北師大版《三角形的中位線》優(yōu)質(zhì)課件1

6.3三角形的中位線6.3三角形的中位線1ABCDEF老漢的難題古時候，有位老漢有四個兒子，他有一塊三角形的耕地，想分給四個兒子。他們的兒子說必須分成一模一樣的四部分才公平。這可難壞了老漢，你能幫幫他嗎？ABCDEF老漢的難題古時候，有位老漢有四個兒子，他有一塊三2連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形有三條中位線因?yàn)镈、E分別為AB、AC的中點(diǎn)三角形的中位線和三角形的中線不同同理DF、EF也為△ABC的中位線EDFACB所以DE為△ABC的中位線

注意連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段三角形有三條中位線因?yàn)镈、E分別為A3

怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形?觀察猜想!小組合作怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼4沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).5沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).6

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。7∴四邊形ADEF是平行四邊形．如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使他們的兒子說必須分成一模一樣的四部分才公平。已知:如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM證明：如圖，延長DE到F，⊥AB,BC=2，∴DC=EF=(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.∴DE∥BC且DE=BC議一議:如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn)．如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使延長DE到F，使EF=DE．∵AD＝DB，BE＝EC，如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作兩個等邊△ABM和△CAN．D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E，求證：DE=EF．ABCDEF

已知：如圖所示，DE是△ABC的中位線求證：DE∥BC，且DE=BC。

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=EF∴△ADE≌△CFE證明：如圖，延長DE到F，使EF=DE，連接CF.∴∠A=∠ECF、AD=CF∴CF∥AB又∵BD=AD∴CF=BD∴四邊形DBCF是平行四邊形∴DE∥BC且DE=BC∴DF∥BCDF=BC∴四邊形ADEF是平行四邊形．ABCDEF已知8證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．證法2：∴CFAD．∴CFBD．∴DE∥BC，．證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC9三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．DE△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則DE∥BC，DE=BC．三角形中位線定理：符號語言：三角形的中位線平行于三角形的DE△ABC中，若D、E分別是邊10議一議:如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．四邊形問題連接對角線三角形問題（三角形中位線定理）議一議:如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、11A

B

C

D

E

F

H

G

ABCDEFHG

122.如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，怎樣量出A、B兩點(diǎn)間的距離？根據(jù)是什么？分別畫出AC、BC中點(diǎn)M、N，量出M、N兩點(diǎn)間距離，則AB=2MN.

NM根據(jù)是三角形中位線定理．隨堂練習(xí)2.如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)分別畫出AC13例1．(10分)如圖，已知E為?ABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF，試說明AB＝2OF.例1．(10分)如圖，已知E為?ABCD中DC邊的延長線上的14例2.已知，如圖6-3-10，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∠NPM=120°，求∠MNP的度數(shù).例2.已知，如圖6-3-10，在四邊形ABCD中，AD=BC15例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知:如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求證：AE、DF互相平分．證明 連結(jié)DE、EF．∵

AD＝DB，BE＝EC，∴

DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）．同理EF∥AB．∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴

