第四章-空間問題有限單元法2-有限單元法與程序設計-教學課件

第四章空間問題有限單元法空間問題的有限單元法中的位移仍然只有平動位移，所以仍屬于C0連續(xù)問題，因此構造單元并不難。將平面問題有限元法“稍加變動”并“加以推廣”便可用于空間問題?；咀兞康谒恼驴臻g問題有限單元法空間問題的有限單元法中的位移仍然1第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程二、矩形薄板單元三、三角形薄板單元四、用矩形薄板單元進行薄殼分析五、用三角形薄板單元進行薄殼分析六、用薄板單元進行薄殼分析的步驟第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程二、2第六章桿系結構的有限單元法1、軸向拉壓－桿件、索（二力桿）桿件的受力狀態(tài)：2、純扭3、純彎－梁4、拉壓、彎、剪、扭聯(lián)合作用－偏心受力構件桿系結構類型：1、桁架結構－平面、空間2、剛架結構－平面、空間3、拱－特殊的平面剛架第六章桿系結構的有限單元法1、軸向拉壓－桿件、索（3第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元二、扭轉桿單元三、純彎桿單元四、平面桿系結構五、空間桿系結構第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元二、扭轉桿單元三4第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元圖示等截面直桿，其中f(x)是軸向的分布荷載，P1、P2、P3等是軸向的集中荷載1、計算假定a）應力在截面上均勻分布b）原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直三維問題簡化為一維問題，只有沿x軸方向的位移u第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元圖示等截面直桿，5第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元2、基本方程a）幾何方程b）物理方程c）平衡方程即：d）總勢能C0問題第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元2、基本方程a）6第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析a）建立自然坐標b）試湊法建立形函數(shù)2結點單元：第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析a）7第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析b）試湊法建立形函數(shù)3結點單元：c）位移插值函數(shù)第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析b）8第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）單元平衡方程將位移函數(shù)帶入總勢能方程，并對勢能取駐值得：其中：第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）9第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）單元平衡方程2結點桿單元的單剛：3個以上結點的桿單元，內部自由度可以在單元層次凝聚掉，以提高計算效率第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）10第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉a）幾何方程b）物理方程c）平衡方程d）總勢能C0問題1、基本方程第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉a）幾11第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉參考拉壓桿單元的分析過程，對扭轉桿單元進行分析，并寫出2結點桿單元的剛度矩陣2、單元分析第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉參考拉12第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元圖示等截面梁，其中q(x)是橫向作用的分布荷載，P1…；M1…等是橫向集中荷載和彎矩1、計算假定變形前垂直梁中心線的截面，變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線－克?；舴蚣俣ㄈS問題簡化為一維問題，基本未知量只有中線的撓度w第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元圖示等截面梁，其13第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元2、基本方程a）幾何方程b）物理方程c）平衡方程d）總勢能C1問題第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元2、基本方程a）14第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析2個結點，4個自由度，故在自然坐標下設：a）結點位移b）廣義坐標法建立形函數(shù)則：第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析2個15第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析b）廣義坐標法建立形函數(shù)將結點坐標及位移代入上面三式:形函數(shù)形函數(shù)矩陣第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析b）16第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）單元平衡方程將位移函數(shù)帶入總勢能方程其中：并對勢能取駐值得：第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）17第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）單元平衡方程第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）18第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)1、平面桿系結構的特點1）桿件和荷載都處于同一面內3）桿件之間可以是鉸接也可以是剛接2）有較明確的傳力路徑第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)1、平面桿系結19第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系下的平面桿單元1）結點位移－軸向＋彎曲2）單元剛度方程－軸向＋彎曲第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系20第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系下的平面桿單元第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系21第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元的坐標變換則x軸的方向