概率論第一章4課件

13-12月-22§1.4條件概率對隨機現(xiàn)象的研究中，常遇到另一類概率計算問題.例兩個足球隊比賽的勝負預測.

B={中國隊上半場負}，A={中國隊最終獲勝}(1)考慮事件A

發(fā)生的可能性大?。恳?、條件概率(2)事件B已發(fā)生,問事件A發(fā)生的可能性大??？12-12月-22§1.4條件概率對隨機現(xiàn)象的研究13-12月-22例如：產(chǎn)品抽檢試驗將已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生可能性的客觀度量稱為條件概率，記為P(A|B).

定義

設(shè)A，B是隨機試驗E的兩個隨機事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的條件概率.12-12月-22例如：產(chǎn)品抽檢試驗將已知事件B發(fā)生13-12月-22由P17的性質(zhì)1.3.1可知條件概率滿足概率定義的三個公理，故而概率的性質(zhì)同樣適用于條件概率.問題

(1)判斷所求概率是否是條件概率？(2)判斷題目中概率數(shù)據(jù)是否是條件概率？解決問題的關(guān)鍵詞：情況、已知、現(xiàn)實例如：擲硬幣試驗射擊試驗12-12月-22由P17的性質(zhì)1.3.1可知條件概率13-12月-22

定理

設(shè)P(B)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)

更一般地有，若P(A1

A2…An-1

)>0，則

若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B|A).條件概率定義的改寫二、乘法公式P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)P(A1A2…An-1An)=12-12月-22定理設(shè)P(B)>013-12月-22注乘法公式是概率計算中的重要公式.例如：事件的概率計算可能很復雜，有時可以采用借助于一組事件組的方法.例如：激烈空戰(zhàn)摸球試驗抽簽的公平性三、全概率公式務(wù)必分清題目中所給數(shù)據(jù)是否為條件概率.12-12月-22注乘法公式是概率計算中的重要公式.例如：13-12月-22

注概率分解是一種重要的隨機分析思想，應(yīng)充分理解.

定義設(shè)Ω為隨機試驗E的樣本空間,B1,B2,…，Bn為E的一組事件，若

(1)Bi∩Bj=φ，i≠j；

稱B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分(或稱完備事件組).

(2)B1∪B2∪

…∪Bn=W12-12月-22注概率分解是一種重要的隨機分13-12月-22樣本空間Ω的劃分12-12月-22樣本空間Ω的劃分13-12月-22

定理（全概率公式）設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Ω,A

W,B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則有∪證明B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分因W=B1∪B2∪…∪

Bn故A=A∩W=A(B1∪B2∪…∪

Bn)吸收律12-12月-22定理（全概率公式）設(shè)隨機試驗E13-12月-22分配律又因為(ABi)∩

(ABj)=A∩(BiBj)=Af=f,i≠j由概率的有限可加性因為P(Bi)>0,i=1,2,…,n，利用乘法公式得12-12月-22分配律又因為(ABi)∩(13-12月-22概率分解12-12月-22概率分解13-12月-22注:該公式常用在預測推斷中,稱為事前概率.例如：抽檢試驗抽簽公平性

練習袋中有50個球，20個黃色的，30個白色的兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二人取到黃球的概率是槍支校驗12-12月-22注:該公式常用在預測推斷中,稱為事前13-12月-22

2）在抽檢試驗中,如果已抽到一件次品，需追究有關(guān)車間的責任,你如何考慮？思考

1）槍支校驗問題中，射手已經(jīng)中靶，他是用已校正的槍的可能性有多大？

對問題2）應(yīng)計算以下概率：

P(Ai︱B)=?i=1,2,3,4.并比較其大小.12-12月-222）在抽檢試驗中,如果已抽到一13-12月-22這類概率稱為事后概率.追究責任問題一類應(yīng)用問題：把事件A看成“結(jié)果”，把事件B1，B2，…，Bn看成導致該結(jié)果的可能“原因”，在已知A發(fā)生的條件下，去找出最有可能導致它發(fā)生的“原因”.辦公系統(tǒng)信息傳輸問題例如這類問題稱為貝葉斯問題.12-12月-22這類概率稱為事后概率.追究責任問題一13-12月-22

