2016數(shù)學(xué)精英一階講義

函數(shù)、極限與連續(xù)模塊一函數(shù)一．函數(shù)的概念x稱為自變量y稱為因變量，集D稱為函數(shù)的定義域，也可以記作D(f)x0D所對(duì)應(yīng)y的值，記作y0f(x0xx0yf(x)的函數(shù)值.全體函數(shù)值組成的集合yyf(xxD，稱為函數(shù)yf(x)的值域，記作fD.二．函數(shù)的運(yùn)算1、四則運(yùn)算2、復(fù)合函數(shù)yf(g(xxD2f(ug(x的復(fù)合函數(shù)yf(g(xfg2x,x【例1】設(shè)f(x) ，試求f(f(x))與f(f(fx2,x4x,x 8x,x答案：f(f(x)) ,f(f(f(x))) x4,x x8,x 3、反函數(shù)yf(xDfDyfDxyf(xyf1(xyxyf(x的定義域?yàn)閍b，值域?yàn)閥f(x在ab上單調(diào)遞增（或遞減yf在ab上存在反函xf1y)在,上單調(diào)遞增（或遞減三．基本性質(zhì)1、單調(diào)性yf(xxDIx1x2f(x1f(x2（f(x1f(x2f(xI上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）If(x的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間（或單調(diào)減區(qū)間）I內(nèi)x1x2f(x1f(x2（f(x1f(x2f(xI上單調(diào)不減（或單調(diào)不增f1xf2x均為增函數(shù)（或減函數(shù)f1xf2x亦為增函數(shù)（或減函數(shù)f(x為增函數(shù)，若常數(shù)C0，則Cf(x為增函數(shù)；若常數(shù)C0，則Cf(xyf(u與ugxyf(g(xyf(u與uf(x增減性相反，則yf(g(x))為減函數(shù).2、周期性yf(xxD，若存在正數(shù)TDxf(xTf(xf(x為一個(gè)周期函數(shù)，而Tf(x)的一個(gè)周期.易知若Tf(x)的一個(gè)周期，則對(duì)任意的整數(shù)nnTf(x的周期.在f(x)的所有周期中，我們把其中最小的正數(shù)稱為最小正周期.C①若f(x)以T為最小正周期，則對(duì)任意的非零常數(shù)C，Cf(x)仍然以T為最小正周期，f(Cx)以 Cf1xf2x都以T為周期，則k1f1(xk2f2x仍以T為周期（k1k2R）.f1xcos2xsinx,f2xsinx都以2f1xf2xcos2x以為最小正周期.yf(xxDDxf(xf(x)（f(xf(x）f(x1①常見(jiàn)的奇函數(shù)：yxk,k為奇數(shù),ysinx,ytanx,ycotx,ylnx1yxkk為偶數(shù),ycosxy②若f1x),f2x)均為奇函數(shù)（或偶函數(shù)，則對(duì)任意的常數(shù)k1k2Rk1f1(x)k2f2x仍為奇函數(shù)（或偶函數(shù)f1xf2xf1xf2xf1x),f2xf1xf2xf(xfx

f(x)f

f(x)f ⑤任何定義在對(duì)稱區(qū)間上的函 f(x)均可寫成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)f(x)f f(x)f和,f(x) 4、有界性（1）定義：yf(xxDMDxf(xM，則稱函數(shù)均有f(x)m，則稱函數(shù)f(xD內(nèi)有下界，并稱m為函數(shù)f(xD內(nèi)的一個(gè)下界.f(xDf(xD內(nèi)有界（2）常見(jiàn)的有界函數(shù)：f(x)sinf(x)sgn(x)0,xf(x)arcsinx,x

f(x)f(x)f(x)2 ex 四．函數(shù)分類1、基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)與反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù)2、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及復(fù)合后并可用一個(gè)式子表達(dá)的得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)3f(x

xxxxf|f(x|f

f(x)f(x)取整函數(shù)：f(x)：不超過(guò)f(x)最大值函數(shù)：maxf(xg(x)ff最小值函數(shù)：minf(x),g(x)f

f(x)f(x)f(x)f(x)x5、參數(shù)方程：

y

，t,6、極限函數(shù)：f(x)nnx1x7F(xafx一．概1、函數(shù)極限【定義1.2】設(shè)函數(shù)f(x)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若存在實(shí)數(shù)A，使得0