余弦為：設局部坐標軸和總體坐標軸間的夾角為z軸的方向余弦為：兩種坐標系間，線位移的轉換關系為：轉動位移的轉換關系為：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元22第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元的坐標變換兩種坐標系間，位移的轉換關系為：所以單元坐標轉換矩陣為：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元23第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)4、整體坐標系下的單元平衡方程其中：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)4、整體坐標系24第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法單元在參加系統(tǒng)集成前，在自身局部坐標系內的平衡方程可表示為：其中是單元中需要凝聚掉的自由度，是單元中需要保留，也即將參加總剛集成的自由度。第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點25第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法從方程的第二式可得：代回第一式可得：其中：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點26第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法對于圖中2號桿，凝聚后的單剛：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點27第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法兩端鉸接桿，凝聚后的單剛：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點28第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理b)主從結點法第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點29第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系下的空間桿單元1）結點位移－軸向＋剪切＋彎曲＋扭轉第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系30第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系下的空間桿單元2）結點力－軸向＋剪切＋彎曲＋扭轉第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系31第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系下的空間桿單元3）單元剛度方程軸力單元＋繞y軸彎曲單元＋繞z軸彎曲單元＋繞x軸扭轉單元第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系323）單元剛度方程3）單元剛度方程33第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)2、空間桿單元的坐標轉換第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)2、空間桿單元34作業(yè)：1.參考拉壓桿單元的分析過程，對扭轉桿單元進行分析，并寫出2結點扭轉桿單元的剛度矩陣作業(yè)：1.參考拉壓桿單元的分析過程，對扭轉桿單元進行分析，并35第七章動力問題的有限單元法二、結構的運動方程三、質量矩陣四、阻尼矩陣五、結構的自振特性分析六、結構的動力響應分析一、基本概念第七章動力問題的有限單元法二、結構的運動方程三、質量矩陣36第七章動力問題的有限單元法一、基本概念1、自由振動與受迫振動1）動荷載為零，由初始位移和初始速度引起的結構振動稱作自由振動。2）由動荷載引起的結構振動稱作受迫振動2、動力問題的主要研究內容1）結構的自振特性分析（無阻尼自由振動分析)，尋求結構的固有頻率和主振型2）結構的動力響應分析（受迫振動分析），尋求結構的動內力、動位移的大小及其變化規(guī)律。第七章動力問題的有限單元法一、基本概念1、自由振動與受迫37第七章動力問題的有限單元法一、基本概念3、動力有限元法的基本概念1）結構離散與靜力問題相同，基本未知量仍為獨立的結點位移{△}，但{△}是時間t的函數(shù)，同時是確定結構全部質量位置的參數(shù)，故又稱作動力自由度。2）位移模式單元的動位移采用與靜力有限元相同的位移模式，且假設形函數(shù)與時間無關。單元的慣性力和阻尼力視作單元體積力和附加應力。第七章動力問題的有限單元法一、基本概念3、動力有限元法的38第七章動力問題的有限單元法1、單元分析1）慣性力二、結構的運動方程達朗貝爾原理：慣性力大小與質點的加速度成正比，方向與加速度方向相反。設單元材料密度為ρ，則單元內單位體積的慣性力為：2）阻尼力粘性阻尼：結構周圍粘性介質產(chǎn)生的阻尼材料阻尼：結構材料內部摩擦產(chǎn)生的阻尼第七章動力問題的有限單元法1、單元分析1）慣性力二、結構39第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程2）阻尼力假定粘性阻尼力的大小與質點運動速度成正比，方向與速度方向相反，粘性阻尼系數(shù)為μ1,則單位體積內的粘性阻尼力為：假定材料阻尼力的大小與應變速度成正比，方向與應力方向一致，材料阻尼系數(shù)為μ2,則單位體積內的材料阻尼力為：第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程40第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程3）單元運動方程的建立動力學虛功原理：將帶入上式，考慮虛位移的任意性，并移項后得：第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程41第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程3）單元運動方程的建立即：式中：單元運動方程單元質量矩陣第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程42第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程3）單元運動方程的建立式中：單元阻尼矩陣單元質量矩陣單元剛度矩陣單元等效結點荷載向量第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程43第七章動力問題的有限單元法2、結構的運動方程二、結構的運動方程按照與靜力有限元相同的方法，將所有單元的運動方程進行集成，得結構的總體運動方程：動力方程與靜力方程的區(qū)別：1）動力方程比靜力方程要多建立一個質量矩陣和一個阻尼矩陣。2）靜力方程為線性代數(shù)方程組，動力方程為關于時間的二階常微分方程組。3）靜力問題要尋求線性代數(shù)方程組的有效解法，動力問題要尋求二階常微分方程組的有效解法。第七章動力問題的有限單元法2、結構的運動方程二、結構的運44第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣采用與建立單元剛度矩陣相同的形函數(shù)，故稱作單元一致質量矩陣。由此集成的總體質量矩陣，稱作總體一致質量矩陣。