定理（貝葉斯公式）

設(shè)隨機試驗E的樣本空間為W，A

W,B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則有∪四、貝葉斯公式證明

12-12月-22定理（貝葉斯公式）設(shè)隨機試13-12月-22貝葉斯公式用來計算事后概率.例如：病情診斷試驗見P23，例1.3.12和例1.3.13槍支校驗乘法公式全概率公式12-12月-22貝葉斯公式用來計算事后概率.例如：病情診13-12月-22

例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現(xiàn)從中任取一件，試求1）抽得廢品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2.?12-12月-22例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，13-12月-22解令A={抽得廢品}，B={抽得不合格品}.有?B成為現(xiàn)實12-12月-22解令A={抽得廢品}，B={抽得不合格13-12月-22有#注意到12-12月-22有#注意到13-12月-22

例2擲一枚硬幣直到出現(xiàn)三次正面才停止，問正好在第六次停止的情況下，第五次也是正面的概率？(求什么概率?)解令Ak=｛第k次出現(xiàn)正面｝，k=1,2,…則P(B)=/26

C52123456正B=｛第六次停止投擲｝12-12月-22例2擲一枚硬幣直到出現(xiàn)三次13-12月-22P=P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)#12-12月-22P=P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)13-12月-22

例3甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，求它被甲射中的概率.

解設(shè)A={目標被甲擊中}，B={目標被乙擊中}，

C={目標被擊中}.所求概率為12-12月-22例3甲乙兩人獨立地對同一目標射13-12月-22#12-12月-22#13-12月-22

例4（抽簽的公平性）袋中有10個球,9個白色的,1個紅色的,10個人依次不放回的各取一球，問第一個人，第二個人，最后一人取到紅球的概率各為多少？

解設(shè)Ai=｛第i

人取到紅球｝，

i=1，2，…，10.12-12月-22例4（抽簽的公平性）解13-12月-22第一次第二次12-12月-22第一次第二次13-12月-22有

P(A1)=P(A2)=…=P(A10).#12-12月-22有P(A1)=P(A2)=13-12月-22

例5

兩架飛機進行空戰(zhàn),甲機首先開火,擊落乙機的概率為0.2；若乙機未被擊落，進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機又未被擊落，它再次向乙機開火，并擊落它的概率為0.4.試求這幾個回合中條件概率條件概率1）甲機被擊落的概率p1；2）乙機被擊落的概率p2.12-12月-22例5兩架飛機進行空戰(zhàn),甲機13-12月-22解設(shè)A={甲機首次攻擊時擊落乙機}甲機乙機1(0.2)2(0.4)分析B={乙機擊落甲機}C={甲機第二次攻擊時擊落乙機}有

P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(==BACPABP1）甲機被擊落的概率12-12月-22解設(shè)A={甲機首次攻擊時擊落乙機}13-12月-2224.03.08.0)|()()(1=×===ABPAPBAPp2）乙機被擊落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0×--+=)|()]|(1)][(1[)(--+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+==CBAPAPCBAAPpU#12-12月-2224.03.08.0)|()()(1=×=13-12月-22

例6

甲盒中有5個紅球，6個白球；乙盒中有3個紅球，4個白球.現(xiàn)拋一枚均勻硬幣，若出現(xiàn)正面，則從甲盒中任取一球，反之從乙盒中任取一球.試求取出白球的概率p.1231098765411123765412-12月-22例6甲盒中有5個紅球，6個白13-12月-22

解設(shè)A={取出白球}，B={甲盒中任取一球}.

A={從甲盒中取出一白球}∪{從乙盒中取出一白球}.

于是有限可加從而12-12月-22解設(shè)A={取出白球}，13-12月-22BBA乘法公式#概率分解:借助事件組分解樣本空間Ω,進一步計算概率.12-12月-22BBA乘法公式#概率分解:13-12月-22

例7

某工廠有4個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02.現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？解設(shè)B=｛恰好取到次品｝,Ai={恰好取到第i個車間的產(chǎn)品}，i=1,2,3,412-12月-22例7某工廠有4個車間生產(chǎn)同13-12月-22P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,P(A1)=0.35,題目中的條件概率如下構(gòu)成一個樣本空間的劃分,且

P(B︱A1)=0.05,P(B︱A2)=0.04,P(B︱A3)=0.03,P(B︱A4)=0.02,由全概率公式可得0315.0)|()()(41==∑=iiiABPAPBP#12-12月-22P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,13-12月-22