AE、DF互相平分（平行四邊形的對角線互相平分）．

例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知:16ABCDEF證：∵點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)∴EF∥AB,EF=1/2AB∴∠DAC=∠EFC=90°∵AD=1/2AB，∴AD=EF,∵AF=CF,∴△ADF≌△FEC(SAS)∴DF=EC∵BE=EC,∴DF=BE例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD=1/2AB，點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)，試說DF=BE理由ABCDEF證：∵點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)例4：在17課后作業(yè)課后作業(yè)18第三邊且等于第三邊的一半．∵AD＝DB，BE＝EC，三角形的中位線和三角形的中線不同∵AE=CE、∠AED=∠CEF、如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形?∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長是2,連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,∵AF=CF,連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段求證:EF與MN互相平分.證明：如圖，延長DE到F，又∵BD=AD∴CF=BD∵點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)證明 連結(jié)DE、EF．證明：如圖，延長DE到F，根據(jù)是三角形中位線定理．證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM已知:如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．1.如圖,E是?ABCD的邊DC的延長線上一點(diǎn)，且CE=DC,AE交BC于點(diǎn)F,AC交BD于點(diǎn)O,連接OF求證:AB=20F第三邊且等于第三邊的一半．1.如圖,E是?ABCD的192.如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，M,N分別是BD,AC的中點(diǎn).求證:EF與MN互相平分.2.如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線,E,F203.如圖6-3-20，BM，CN分別平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，過點(diǎn)A分別作BM，CN的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，交CB，BC的延長線于點(diǎn)D，E，連接MN.求證：MN=（AB+BC+AC）.3.如圖6-3-20，BM，CN分別平分△ABC的外角∠214.如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作兩個等邊△ABM和△CAN．D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E，求證：DE=EF．證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM4.如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB22備用習(xí)題備用習(xí)題231.1.242.2.253.3.264.如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使解:(1)∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DEBC,∵CF=BC,所以DEFC,即DE=CF4.如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,27∴四邊形DBCF是平行四邊形∵AF=CF,使EF=DE，連接CF.∵AE=EC，DE=EF，證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM如圖6-3-20，BM，CN分別平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，過點(diǎn)A分別作BM，CN的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，交CB，BC的延長線于點(diǎn)D，E，連接MN.所以DEFC,即DE=CF已知，如圖6-3-10，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∠NPM=120°，求∠MNP的度數(shù).例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD=1/2AB，點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)，試說DF=BE理由證明：如圖，延長DE到F，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∴AD=BD=l,CD.∴△ADE≌△CFE∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長是2,∴DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）．(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．∴四邊形BCFD是平行四邊形．如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).(2)∵DEFC,∴四邊形DEFC是平行四形,∴DC=EF.∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長是2,∴AD=BD=l,CD.⊥AB,BC=2，∴DC=EF=4.如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使∴四邊形DBCF是平行四邊形(2)∵DEFC,4.285.如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,延長BN交AC于點(diǎn)D,已知AB=10,AC=16.(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.;5.如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,295.如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,延長BN交AC于點(diǎn)D,已知AB=10,AC=16.(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.;5.如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC306.6.317.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,F為AC邊上一點(diǎn),AF=AC,BF交AD于點(diǎn)E,且E為AD的中點(diǎn),EF=5cm,求BF的長.7.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,F為AC邊上一32求證：AE、DF互相平分．如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,延長BN交AC于點(diǎn)D,已知AB=10,AC=16.他們的兒子說必須分成一模一樣的四部分才公平。連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段使EF=DE，連接CF.所以DE為△ABC的中位線∴四邊形ADCF是平行四邊形．如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，M,N分別是BD,AC的中點(diǎn).∴四邊形DBCF是平行四邊形三角形的中位線和三角形的中線不同例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,∴∠A=∠ECF、AD=CF證明：如圖，延長DE到F，例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．所以DEFC,即DE=CF怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形?(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作兩個等邊△ABM和△CAN．D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E，求證：DE=EF．求證：AE、DF互相平分．336.3三角形的中位線6.3三角形的中位線34ABCDEF老漢的難題古時候，有位老漢有四個兒子，他有一塊三角形的耕地，想分給四個兒子。他們的兒子說必須分成一模一樣的四部分才公平。這可難壞了老漢，你能幫幫他嗎？ABCDEF老漢的難題古時候，有位老漢有四個兒子，他有一塊三35連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線三角形有三條中位線因?yàn)镈、E分別為AB、AC的中點(diǎn)三角形的中位線和三角形的中線不同同理DF、EF也為△ABC的中位線EDFACB所以DE為△ABC的中位線

注意連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段三角形有三條中位線因?yàn)镈、E分別為A36

怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形?觀察猜想!小組合作怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼37沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).38沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).沿中位線剪開,再旋轉(zhuǎn).39

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。40∴四邊形ADEF是平行四邊形．如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使他們的兒子說必須分成一模一樣的四部分才公平。已知:如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM證明：如圖，延長DE到F，⊥AB,BC=2，∴DC=EF=(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.∴DE∥BC且DE=BC議一議:如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn)．如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使延長DE到F，使EF=DE．∵AD＝DB，BE＝EC，如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作兩個等邊△ABM和△CAN．D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E，求證：DE=EF．ABCDEF