0xx0x0x0x0時(shí)，有|f(xA|f(xx0點(diǎn)處的極限值A(chǔ)，記作limf(xA設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某左鄰域內(nèi)有定義，若存在實(shí)數(shù)A，使得0， 0，當(dāng)xx0,x0時(shí)，|f(xA|f(xx點(diǎn)處的左極限A

f(x)AM0xM時(shí)，有|f(xA|xf(x的極限值A(chǔ)，記作limf(xAxxf(x的極限limf(xlimf(x 2、數(shù)列極限【定義1.4對(duì)于數(shù)列xn，若存在實(shí)數(shù)a，使得0a，記作limxa

n3、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量值為0，也即limf(x)0，則稱f(x)x時(shí)的無(wú)窮小量.xf(x為無(wú)窮大量，則f

xf(xf(x0，則f

若lim(x0x(x(x的高階無(wú)窮小量(x)為(x的低階無(wú)窮小量，記作x(x)o((x若lim(xC0x時(shí)，(x(x同階無(wú)窮小量x則lim()1x時(shí)，(與(等價(jià)無(wú)窮小量，記作(~(xk)

C0x時(shí)，(x(x)的k階無(wú)窮小二．極限的基本性質(zhì)1、數(shù)列極限的基本性質(zhì)若數(shù)列xn的極限存若數(shù)列xn的極限存在，則數(shù)列xn保號(hào)性：若limx0N0，使得當(dāng)nNx0n

x推論：N0，使得當(dāng)nNxn0，且limxn存在，則limxn0 2、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（1）唯一性：若函數(shù)極限limfx（2）有界性：若函數(shù)極限limfx)存在，則存在正數(shù)0，使得函數(shù)x0x0x,0x0內(nèi)有界

f(x)x0的去心鄰域保號(hào)性：若limfx，則正數(shù)0xx0x0x0x0f(x0 三．極限的計(jì)算方法例．設(shè)limf(x)Alimg(x)B，則有：lim[f(x)g(x)]AB，limf(x)g(x)AB，limf(x)A(B ,(),(),(),C0C0,C(C0),C0,C(C0),a

,a 0,0ax2x x2lim3x24x3xx2x

x24xxan,maxn xn1...ax

bnxm

00,m

其中a

0 ...bx x422x2x

,m（1）

x 38x3xx2x1（2）12、等價(jià)無(wú)窮小替【定理】x時(shí)，(x~(xlimf(x)(x)limf(x)(x),limg(x)limg(x) x x(x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~ex1~1cosx~1x22ex21arctan

ax1~(1x)a1lna lim ln12x3（2（2005—3）limx 1

x2（2）（1（2009—3）lncos

eecos 3 31x21x21 3、洛必達(dá)法則（第二章內(nèi)容xaf(xg(xlimfx)limgx)0或limf(xlimg(x f' lim xag'則有l(wèi)imf(x)limf

或xax

xagf(xg(xlimfx)limgx)0或limf(xlimg(x) X,當(dāng)|x|Xf(xg(xgx

fl(x)存在或?yàn)榛騲g則有l(wèi)imf(x)limfx xg'(limxtanx0arctan2（2（2x0

xx2xx3lnlim x5xx43ln 4xlnx 2x2

4x2x3x2 exlim(1x)tan 0（2）0（3）（4）（5） （1）lim1 x0 xtanx 1

xxx 34、重要極限

2sin （1）lim （2 1【例19】計(jì)算極限（2003—1）lim(cosx)ln(1x2lim limexx5、單側(cè)極限limf(xlimf(xlimf(x limf(xlimf(xlimf(x 2 sinx【例11（2003—1）：lim 4|x|x0 答案：1

1 【例12x1答案：2

xarctan模塊三連續(xù)一．連續(xù)性1、基本概念1.8】f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義，且limf(xx

fx0，則稱函f(xx0點(diǎn)處連續(xù)f(xx0limf(xfx0f(xx0點(diǎn)處右連續(xù)x若f(x)在ab上每一點(diǎn)均連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開ab上連續(xù)f(x在開區(qū)間abf(xxaxbf(x在閉區(qū)間ab上類似地，我們可以得到函數(shù)在區(qū)間a,b或a,b上連續(xù)的定 1cos1】f(1cos22