例8

設(shè)袋中有n個紅球,m個白球.三人依次不放回地各取出一個球.求他們?nèi)〉眉t球的概率各為多少？解：設(shè)Ai={第i個人取到紅球}，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+×++-+-×+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(121121212-12月-22例8設(shè)袋中有n個紅球,m個白球13-12月-22劃分，由全概率公式可得構(gòu)成一個有限事件組AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213AAAPAAPAAAPAAP++)|()()|()(

2132121321AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP++)|()|()()|()|()(

21312121312112-12月-22劃分，由全概率公式可得構(gòu)成一個有限事件組A13-12月-22---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+++-+-++=21)1)((22211×

××nmnnmnnmmnmm+=-+-+-++211

××#12-12月-22---nmnnmnmmnnmnnmnnmn13-12月-22例9

設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)校正，5支經(jīng)過校正.某射手用校正過的槍射擊時，中靶概率為0.8；用未經(jīng)校正的槍射擊時，中靶概率為0.3.現(xiàn)求他隨意取一支進行射擊能中靶的概率.解設(shè)

A={他射擊中靶}

B={所取槍支是校正過的}事件B和B的對立事件構(gòu)成樣本空間的劃分，由全概率公式12-12月-22例9設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)校13-12月-22#續(xù)例9射手隨意取一支進行射擊，已經(jīng)中靶，求所用槍支是校驗過的概率.解所求概率為12-12月-22#續(xù)例9射手隨意取一支進行射擊13-12月-22

例10

某工廠有4個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02。現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，發(fā)覺該產(chǎn)品是次品而且其標志已脫落，廠方應(yīng)如何處理此事較為合理？分析關(guān)注次品來自哪個車間？可能性最大？12-12月-22例10某工廠有4個車間生產(chǎn)同一13-12月-22事件B已成為現(xiàn)實，需考慮是哪一個“原因”所致的可能性大小，即求條件概率P(AiB).構(gòu)成一個樣本空間的劃分.

第1車間

第2車間

第3車間

第4車間設(shè)B=｛恰好取到次品｝，Ai={恰好取到第i個車間的產(chǎn)品}，i=1,2,3,412-12月-22事件B已成為現(xiàn)實，需考慮是哪一個“原因”13-12月-22#同理解

12-12月-22#同理解13-12月-22

例11

設(shè)某醫(yī)院用某一種方法診斷肝癌，由于各種原因，被診斷為患有肝癌的患者未必患有肝癌。令A={被檢查者確實患有肝癌}，B={被檢查者診斷為患有肝癌}.P(A)=0.0004（患者的比例很?。?P(B|A)=0.95(對肝癌病人的診斷準確率很高);

P(B|A)=0.9（對非肝癌病人的診斷準確率也很高),12-12月-22例11設(shè)某醫(yī)院用某一種方法診斷肝13-12月-22現(xiàn)有一病人被該方法診斷為肝癌，求此人確是患者的概率P(A|B).解從題設(shè)可得根據(jù)貝葉斯公式有.9.01)|(,0004.01)(1)(-=-=-=ABPAPAP)|()()|()()|()()(+=ABPAPABPAPABPAPBAP12-12月-22現(xiàn)有一病人被該方法診斷為肝癌，求13-12月-220038.0≈)9.01()0004.01(95.00004.095.0×0004.0--+=××注：診斷有病的人確實患病的可能性很小.#12-12月-220038.0≈)9.01()0004.0113-12月-22

例13某公司有n個部門,每個部門配有一臺計算機，各計算機之間需要傳輸數(shù)量不等的文件，AB若語音信號已從A

傳輸?shù)紹，它是從哪一條通路傳輸過來的可能性最大？12-12月-22例13某公司有n個部門,每13-12月-22§1.4條件概率對隨機現(xiàn)象的研究中，常遇到另一類概率計算問題.例兩個足球隊比賽的勝負預測.

B={中國隊上半場負}，A={中國隊最終獲勝}(1)考慮事件A

發(fā)生的可能性大?。恳?、條件概率(2)事件B已發(fā)生,問事件A發(fā)生的可能性大小？12-12月-22§1.4條件概率對隨機現(xiàn)象的研究13-12月-22例如：產(chǎn)品抽檢試驗將已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生可能性的客觀度量稱為條件概率，記為P(A|B).