1）平面桿單元第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣采45第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣2）空間桿單元第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣246第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣3）平面常應變單元第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣347第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣將分布質量按某種原則換算成結點集中質量，按單元動力自由度的順序放入相應位置形成的單元質量矩陣，稱作單元集中質量矩陣。當質量均勻分布時，常按照結點所分擔的線段、面積和體積確定該結點集中質量的大小。因為假設集中質量集中成質點，故沒有轉動慣量，與轉動自由度相對應的質量為零。1）平面桿單元第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣將48第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣2）平面常應變單元第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣249第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣1）單元質量矩陣和總體質量矩陣均為對稱矩陣。如果是一致質量矩陣，則是正定的，如果是集中質量矩陣，則至少是半正定的。3、質量矩陣的性質及特點2）單元一致質量矩陣為滿陣，數(shù)值計算費時，總體一致質量矩陣具有總體剛度矩陣同樣的帶寬。集中質量矩陣為對角陣，占用內存較少，計算簡單，節(jié)約機時。3）用一致質量矩陣算得的頻率是結構真實頻率的上限，用集中質量矩陣算得的頻率是結構真實頻率的下限，但兩者相差不大。工程上采用集中質量矩陣計算的情況居多第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣1）單元質量矩陣和50第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質及特點例：分別采用一致質量矩陣和集中質量矩陣有限元法分析等截面懸臂梁的自振頻率。將長度為L的懸臂梁用N個長度相等的單元離散，為分析單元數(shù)量的影響，分別取N=1,2,3,4,5對于一致質量矩陣，每個結點有兩個（動力）自由度，而對于集中質量矩陣一個結點只有一個動力自由度。第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質51第四章--空間問題有限單元法2-有限單元法與程序設計-教學課件52第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質及特點從例題可以看出：1）一致質量矩陣法的上限收斂性和集中質量矩陣法的下限收斂性。2）增加單元的數(shù)量可以很快提高分析精度。3）有限元法分析低階自振頻率的精度高于高階頻率。4）對此問題，雖然同等條件下一致質量矩陣法的精度高于集中質量矩陣，但其計算量是后者的兩倍。第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質53第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在運動方程的推導過程中已得到單元的阻尼矩陣為：式中右側第一項是假定阻尼力正比于質點運動速度的結果，為粘性阻尼，如果單元阻尼系數(shù)μ1,為常數(shù)，則此項比例于單元質量矩陣：第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在54第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在運動方程的推導過程中已得到單元的阻尼矩陣為：式中右側第二項是假定阻尼力正比于應變速度的結果，為材料阻尼，如果單元阻尼系數(shù)μ2為常數(shù)，則此項比例于單元剛度矩陣：所以：第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在55第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣2、總體阻尼矩陣單元阻尼矩陣：由于μ1、μ2難以確定，所以常采用下面的公式確定總體阻尼矩陣：—瑞利阻尼式中：第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣2、總體阻尼矩陣單56第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題無阻尼自由振動方程為：五、結構的自振特性分析是一個常系數(shù)齊次線性常微分方程組，其解的形式為：帶入自由振動方程得：上式是齊次線性方程組，有非零解的條件是：第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題無阻尼自由振動方57第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特性分析如果[K]和[M]的階數(shù)是n，則是的n次方程，稱其為自由振動特征方程，通過它可解出n個特征值，將這些特征值再帶入可解出n個特征向量第i個、合稱第i個特征對，為結構的第i個固有頻率,為結構的第i個振型第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特58第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特性分析將按從小到大的順序排列：其中稱作基本頻率，相應的振型稱作基本振型。對于上式可以采用廣義雅克比法，擬迭代法、子空間迭代法等數(shù)值方法直接求出特征值和相應的特征向量。式在數(shù)學上稱為廣義特征值問題，常記作：第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特59第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析1）當[K]和[M]是實系數(shù)對稱矩陣時，其特征值一定是實數(shù)，且特征向量也是實向量。2）如果[K]為正定矩陣，則特征值一定是正實數(shù)，如果[K]為半正定，則特征值為非負實數(shù)，且特征值為零的個數(shù)等于結構剛體位移自由度的個數(shù)。如果集中質量矩陣為半正定，其對角線上有r個零元素，則n個特征值的最后r個為無窮大。3）振型的規(guī)格化（三種方法）：a）以第一個元素為1規(guī)格化；b）以振型中的最大元素為1規(guī)格化；第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、60第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析3）振型的規(guī)格化（三種方法）：a）以第一個元素為1規(guī)格化；b）以振型中的最大元素為1規(guī)格化；c）以矩陣[M]、[K]進行規(guī)格化，使振型滿足：這時振型向量的各個元素應除以第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、61第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析4）振型的正交性－廣義特征方程的不同特征值所對應的特征向量具有正交性。