為隨機變量的分布函數

關于為隨機變量的分布函數第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日§2.3連續(xù)型隨機變量

定義設F(x)為隨機變量X的分布函數，若存在非負可積函數f(x)，對任意實數x有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的概率密度函數，簡稱為概率密度或密度函數或密度.二、性質下頁幾何意義：

f(x)下方x軸上方所圍面積為1一、定義第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日(4)在f(x)的連續(xù)點處有(5)連續(xù)型隨機變量取任何實數值

a

的概率等于0.即

P{X=a}=0由性質(5)可得下頁f(x)第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例1.設隨機變量X的密度函數為求(1)常數a;(2)分布函數F(x).

解:(1)由解得A=－1/2.下頁三、分布函數求法從而得第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日求(2)分布函數F(x).當0≤x＜2時，當x≥2時,由定義有下頁當x<0時,

例1.設隨機變量X的密度函數為第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日下頁從而得分布函數為另：第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2.設連續(xù)型隨機變量的分布函數為

求常數A.解：下頁因為F(x)為連續(xù)型隨機變量的分布函數，所以F(x)為連續(xù)函數，由連續(xù)函數的性質可得即A=1.第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日

如果隨機變量X的概率密度為分布函數為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,記為X～U[a,b].得X落在[a,b]內任一小區(qū)間[c,d]內的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的位置無關．四、常見連續(xù)型隨機變量的分布下頁1.均勻分布第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例3.設隨機變量X在[2,8]上服從均勻分布，求二次方程

y2+2Xy+9=0有實根的概率.解：由于X在[2,8]上服從均勻分布，故X的概率密度為從而，P{y2+2Xy+9=0有實根}=P{X≥3}+P{X≤-3}=1-P{X<3}+P{X≤-3}下頁方程有實根等價于4X2-36≥0,即X≥3或X≤-3,第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.指數分布則稱X服從參數為l的指數分布,記作X～E[l].l>0為常數.分布函數為

指數分布常用來作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動物的壽命；電話問題中的通話時間都常假定服從指數分布．若隨機變量X的密度函數為下頁第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例4.

設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(單位:分鐘)服從參數l=1/5的指數分布.等待服務時間若超過10分鐘，顧客就會離去.若該顧客一個月到銀行5次,以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.該顧客未得到服務事件為{X>10}，其概率為所以Y的分布律為下頁解：X的分布函數第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日若X的概率密度為分布函數F(x)x其中m,s(s

>0)為常數，則稱X服從參數為m,s

2的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記作X～N(m

,

s

2).f(x)0x下頁3.正態(tài)分布⑴

正態(tài)分布定義第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日①曲線關于x=m對稱.②當x=m時，函數f(x)達到最大值，最大值為下頁f(x)mm+hm-h⑵

概率密度的特點③拐點(m

±s

，f(m

±s));水平漸近線為ox軸.第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日④固定s

，改變m值，曲線f(x)形狀不變，僅沿x軸平移.可見m確定曲線f(x)的位置.⑤固定m，改變s值，則s愈小時，f(x)圖形的形狀愈陡峭，X

落在m附近的概率越大.m1m2f(x)xf(x)xs=2s=0.5s=1下頁第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日當m=0,s=1時，稱為標準正態(tài)分布.

記作X～N(0,1).下頁⑶

標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的密度函數標準正態(tài)分布的分布函數第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日⑷標準正態(tài)分布的特點下頁第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例5.設X～N(0,1),計算：①P{X≤2.35}；②P{-1.64≤X＜0.82}；③P{|X|≤1.54}.解：①P{X≤2.35}=Φ(2.35)=0.9906.②P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.7434.③P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)–Φ(-1.54)=2Φ(1.54)–1=0.8764.下頁⑸標準正態(tài)分布查表計算查頁表第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日即下頁⑹一般正態(tài)分布查表計算方法：轉換為標準正態(tài)分布情形后，再查表.轉換：于是有顯然，第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日解：①P{X＞-2}=1-

P{X≤-2}=1-F(-2)=1－φ(-1.5)=φ(1.5)=0.9932.=0.9938-0.9332=0.0606.=1–[φ(1.5)-φ(-2.5)]=φ(2.5)-φ(1.5)③P{|X|＞4}=1-P{|X|≤4}=1-

P{-4≤X≤4}②=0.9772－0.6915=0.2857.下頁

例6.

設X~N(1,4)，求：①P{X＞-2}；②P{2＜X＜5}；③P{|X|＞4}.第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例7

（“三σ”原則）設X~N(μ,σ2)，

求P{|X―μ|＜σ}，P{|X―μ|＜2σ}，P{|X―μ|＜3σ}解

P{|X―μ|＜σ}=P{μ―σ＜X＜μ+σ}= = 第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日

例9.公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?解:

設車門高度為h(cm),則碰頭事件可表示為{X≥h}，依題意有

P{X≥h}≤0.01.因為X～N(170,