定義

設(shè)A，B是隨機試驗E的兩個隨機事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的條件概率.12-12月-22例如：產(chǎn)品抽檢試驗將已知事件B發(fā)生13-12月-22由P17的性質(zhì)1.3.1可知條件概率滿足概率定義的三個公理，故而概率的性質(zhì)同樣適用于條件概率.問題

(1)判斷所求概率是否是條件概率？(2)判斷題目中概率數(shù)據(jù)是否是條件概率？解決問題的關(guān)鍵詞：情況、已知、現(xiàn)實例如：擲硬幣試驗射擊試驗12-12月-22由P17的性質(zhì)1.3.1可知條件概率13-12月-22

定理

設(shè)P(B)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)

更一般地有，若P(A1

A2…An-1

)>0，則

若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B|A).條件概率定義的改寫二、乘法公式P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)P(A1A2…An-1An)=12-12月-22定理設(shè)P(B)>013-12月-22注乘法公式是概率計算中的重要公式.例如：事件的概率計算可能很復雜，有時可以采用借助于一組事件組的方法.例如：激烈空戰(zhàn)摸球試驗抽簽的公平性三、全概率公式務(wù)必分清題目中所給數(shù)據(jù)是否為條件概率.12-12月-22注乘法公式是概率計算中的重要公式.例如：13-12月-22

注概率分解是一種重要的隨機分析思想，應(yīng)充分理解.

定義設(shè)Ω為隨機試驗E的樣本空間,B1,B2,…，Bn為E的一組事件，若

(1)Bi∩Bj=φ，i≠j；

稱B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分(或稱完備事件組).

(2)B1∪B2∪

…∪Bn=W12-12月-22注概率分解是一種重要的隨機分13-12月-22樣本空間Ω的劃分12-12月-22樣本空間Ω的劃分13-12月-22

定理（全概率公式）設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Ω,A

W,B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則有∪證明B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分因W=B1∪B2∪…∪

Bn故A=A∩W=A(B1∪B2∪…∪

Bn)吸收律12-12月-22定理（全概率公式）設(shè)隨機試驗E13-12月-22分配律又因為(ABi)∩

(ABj)=A∩(BiBj)=Af=f,i≠j由概率的有限可加性因為P(Bi)>0,i=1,2,…,n，利用乘法公式得12-12月-22分配律又因為(ABi)∩(13-12月-22概率分解12-12月-22概率分解13-12月-22注:該公式常用在預測推斷中,稱為事前概率.例如：抽檢試驗抽簽公平性

練習袋中有50個球，20個黃色的，30個白色的兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二人取到黃球的概率是槍支校驗12-12月-22注:該公式常用在預測推斷中,稱為事前13-12月-22

2）在抽檢試驗中,如果已抽到一件次品，需追究有關(guān)車間的責任,你如何考慮？思考

1）槍支校驗問題中，射手已經(jīng)中靶，他是用已校正的槍的可能性有多大？

對問題2）應(yīng)計算以下概率：

P(Ai︱B)=?i=1,2,3,4.并比較其大小.12-12月-222）在抽檢試驗中,如果已抽到一13-12月-22這類概率稱為事后概率.追究責任問題一類應(yīng)用問題：把事件A看成“結(jié)果”，把事件B1，B2，…，Bn看成導致該結(jié)果的可能“原因”，在已知A發(fā)生的條件下，去找出最有可能導致它發(fā)生的“原因”.辦公系統(tǒng)信息傳輸問題例如這類問題稱為貝葉斯問題.12-12月-22這類概率稱為事后概率.追究責任問題一13-12月-22

定理（貝葉斯公式）

設(shè)隨機試驗E的樣本空間為W，A

W,B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分,且P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則有∪四、貝葉斯公式證明

12-12月-22定理（貝葉斯公式）設(shè)隨機試13-12月-22貝葉斯公式用來計算事后概率.例如：病情診斷試驗見P23，例1.3.12和例1.3.13槍支校驗乘法公式全概率公式12-12月-22貝葉斯公式用來計算事后概率.例如：病情診13-12月-22

例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現(xiàn)從中任取一件，試求1）抽得廢品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2.?12-12月-22例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，13-12月-22解令A={抽得廢品}，B={抽得不合格品}.有?B成為現(xiàn)實12-12月-22解令A={抽得廢品}，B={抽得不合格13-12月-22有#注意到12-12月-22有#注意到13-12月-22

例2擲一枚硬幣直到出現(xiàn)三次正面才停止，問正好在第六次停止的情況下，第五次也是正面的概率？(求什么概率?)解令Ak=｛第k次出現(xiàn)正面｝，k=1,2,…則P(B)=/26

C52123456正B=｛第六次停止投擲｝12-12月-22例2擲一枚硬幣直到出現(xiàn)三次13-12月-22P=P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)#12-12月-22P=P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)13-12月-22

例3甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，求它被甲射中的概率.