對于按第三種方法規(guī)格化了的特征向量，其關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性，可表達為：第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、62第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析4）振型的正交性設則特征向量的正交性也可表示為：第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、63第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析1）廣義雅克比法基本思路：根據(jù)特征向量的性質廣義雅克比法就是用變換的方法來構造，具體就是尋求一系列變換矩陣[Pk](k=1,2,…)，逐次左乘和右乘[K]和[M]，使其對角化。找到一個矩陣，使[K]變換成對角矩陣，使[M]變換成單位矩陣，則是唯一的且為所求的特征向量矩陣。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結64第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法a）瑞利商的概念在振動過程中，結構的動能T與應變能不斷相互轉化，有：無阻尼自由振動方程：因為：所以：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結65第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法a）瑞利商的概念利用瑞利商可通過振型求相應的自振頻率對于任意的振型按前式可得：瑞利商第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結66第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法b）逆迭代法的思路重復上面兩步可得：假定向量，則有：利用求得第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結67第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法b）逆迭代法的思路只要不與第一振型正交，就有：再根據(jù)瑞利商，得：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結68第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念在n維空間的n個特征向量中，選取前s（s<n)個向量，這s個特征向量所定義的空間稱為原n維空間的子空間設對前s階振型選取s個假設的規(guī)格化向量令振型為這s個向量的線性組合，即第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結69第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念式中：形狀矩陣廣義坐標向量將帶入瑞利商表達式：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結70第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念式中：廣義剛度矩陣廣義質量矩陣第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結71第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念得到：瑞利商的性質：若對應體系的真實振型，此時，瑞利商取極值，即：或：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結72第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念求解上式得到原問題的前s個特征值的近似解，通過解得的第i個特征向量，可得到原體系第i個振型的近似解：式仍為廣義特征值問題，由于矩陣只有sxs階，求解計算量大為減少。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結73第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念于是得到：原體系前s個振型構成的振型矩陣子空間上的特征向量矩陣式中：該法計算結果的好壞，取決于假設的s個振型的正確程度，經(jīng)驗性強，且無法估計解的精度，所以需改進。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結74第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法2）子空間迭代法的思路將逆迭代法與瑞利－里茲法相結合－子空間迭代法將瑞利－里茲法得到的nxs階近似振型作為新的形狀矩陣，再用瑞利－里茲法求解，求得的比原來的含有較強的低階振型成分，高階振型成分已相對較小，再用此新作為形狀矩陣，重復瑞利－里茲法過程，如此循環(huán)，將收斂于最低階的nxs階振型矩陣。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結75第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析結構的動力響應分析就是求系統(tǒng)運動方程滿足初始條件的解（位移、速度加速度、動內力等）動力響應分析方法1、振型疊加法－振型分解法

基本思想是通過坐標變換，將一個多自由度體系的n個耦合運動方程，分解為n個非耦合運動方程，問題的解為n個非耦合運動方程解的線性組合。需先進行振型分析，只適用于線性問題。第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析結構的動76第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析動力響應分析方法1、振型疊加法－振型分解法2、直接積分法－逐步積分法基本思想：對時間離散，不要求任何時刻都滿足運動方程，只要求在時間離散點上滿足運動方程；假設在時間間隔內位移、速度和加速度的變化規(guī)律及它們之間的關系；于是可由t=0時刻的狀態(tài)向量，計算t=0+時刻的狀態(tài)向量，進而計算t=t+時刻的狀態(tài)向量，直至t=T時刻終止，這樣便可得到動力響應的全過程。根據(jù)對時間間隔內位移、速度和加速度的變化規(guī)律及其間關系假設的不同，得到不同的直接積分法，常用的有：線性加速度法、Wilson-θ法、Newmark法第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析動力響應77第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性加速度法假設在時間間隔內，加速度呈線性變化，即對上式積分得到：對上式積分得到：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性78第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性加速度法當時，有：由上面兩式可求得時刻的速度、加速度、位移與t時刻狀態(tài)向量的關系：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性79第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性加速度法可由時刻的運動方程求得：將時刻的速度、加速度表達式代入上式，得：式中：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性80第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性加速度法若每個步長相等，則為常量，只要分解一次，以后每次計算只需回代。