?I/A*\br/Mo\/【答案】(1)y=-x2+2x+3,對稱軸為直線x=l；(2)四邊形ACDE的周長最小值為顧+JTT+1；(3)片(4,一5),毘(8,—45)【解析】【分析】OB=OC,則點B(3,0),則拋物線的表達式為：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,即可求解;CD+AE=A'D+DC',則當(dāng)A'、D、C'三點共線時，CD+AE=A,D+DC,最小，周長也最小，即可求解；(3)Sapcb：Sapca=-EBx(yc-yP):-AEx(yc-yP)=BE：AE,即可求解.22【詳解】VOB=OC,點B(3,0),則拋物線的表達式為：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,解得：a=-l,故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3...①：對稱軸為：直線x=lACDE的周長=AC+DE+CD+AE,其中AC=JIb\DE=1是常數(shù)，

故CD+AE最小時,周長最小，取點C關(guān)于函數(shù)對稱點C（2,3）,則CD=CZD,取點“（-1,1）,則AJD=AE,故：CD+AE二A0+DU,則當(dāng)從D、U三點共線時，CD+AE二A0+DU最小，周長也最小,圖1四邊形ACDE的周長的最小值二AC+DE+CD+AE二^/lO+1+A/D+DC=^/lO+1+AC二^/10+1+y/13:（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E,圖2直線CP把四邊形CBPA的面枳分為3：5兩部分，又?'pcb：Sapca=—EBx（y（；-yp）：—AEx（yc-yp）=BE：AE,22則BE：AE,=3：5或5：3,rll5「3則AE二一或J221即：點E的坐標(biāo)為（「0）或（0）,22將點E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：尸kx+3,解得：k=6或-2,故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3...②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點P的坐標(biāo)為（4,-5）或（8,-45）.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計算、點的對稱性等，其中（1），通過確定點A，點來求最小值，是本題的難點.13.如圖，已知直線4〃與拋物線C：y=d“+2x+c相交于A（-LO）和點3（2,3）兩點.⑴求拋物線C的函數(shù)表達式：⑵若點M是位于直線ABh方拋物線上的一動點，以MA、M3為相鄰兩邊作平行四邊形MANB當(dāng)平行四邊形的面積最大時，求此時四邊形的面積S及點M的坐標(biāo)；⑶在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線$=2的距離，若存在，求出定點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.127【答案】⑴y=—x?+2x+3；⑵當(dāng)^=—,S□manb212SaABM=,此時M律，孚］；(3)存在.當(dāng)F(l,孚1時’無論X取任何實數(shù)’均有PG=PF?理由見解析.U4)\4)【解析】【分析】利用待定系數(shù)法，將A,B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式：過點M作MH丄x軸于H,交直線AB于K,求出直線AB的解析式，設(shè)點M(a,-a2+2a+3),則K(a,a+1),利用函數(shù)思想求出MK的最人值，再求出△AMB面積的最人值，可推出此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標(biāo)；17如圖2,分別過點B,C作直線尸一的垂線，垂足為N,H,設(shè)拋物線對稱軸上存在417點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線尸一的距離，其中F(1,a),4連接BF,CF,則可根據(jù)BF=BN,CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于a的方程組，解方程組即可.【詳解】由題意把點(-1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c,,(a-2+c=0得'(4g+4+c=3'解得a=-l,c=3,???此拋物線C函數(shù)表達式為：y=-x2+2x+3；如圖1,過點皿作皿日丄x軸于H,交直線AB于K,

將點(-1,0)、(2,3)代入y=kx+b中,-k+b=Q2k+b=3‘解得，k=l,b=l,Yab=x+1,設(shè)點M(a,-a2+2a+3),則K(a,a+1),則MK=-a2+2a+3?(a+1)TOC\o"1-5"\h\z9=-(a--)2+—,4Q根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)滬一時，MK有最人長度一,4?IAMB城人=S°AMK+S°BMK11二—MK?AH+—MK?(Xb-xh)221=—MK>(Xb-xa)29=—x—x3427-—,8.?-以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB,當(dāng)平行四邊形MANB的面積最人時,2727115S蚣大=2S^amb?a=2x—=——,M(—,—):8424(3)存在點F,y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,???對稱軸為直線x=l,當(dāng)y=0時，xi=-l,X2=3,???拋物線與點x軸正半軸交于點C(3,0),

拋物線對稱軸上存在點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y=—的距4離，設(shè)F(1,a),連接BF,CF,則BF=BN=—-3=-,CF=CH=—,44由題意可列:(2-廳+@-3由題意可列:(2-廳+@-3尸解得,a占,4【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了用函數(shù)思想求極值等，解題關(guān)鍵是能夠判斷出當(dāng)平行四邊形MANB的面積最人時，AABM的面積最人，且此時線段MK的長度也最大.114.如圖，拋物線與x軸交于點A(0)、點B(2,0),與y軸交于點C(0,1),連接BC.

求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；點N為拋物線上的一個動點，過點N作NP丄x軸于點P,設(shè)點N的橫坐標(biāo)為t1--<t<2(3)，求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；1--<t<2若彳且心°時△oPN?△COB.求點N的坐標(biāo)?3573579-./TU5y+歹+1s=-—t3)或(1,2).【解析】1y=a(x+-)(%-2)3)或(1,2).【解析】1y=a(x+-)(%-2)試題分析：(1)可設(shè)拋物線的解析式為3,用待定系數(shù)法就可得到結(jié)論；1--<t<2當(dāng)彳時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標(biāo)，只需求出AB,就可得到s與t的函數(shù)關(guān)系式；--<t<0由相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO.而PO」1需分彳和0VtV2兩種情況討論，由PN=2P0得到關(guān)于t的方程，解這個方程，就可得到答案?1y=a(x+-)(%-2)3，把C(0,1)代入可得:31N.?.拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y""2(X+3)(X_2\即5y=-尹+-%+11--<t<2(2)當(dāng)31113573575*—X(2+—)X(—+才+1)一萬*+—+—/.s=2AB>PN=2322=4126.【答案】(1)22:(2)4126：(3)(6,試題解析：(1)設(shè)拋物線的解析式為1l=aX-x(-2)3試題解析：(1)設(shè)拋物線的解析式為1l=aX-x(-2)35--t2+-t+1時,加>0,???NP」y止加二22POPNPOPN(3)J△OPN-△COB,/.0C0B9:.12,??■pn=2PO?135--<t<0,,--t2+-t+1①當(dāng)3時，PN」yM=yN=22,po=w=-￡,9+\/1059-a/105理得：3”-9f-2=0,解得：S=—6—,t2=—6-■-9-、/TCF59-、/TCF59十屮056>0,3<-+t+1-tz+-t+l=2t②當(dāng)0VtV2時，PN=lyA，l=y/v=22,PO=lCl=t,/.22,整理22得：3t2-t-2=0f解得：t3=3tt4=1..3<0,o<l<2,At=l,此時點N的坐標(biāo)為（1,2）.9-、/TU5_9綜上所述：點N的坐標(biāo)為（~~,—-）或"，2）.考點：1.二次函數(shù)綜合題：2.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；3.相似三角形的性質(zhì).15.如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一彖限的點P,連接PB,得厶PCB竺△BOA（0為