,x,x

f(xx01etan x,x

x0處連續(xù)，則aa2、基本性質(zhì)

sin2xe2ax3f(x

x0在(上連續(xù)，則a xa

bex,x【例4】若f(x) 在其定義域內(nèi)連續(xù)，則ab1e xa0,b二．間斷點(diǎn)點(diǎn)2、間斷點(diǎn)的分類x

f(x0x0

x

f(xx

limf(xlimf(xx0f(x的可去間斷點(diǎn)limf(xlimf(x

在第二類間斷點(diǎn)中，若x

f(x)x

f(x)至少有一個(gè)為，則稱x0為函數(shù)f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)x

f(xx

f(x均不為x0f(x的振蕩間斷點(diǎn) axsinx,x5】f(x1cos bex,x

x0a1a1且b0a1且b0x sin 三．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)fx)為閉區(qū)間a,b的連續(xù)函數(shù)，則有如、最值定理：f(x)在a,b—定能取得最大值，最小值．也即存 ,a,b，使fmfxMfxab均成立.推論（有界性定理）：fx在閉區(qū)間ab上有界．2fx在ab一定能取得其最大值和最小值之間的一切值．也即對(duì)任意滿足mAM（mfx在ab上的最大值與最小值，均存在abfA3、零點(diǎn)定理：f(afb0，則存在abf0【例7】ab0，證xasinxb在(0,ab上至少有一個(gè)一元函數(shù)微分學(xué)一．導(dǎo)數(shù)的定義1、一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義yf(x0xf(x0limylimf(x0x)f(x0x0 存在，則稱函數(shù)x處可導(dǎo)，該極限值稱為函數(shù)x處的導(dǎo)數(shù)f'(xy'(x

f'(x

.f(x)f(x.0

dxx0 x x0

f(x0x)f(x0)

0xx0

f(x)f(x0xf(xx處的左導(dǎo)數(shù)存在f(xx處的左導(dǎo)數(shù)f'(x f(xxfx f(x)f(x)lnx,(xf(x)f(x)cos2】求下列函數(shù)f(x的f(0)及f(0)f(0)是否存（1）f(x)|x| x1（2）f(x) x（2）f(0)1,f(00f'(0)2、導(dǎo)函開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：f(x在開區(qū)間(abf(x在開區(qū)間(ab內(nèi)可導(dǎo)f(x在閉區(qū)間[ab上可導(dǎo).3、高階導(dǎo)數(shù)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)仍然可導(dǎo)，則將它的導(dǎo)數(shù)稱為原函 f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記f(x)

f(xx)f.f(xnf(nx二．微分的定義【定義2.3設(shè)函數(shù)f(xx0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量xx0處有增量x時(shí)，若因變量yyf(x0xf(x0yAxo(x),xx0處可微Axf(xx0處的線性主要部分，也稱為微分，記作dydf(x，即dydf(xAx三．可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系2.1f(xx0f(xx0f(xx02.2f(xx0f(xx0f(xx0

x

f'x0x0ex,x3f(xaxb,x

x0處可導(dǎo)ab1cos xx4f(xx x

，其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x0處 （A）極限不存 答案：（D）模塊二一．求導(dǎo)公式xaaxa1,exex,lnx1,sinxcosx,cosxsinx二．求導(dǎo)法則1、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則f(xg(xf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x) g(x)

f(x)g(x)f.g22、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2.3yf(u),ug(x在x處可導(dǎo)，且有：

f

f'(u)g'(x)

dy du6推導(dǎo)ax11（1）f(x)lnx （2）f(x)secx2tanln1答案：（1）f'(x1（2）f'(x)2xsecx2tanx2tanlnxsecx2sec2lnxx3、反函數(shù)求導(dǎo)法則 f1(y)'dx1

f'

1f'(f1(yarcsinexsinyln(ex1111sin2dy

1e2x)

excosxexsin114、特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)yxx(x>0) 11lnx xxlnx1 （2） xx