這樣，由已知的t時刻的狀態(tài)向量和時刻荷載向量，便可求得時刻的狀態(tài)向量，重復該過程，便可求得動力響應全過程。線性加速度法是條件穩(wěn)定算法，穩(wěn)定條件為：T1為離散后結構的最小周期，第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析1、線性81第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析2、Wilson-θ法Wilson-θ法假定在某一時間間隔以外，加速度仍可線性外推，然后采用某一大于的時間間隔計算出響應值后，再線性內差得到時間內的實際響應值，當時，該法退化為線性加速度法。時刻的加速度為：對上式分兩次積分，并移項：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析2、Wi82第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析2、Wilson-θ法當時，有：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析2、Wi83第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析由上面兩式可求得時刻的速度、加速度、位移與t時刻狀態(tài)向量的關系：2、Wilson-θ法可由時刻的運動方程求得：其中：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析由上面兩84第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析2、Wilson-θ法當時，該法是無條件穩(wěn)定的，但隨著的增大，計算誤差也增大，故通常取第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析2、Wi85第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析3、Newmark法該法實質上是線性加速度法的推廣，其采用如下假設：其中和是按積分精度和穩(wěn)定性要求而確定的參數(shù)，當時，該法就是線性加速度法。第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析3、Ne86第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析3、Newmark法由第二式得：上式代入第一式得：可由時刻的運動方程求得：第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析3、Ne87第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析3、Newmark法通常取當時，Newmark法無條件穩(wěn)定第七章動力問題的有限單元法六、結構的動力響應分析3、Ne88作業(yè)：1.試寫出平面4結點矩形單元的一致質量矩陣。3.試寫出Wilson-θ法的計算步驟。4.試寫出Newmark法的計算步驟。2.試寫出逆迭代法的計算步驟。作業(yè)：1.試寫出平面4結點矩形單元的一致質量矩陣。3.試寫出89第四章空間問題有限單元法空間問題的有限單元法中的位移仍然只有平動位移，所以仍屬于C0連續(xù)問題，因此構造單元并不難。將平面問題有限元法“稍加變動”并“加以推廣”便可用于空間問題?；咀兞康谒恼驴臻g問題有限單元法空間問題的有限單元法中的位移仍然90第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程二、矩形薄板單元三、三角形薄板單元四、用矩形薄板單元進行薄殼分析五、用三角形薄板單元進行薄殼分析六、用薄板單元進行薄殼分析的步驟第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程二、91第六章桿系結構的有限單元法1、軸向拉壓－桿件、索（二力桿）桿件的受力狀態(tài)：2、純扭3、純彎－梁4、拉壓、彎、剪、扭聯(lián)合作用－偏心受力構件桿系結構類型：1、桁架結構－平面、空間2、剛架結構－平面、空間3、拱－特殊的平面剛架第六章桿系結構的有限單元法1、軸向拉壓－桿件、索（92第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元二、扭轉桿單元三、純彎桿單元四、平面桿系結構五、空間桿系結構第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元二、扭轉桿單元三93第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元圖示等截面直桿，其中f(x)是軸向的分布荷載，P1、P2、P3等是軸向的集中荷載1、計算假定a）應力在截面上均勻分布b）原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直三維問題簡化為一維問題，只有沿x軸方向的位移u第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元圖示等截面直桿，94第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元2、基本方程a）幾何方程b）物理方程c）平衡方程即：d）總勢能C0問題第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元2、基本方程a）95第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析a）建立自然坐標b）試湊法建立形函數(shù)2結點單元：第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析a）96第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析b）試湊法建立形函數(shù)3結點單元：c）位移插值函數(shù)第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析b）97第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）單元平衡方程將位移函數(shù)帶入總勢能方程，并對勢能取駐值得：其中：第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）98第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）單元平衡方程2結點桿單元的單剛：3個以上結點的桿單元，內部自由度可以在單元層次凝聚掉，以提高計算效率第六章桿系結構的有限單元法一、拉壓桿單元3、單元分析d）99第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉a）幾何方程b）物理方程c）平衡方程d）總勢能C0問題1、基本方程第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉a）幾100第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉參考拉壓桿單元的分析過程，對扭轉桿單元進行分析，并寫出2結點桿單元的剛度矩陣2、單元分析第六章桿系結構的有限單元法二、扭轉桿單元－