已知：如圖所示，DE是△ABC的中位線求證：DE∥BC，且DE=BC。

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=EF∴△ADE≌△CFE證明：如圖，延長DE到F，使EF=DE，連接CF.∴∠A=∠ECF、AD=CF∴CF∥AB又∵BD=AD∴CF=BD∴四邊形DBCF是平行四邊形∴DE∥BC且DE=BC∴DF∥BCDF=BC∴四邊形ADEF是平行四邊形．ABCDEF已知41證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．證法2：∴CFAD．∴CFBD．∴DE∥BC，．證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC42三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．DE△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則DE∥BC，DE=BC．三角形中位線定理：符號語言：三角形的中位線平行于三角形的DE△ABC中，若D、E分別是邊43議一議:如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．四邊形問題連接對角線三角形問題（三角形中位線定理）議一議:如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、44A

B

C

D

E

F

H

G

ABCDEFHG

452.如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，怎樣量出A、B兩點(diǎn)間的距離？根據(jù)是什么？分別畫出AC、BC中點(diǎn)M、N，量出M、N兩點(diǎn)間距離，則AB=2MN.

NM根據(jù)是三角形中位線定理．隨堂練習(xí)2.如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)分別畫出AC46例1．(10分)如圖，已知E為?ABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF，試說明AB＝2OF.例1．(10分)如圖，已知E為?ABCD中DC邊的延長線上的47例2.已知，如圖6-3-10，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∠NPM=120°，求∠MNP的度數(shù).例2.已知，如圖6-3-10，在四邊形ABCD中，AD=BC48例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知:如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求證：AE、DF互相平分．證明 連結(jié)DE、EF．∵

AD＝DB，BE＝EC，∴

DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）．同理EF∥AB．∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴

AE、DF互相平分（平行四邊形的對角線互相平分）．

例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知:49ABCDEF證：∵點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)∴EF∥AB,EF=1/2AB∴∠DAC=∠EFC=90°∵AD=1/2AB，∴AD=EF,∵AF=CF,∴△ADF≌△FEC(SAS)∴DF=EC∵BE=EC,∴DF=BE例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD=1/2AB，點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)，試說DF=BE理由ABCDEF證：∵點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)例4：在50課后作業(yè)課后作業(yè)51第三邊且等于第三邊的一半．∵AD＝DB，BE＝EC，三角形的中位線和三角形的中線不同∵AE=CE、∠AED=∠CEF、如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形?∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長是2,連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段如圖,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,∵AF=CF,連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段求證:EF與MN互相平分.證明：如圖，延長DE到F，又∵BD=AD∴CF=BD∵點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)證明 連結(jié)DE、EF．證明：如圖，延長DE到F，根據(jù)是三角形中位線定理．證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM已知:如圖所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．1.如圖,E是?ABCD的邊DC的延長線上一點(diǎn)，且CE=DC,AE交BC于點(diǎn)F,AC交BD于點(diǎn)O,連接OF求證:AB=20F第三邊且等于第三邊的一半．1.如圖,E是?ABCD的522.如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，M,N分別是BD,AC的中點(diǎn).求證:EF與MN互相平分.2.如圖，AC,BD是四邊形ABCD的對角線,E,F533.如圖6-3-20，BM，CN分別平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，過點(diǎn)A分別作BM，CN的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，交CB，BC的延長線于點(diǎn)D，E，連接MN.求證：MN=（AB+BC+AC）.3.如圖6-3-20，BM，CN分別平分△ABC的外角∠544.如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作兩個等邊△ABM和△CAN．D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)E，求證：DE=EF．證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM4.如圖6-3-21，已知△ABC是銳角三角形，分別以AB55備用習(xí)題備用習(xí)題561.1.572.2.583.3.594.如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使解:(1)∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DEBC,∵CF=BC,所以DEFC,即DE=CF4.如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,60∴四邊形DBCF是平行四邊形∵AF=CF,使EF=DE，連接CF.∵AE=EC，DE=EF，證明：如圖轉(zhuǎn)接BN,CM如圖6-3-20，BM，CN分別平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，過點(diǎn)A分別作BM，CN的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，交CB，BC的延長線于點(diǎn)D，E，連接MN.所以DEFC,即DE=CF已知，如圖6-3-10，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，∠NPM=120°，求∠MNP的度數(shù).例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD=1/2AB，點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)，試說DF=BE理由證明：如圖，延長DE到F，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∴AD=BD=l,CD.∴△ADE≌△CFE∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長是2,∴DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）．(1)求證:BN=DN(2)求MN的長.例3 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．∴四邊形BCFD是平行四邊形．如圖,等邊△ABC的邊長是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使沿中