【例11】設(shè)函數(shù)yyx由方程exycosxy0確定，則dy

ysinxyexexyxsinxy12yy(x由方程ln(x2yx3ysinxd2d2 dx dx

x0x

yt dt xet 【例14】設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程

答案：sintsintxf(t)15】設(shè)yf(e3t

ff(0)0

td2yddyddy dxdx dtdx 【例16】設(shè)函數(shù)y 由參數(shù)方

xtln(1

d2y

6t5tt

yt3 17（1997--3）yf(lnx)ef(x，其f可微，則dy1flnxefxf(lnx)ef(xf 18

d219yf(x)fx0yf(x)xgy

f'' 一．切線和法線yf(xxx0可導(dǎo)時(shí),曲線在點(diǎn)(x0f(x0處切線的斜率為f(x0，則曲yf(x過(guò)(x0f(x0yf(x0f(x0xx00 法線方程為：yf(x) (xx)，其中f(x)0 f(x0f(x00x【例1】（2004—2）：設(shè)函數(shù)yf(x)由方程xy2lnxy4所確定，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程 y【例2】曲線

，在點(diǎn)t0yy2x

cos二．單調(diào)性f(x在[ab上連續(xù)，在(ab①若在(abf'(x0fx)f(x在[a,b]②若在(abf'(x0fx)f(x在[a,b]1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)增區(qū)間：(,1]；單調(diào)減1,2、證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性fx二階可導(dǎo)，f00,fx0，證明Fxfx在0上單增【例4x3、證明不等式：22

x,x04、確定方程根的個(gè)數(shù)6】xcosx在0,上有且僅有一根三．極值1、定設(shè)函數(shù)f(x)x0的某鄰域(x0x0)內(nèi)有定義，若對(duì)任意的xx0,x0(x0x0，有)f(xxxfx0 3、第一充分條件設(shè)函數(shù)f(xx0處連續(xù)，并在x0的某去心鄰域(x0x0(x0x0內(nèi)可導(dǎo)x(xxf'(x0而xxxfx0f(x在x x(xxf'(x0而x(xxfx0f(x在x x(xxxxf'(xf(x在x 的極值答案：f14、第二充分條件f(xxfx0 fx0f(x在x fx0f(x在x fx0f(x在x 28yx(x1)3答案：f332

f1

5

5 59（2004--1）fx在(,fx有（ Ox Ox四．凹凸性1、定義：yfx在閉區(qū)間[abx1x2[abfx1x21fxfx 2 2 fx1x21fxfx 2 2 yfx在區(qū)間[ab上是凸的.f(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，在開區(qū)間(ab①若在(abf(x0f(x0，f(x在[ab②若在(abf(x0f(x0，f(x在[abln10y

x 五．拐點(diǎn)1、定yfx凹凸性的分界點(diǎn)(x0,f(x0yfx的拐點(diǎn)2、必要條件f(xx0處二階可導(dǎo)，且x0f(x0)yf(xf(x003、第一充分條件f(xf(x0f(xx0左右兩邊同號(hào)，則點(diǎn)x0f(x0)yf(x的拐點(diǎn).f(xx0f(x00f(x00，則點(diǎn)x0f(x0)yf(xln11y 3答案：e2,

x 3 2e2【例12】（2010—3）：若曲線yx3ax2bx1有拐點(diǎn)(1,0)，則b 答案：六．漸近線1、鉛若

f(x)

f(xxcyf(x2、水若

f(xb

f(xb,其中bybyf(x f 3、斜漸近線：若 k存在且不為零,同x limf(xkxb存在ykxb為曲yf(x斜漸近

x2xx2

答案：（C）模塊一不定積分

一元函數(shù)積分學(xué)一．基本概念1、原函數(shù)：F(xIIF(xf(xF(xf(x在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).二．基本性質(zhì)f(xg(x)均存在原1f(xg(x)dxf(x)dx2kf(x)dxkf(x)dxkRk3、f(x)dx'f(xdf(x)dxf4F'(x)dxF(xCdF(xF(x三．不定積分的計(jì)算1、基本積分公式（1）xadx xa1C,(a1)，1dxlnxC,a1 axdx1axC,exdxex lncosxdxsinxC,sinxdxcosxsec2xdxtanxC,csc2xdxcotxCsecxtanxdxsecxC,cscxcotxdxcscxC11x2dxarctanxC11 dxarcsinx1 1x41