自由扭轉參考拉101第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元圖示等截面梁，其中q(x)是橫向作用的分布荷載，P1…；M1…等是橫向集中荷載和彎矩1、計算假定變形前垂直梁中心線的截面，變形后仍保持為平面，且仍垂直于中心線－克希霍夫假定三維問題簡化為一維問題，基本未知量只有中線的撓度w第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元圖示等截面梁，其102第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元2、基本方程a）幾何方程b）物理方程c）平衡方程d）總勢能C1問題第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元2、基本方程a）103第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析2個結點，4個自由度，故在自然坐標下設：a）結點位移b）廣義坐標法建立形函數(shù)則：第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析2個104第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析b）廣義坐標法建立形函數(shù)將結點坐標及位移代入上面三式:形函數(shù)形函數(shù)矩陣第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析b）105第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）單元平衡方程將位移函數(shù)帶入總勢能方程其中：并對勢能取駐值得：第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）106第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）單元平衡方程第六章桿系結構的有限單元法三、純彎桿單元3、單元分析c）107第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)1、平面桿系結構的特點1）桿件和荷載都處于同一面內3）桿件之間可以是鉸接也可以是剛接2）有較明確的傳力路徑第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)1、平面桿系結108第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系下的平面桿單元1）結點位移－軸向＋彎曲2）單元剛度方程－軸向＋彎曲第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系109第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系下的平面桿單元第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)2、局部坐標系110第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元的坐標變換則x軸的方向余弦為：設局部坐標軸和總體坐標軸間的夾角為z軸的方向余弦為：兩種坐標系間，線位移的轉換關系為：轉動位移的轉換關系為：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元111第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元的坐標變換兩種坐標系間，位移的轉換關系為：所以單元坐標轉換矩陣為：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)3、平面桿單元112第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)4、整體坐標系下的單元平衡方程其中：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)4、整體坐標系113第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法單元在參加系統(tǒng)集成前，在自身局部坐標系內的平衡方程可表示為：其中是單元中需要凝聚掉的自由度，是單元中需要保留，也即將參加總剛集成的自由度。第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點114第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法從方程的第二式可得：代回第一式可得：其中：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點115第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法對于圖中2號桿，凝聚后的單剛：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點116第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理a)凝聚自由度法兩端鉸接桿，凝聚后的單剛：第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點117第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點的處理b)主從結點法第六章桿系結構的有限單元法四、平面桿件系統(tǒng)5、內部鉸結點118第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系下的空間桿單元1）結點位移－軸向＋剪切＋彎曲＋扭轉第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系119第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系下的空間桿單元2）結點力－軸向＋剪切＋彎曲＋扭轉第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系120第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系下的空間桿單元3）單元剛度方程軸力單元＋繞y軸彎曲單元＋繞z軸彎曲單元＋繞x軸扭轉單元第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)1、局部坐標系1213）單元剛度方程3）單元剛度方程122第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)2、空間桿單元的坐標轉換第六章桿系結構的有限單元法五、空間桿件系統(tǒng)2、空間桿單元123作業(yè)：1.參考拉壓桿單元的分析過程，對扭轉桿單元進行分析，并寫出2結點扭轉桿單元的剛度矩陣作業(yè)：1.參考拉壓桿單元的分析過程，對扭轉桿單元進行分析，并124第七章動力問題的有限單元法二、結構的運動方程三、質量矩陣四、阻尼矩陣五、結構的自振特性分析六、結構的動力響應分析一、基本概念第七章動力問題的有限單元法二、結構的運動方程三、質量矩陣125第七章動力問題的有限單元法一、基本概念1、自由振動與受迫振動1）動荷載為零，由初始位移和初始速度引起的結構振動稱作自由振動。2）由動荷載引起的結構振動稱作受迫振動2、動力問題的主要研究內容1）結構的自振特性分析（無阻尼自由振動分析)，尋求結構的固有頻率和主振型2）結構的動力響應分析（受迫振動分析），尋求結構的動內力、動位移的大小及其變化規(guī)律。