解設(shè)A={目標被甲擊中}，B={目標被乙擊中}，

C={目標被擊中}.所求概率為12-12月-22例3甲乙兩人獨立地對同一目標射13-12月-22#12-12月-22#13-12月-22

例4（抽簽的公平性）袋中有10個球,9個白色的,1個紅色的,10個人依次不放回的各取一球，問第一個人，第二個人，最后一人取到紅球的概率各為多少？

解設(shè)Ai=｛第i

人取到紅球｝，

i=1，2，…，10.12-12月-22例4（抽簽的公平性）解13-12月-22第一次第二次12-12月-22第一次第二次13-12月-22有

P(A1)=P(A2)=…=P(A10).#12-12月-22有P(A1)=P(A2)=13-12月-22

例5

兩架飛機進行空戰(zhàn),甲機首先開火,擊落乙機的概率為0.2；若乙機未被擊落，進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機又未被擊落，它再次向乙機開火，并擊落它的概率為0.4.試求這幾個回合中條件概率條件概率1）甲機被擊落的概率p1；2）乙機被擊落的概率p2.12-12月-22例5兩架飛機進行空戰(zhàn),甲機13-12月-22解設(shè)A={甲機首次攻擊時擊落乙機}甲機乙機1(0.2)2(0.4)分析B={乙機擊落甲機}C={甲機第二次攻擊時擊落乙機}有

P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(==BACPABP1）甲機被擊落的概率12-12月-22解設(shè)A={甲機首次攻擊時擊落乙機}13-12月-2224.03.08.0)|()()(1=×===ABPAPBAPp2）乙機被擊落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0×--+=)|()]|(1)][(1[)(--+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+==CBAPAPCBAAPpU#12-12月-2224.03.08.0)|()()(1=×=13-12月-22

例6

甲盒中有5個紅球，6個白球；乙盒中有3個紅球，4個白球.現(xiàn)拋一枚均勻硬幣，若出現(xiàn)正面，則從甲盒中任取一球，反之從乙盒中任取一球.試求取出白球的概率p.1231098765411123765412-12月-22例6甲盒中有5個紅球，6個白13-12月-22

解設(shè)A={取出白球}，B={甲盒中任取一球}.

A={從甲盒中取出一白球}∪{從乙盒中取出一白球}.

于是有限可加從而12-12月-22解設(shè)A={取出白球}，13-12月-22BBA乘法公式#概率分解:借助事件組分解樣本空間Ω,進一步計算概率.12-12月-22BBA乘法公式#概率分解:13-12月-22

例7

某工廠有4個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02.現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？解設(shè)B=｛恰好取到次品｝,Ai={恰好取到第i個車間的產(chǎn)品}，i=1,2,3,412-12月-22例7某工廠有4個車間生產(chǎn)同13-12月-22P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3,P(A1)=0.35,題目中的條件概率如下構(gòu)成一個樣本空間的劃分,且

P(B︱A1)=0.05,P(B︱A2)=0.04,P(B︱A3)=0.03,P(B︱A4)=0.02,由全概率公式可得0315.0)|()()(41==∑=iiiABPAPBP#12-12月-22P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,13-12月-22

例8

設(shè)袋中有n個紅球,m個白球.三人依次不放回地各取出一個球.求他們?nèi)〉眉t球的概率各為多少？解：設(shè)Ai={第i個人取到紅球}，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+×++-+-×+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(121121212-12月-22例8設(shè)袋中有n個紅球,m個白球13-12月-22劃分，由全概率公式可得構(gòu)成一個有限事件組AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213AAAPAAPAAAPAAP++)|()()|()(

2132121321AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP++)|()|()()|()|()(

21312121312112-12月-22劃分，由全概率公式可得構(gòu)成一個有限事件組A13-12月-22---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+++-+-++=21)1)((22211×

××nmnnmnnmmnmm+=-+-+-++211

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