第七章動力問題的有限單元法一、基本概念1、自由振動與受迫126第七章動力問題的有限單元法一、基本概念3、動力有限元法的基本概念1）結構離散與靜力問題相同，基本未知量仍為獨立的結點位移{△}，但{△}是時間t的函數(shù)，同時是確定結構全部質量位置的參數(shù)，故又稱作動力自由度。2）位移模式單元的動位移采用與靜力有限元相同的位移模式，且假設形函數(shù)與時間無關。單元的慣性力和阻尼力視作單元體積力和附加應力。第七章動力問題的有限單元法一、基本概念3、動力有限元法的127第七章動力問題的有限單元法1、單元分析1）慣性力二、結構的運動方程達朗貝爾原理：慣性力大小與質點的加速度成正比，方向與加速度方向相反。設單元材料密度為ρ，則單元內單位體積的慣性力為：2）阻尼力粘性阻尼：結構周圍粘性介質產(chǎn)生的阻尼材料阻尼：結構材料內部摩擦產(chǎn)生的阻尼第七章動力問題的有限單元法1、單元分析1）慣性力二、結構128第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程2）阻尼力假定粘性阻尼力的大小與質點運動速度成正比，方向與速度方向相反，粘性阻尼系數(shù)為μ1,則單位體積內的粘性阻尼力為：假定材料阻尼力的大小與應變速度成正比，方向與應力方向一致，材料阻尼系數(shù)為μ2,則單位體積內的材料阻尼力為：第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程129第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程3）單元運動方程的建立動力學虛功原理：將帶入上式，考慮虛位移的任意性，并移項后得：第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程130第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程3）單元運動方程的建立即：式中：單元運動方程單元質量矩陣第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程131第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程3）單元運動方程的建立式中：單元阻尼矩陣單元質量矩陣單元剛度矩陣單元等效結點荷載向量第七章動力問題的有限單元法1、單元分析二、結構的運動方程132第七章動力問題的有限單元法2、結構的運動方程二、結構的運動方程按照與靜力有限元相同的方法，將所有單元的運動方程進行集成，得結構的總體運動方程：動力方程與靜力方程的區(qū)別：1）動力方程比靜力方程要多建立一個質量矩陣和一個阻尼矩陣。2）靜力方程為線性代數(shù)方程組，動力方程為關于時間的二階常微分方程組。3）靜力問題要尋求線性代數(shù)方程組的有效解法，動力問題要尋求二階常微分方程組的有效解法。第七章動力問題的有限單元法2、結構的運動方程二、結構的運133第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣采用與建立單元剛度矩陣相同的形函數(shù)，故稱作單元一致質量矩陣。由此集成的總體質量矩陣，稱作總體一致質量矩陣。1）平面桿單元第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣采134第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣2）空間桿單元第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣2135第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣3）平面常應變單元第七章動力問題的有限單元法1、一致質量矩陣三、質量矩陣3136第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣將分布質量按某種原則換算成結點集中質量，按單元動力自由度的順序放入相應位置形成的單元質量矩陣，稱作單元集中質量矩陣。當質量均勻分布時，常按照結點所分擔的線段、面積和體積確定該結點集中質量的大小。因為假設集中質量集中成質點，故沒有轉動慣量，與轉動自由度相對應的質量為零。1）平面桿單元第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣將137第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣2）平面常應變單元第七章動力問題的有限單元法2、集中質量矩陣三、質量矩陣2138第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣1）單元質量矩陣和總體質量矩陣均為對稱矩陣。如果是一致質量矩陣，則是正定的，如果是集中質量矩陣，則至少是半正定的。3、質量矩陣的性質及特點2）單元一致質量矩陣為滿陣，數(shù)值計算費時，總體一致質量矩陣具有總體剛度矩陣同樣的帶寬。集中質量矩陣為對角陣，占用內存較少，計算簡單，節(jié)約機時。3）用一致質量矩陣算得的頻率是結構真實頻率的上限，用集中質量矩陣算得的頻率是結構真實頻率的下限，但兩者相差不大。工程上采用集中質量矩陣計算的情況居多第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣1）單元質量矩陣和139第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質及特點例：分別采用一致質量矩陣和集中質量矩陣有限元法分析等截面懸臂梁的自振頻率。將長度為L的懸臂梁用N個長度相等的單元離散，為分析單元數(shù)量的影響，分別取N=1,2,3,4,5對于一致質量矩陣，每個結點有兩個（動力）自由度，而對于集中質量矩陣一個結點只有一個動力自由度。第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質140第四章--空間問題有限單元法2-有限單元法與程序設計-教學課件141第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質及特點從例題可以看出：1）一致質量矩陣法的上限收斂性和集中質量矩陣法的下限收斂性。2）增加單元的數(shù)量可以很快提高分析精度。3）有限元法分析低階自振頻率的精度高于高階頻率。4）對此問題，雖然同等條件下一致質量矩陣法的精度高于集中質量矩陣，但其計算量是后者的兩倍。第七章動力問題的有限單元法三、質量矩陣3、質量矩陣的性質142第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在運動方程的推導過程中已得到單元的阻尼矩陣為：式中右側第一項是假定阻尼力正比于質點運動速度的結果，為粘性阻尼，如果單元阻尼系數(shù)μ1,為常數(shù)，則此項比例于單元質量矩陣：第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在143第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在運動方程的推導過程中已得到單元的阻尼矩陣為：式中右側第二項是假定阻尼力正比于應變速度的結果，為材料阻尼，如果單元阻尼系數(shù)μ2為常數(shù)，則此項比例于單元剛度矩陣：所以：第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣1、單元阻尼矩陣在144第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣2、總體阻尼矩陣單元阻尼矩陣：由于μ1、μ2難以確定，所以常采用下面的公式確定總體阻尼矩陣：—瑞利阻尼式中：第七章動力問題的有限單元法四、阻尼矩陣2、總體阻尼矩陣單145第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題無阻尼自由振動方程為：五、結構的自振特性分析是一個常系數(shù)齊次線性常微分方程組，其解的形式為：帶入自由振動方程得：上式是齊次線性方程組，有非零解的條件是：第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題無阻尼自由振動方146第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特性分析如果[K]和[M]的階數(shù)是n，則是的n次方程，稱其為自由振動特征方程，通過它可解出n個特征值，將這些特征值再帶入可解出n個特征向量第i個、合稱第i個特征對，為結構的第i個固有頻率,為結構的第i個振型第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特147第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特性分析將按從小到大的順序排列：其中稱作基本頻率，相應的振型稱作基本振型。對于上式可以采用廣義雅克比法，擬迭代法、子空間迭代法等數(shù)值方法直接求出特征值和相應的特征向量。式在數(shù)學上稱為廣義特征值問題，常記作：第七章動力問題的有限單元法1、特征值問題五、結構的自振特148第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析1）當[K]和[M]是實系數(shù)對稱矩陣時，其特征值一定是實數(shù)，且特征向量也是實向量。2）如果[K]為正定矩陣，則特征值一定是正實數(shù)，如果[K]為半正定，則特征值為非負實數(shù)，且特征值為零的個數(shù)等于結構剛體位移自由度的個數(shù)。如果集中質量矩陣為半正定，其對角線上有r個零元素，則n個特征值的最后r個為無窮大。3）振型的規(guī)格化（三種方法）：a）以第一個元素為1規(guī)格化；b）以振型中的最大元素為1規(guī)格化；第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、149第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析3）振型的規(guī)格化（三種方法）：a）以第一個元素為1規(guī)格化；b）以振型中的最大元素為1規(guī)格化；c）以矩陣[M]、[K]進行規(guī)格化，使振型滿足：這時振型向量的各個元素應除以第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、150第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析4）振型的正交性－廣義特征方程的不同特征值所對應的特征向量具有正交性。對于按第三種方法規(guī)格化了的特征向量，其關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性，可表達為：第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、151第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、結構的自振特性分析4）振型的正交性設則特征向量的正交性也可表示為：第七章動力問題的有限單元法2、特征值和特征向量的性質五、152第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析1）廣義雅克比法基本思路：根據(jù)特征向量的性質廣義雅克比法就是用變換的方法來構造，具體就是尋求一系列變換矩陣[Pk](k=1,2,…)，逐次左乘和右乘[K]和[M]，使其對角化。找到一個矩陣，使[K]變換成對角矩陣，使[M]變換成單位矩陣，則是唯一的且為所求的特征向量矩陣。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結153第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法a）瑞利商的概念在振動過程中，結構的動能T與應變能不斷相互轉化，有：無阻尼自由振動方程：因為：所以：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結154第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法a）瑞利商的概念利用瑞利商可通過振型求相應的自振頻率對于任意的振型按前式可得：瑞利商第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結155第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法b）逆迭代法的思路重復上面兩步可得：假定向量，則有：利用求得第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結156第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析2）逆迭代法b）逆迭代法的思路只要不與第一振型正交，就有：再根據(jù)瑞利商，得：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結157第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念在n維空間的n個特征向量中，選取前s（s<n)個向量，這s個特征向量所定義的空間稱為原n維空間的子空間設對前s階振型選取s個假設的規(guī)格化向量令振型為這s個向量的線性組合，即第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結158第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念式中：形狀矩陣廣義坐標向量將帶入瑞利商表達式：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結159第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念式中：廣義剛度矩陣廣義質量矩陣第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結160第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念得到：瑞利商的性質：若對應體系的真實振型，此時，瑞利商取極值，即：或：第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結161第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念求解上式得到原問題的前s個特征值的近似解，通過解得的第i個特征向量，可得到原體系第i個振型的近似解：式仍為廣義特征值問題，由于矩陣只有sxs階，求解計算量大為減少。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結162第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結構的自振特性分析3）子空間迭代法1）瑞利－里茲法概念于是得到：原體系前s個振型構成的振型矩陣子空間上的特征向量矩陣式中：該法計算結果的好壞，取決于假設的s個振型的正確程度，經(jīng)驗性強，且無法估計解的精度，所以需改進。第七章動力問題的有限單元法3、廣義特征值問題的解法五、結163第七章動力問題的