2x1

（4）tan2

cos sinxcos

22 5（1）

C ln23 3ln5 1x3x2arctanx3tanxxsinxcosx2、換元法設(shè)f(u)有一個(gè)原F(u)u(x)可導(dǎo)f(x)(x)dx令u(x)fuduF(uCF(x)2】計(jì)算不定積分sin(2x答案：1cos2xC 3

33

12x12答案 arctan2x12注

a2x2

dx1arctanaxC 2【例4】求 2arcsinx2 2 b2b2a2

dx1arcsinaxC （1）x(1x2)50sin2xcos

eexsin2xcos2

（3）

sinxcossinxcos（3 （5）x sin4xC （2）第二類換元x(t)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，且(t)0，設(shè)f((t))(t)具有原函數(shù)G(t)f(x)dx令x(t)f[(t)](t)dtG(tG1(x)C1【例6】計(jì)算不定積分 11x1x11x1x1axax axax（1）1x2x2x2x2x2x1x2 x1x2

13、分部積分法分部積分公式uv'dxuvu'vdx，或簡(jiǎn)寫為udvuvvdu 2 2xe2eC（2）

x2sin cos2x 10計(jì)算不定積分arctan2211計(jì)算excos答案：1excosxsinx2

f【例12】設(shè)xfxdxarcsinxC，則 1f答案：

11x22333模塊二一.定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]內(nèi)任意n1個(gè)分ax0x1x2...xn1xnn這樣[abn個(gè)小區(qū)間[xi1xii12n，用xixixi1表示各區(qū)間的長(zhǎng)度，再在每個(gè)區(qū)間上取一點(diǎn)i,xi1ixi，作如下和式nfixif1x1f2x2...fnii 0

fixi存在且與[ab的劃分及i的選取無(wú)關(guān)，則稱f(x)在區(qū)間[ab上可積bf(x在區(qū)間[ab上的定積分，記作af(x)dxb limfixi

f0 其中f(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區(qū)間，ab分別稱為積分上、下二.定積分的性質(zhì)1、規(guī)定 af(x)dxaf(u)duaf

f(x)dx

fx)dx

f(x)dx0,

f(x)dx2、線性性質(zhì) bf(x)g(x)dxbf(x)dxbg( akf(x)dxkaf(x)dxk為 b3a1dxbb

4af(x)dxaf(u)du5、比較定理：

f 若在區(qū)間[abf(xg(x，則有af(x)dxag(x)dx【例1】說(shuō)明下列各對(duì)積分哪一個(gè)的值比較大 1x2dx與1x3dx 2lnxdx與2(lnx)2dx 【例2】（2011--1）設(shè)I 4lnsinxdx,J 4lncotxdx,K 4lncosxdx，則I,J,K的大小關(guān)系是( （A）IJ （B）IK （C）JI （D）KJb af(x)dxaf(x)M和m為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值bm(ba)af(x)dxM(bb設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)[a,b]，使baf(x)dxf()(bb三.微積分基本定理xf(x在區(qū)間[ab上可積，令(x)af(t)dtaxb稱為變上限積分（積分上限函數(shù)xx定理：f(x)[ab](x)

f(t)dt[ab]aa(x)xf(t)dtf(x),axa設(shè)f(x)在區(qū)間[ab上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在區(qū)間[ab上的一個(gè)原函數(shù)，baf(x)dxF(b)Fb2、計(jì)算導(dǎo)函數(shù)a（1）xf(t)dtf(x),axax（2）bf(t)dtf(x),axx（3）

u(

f(t)dt fu(x)u f(u(x))u(x)fu(x 1t(1）f(x)1t(2）f(x)xsinx11

sinex2xsiny

xyet2dt xxsin2tdt確定,則dy

dx答案：5（2010-3）f(x

(x 1f(x的單調(diào)遞減區(qū)間為(1][0,1]f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,0][1,f(x)的極小值為0f(x

123、計(jì)算定積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[ab上連續(xù)，函數(shù)x(t滿足條件①()a,()②(t)在區(qū)間[,]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其值域([,])[a 則有：bf(x)dxf((t)) ②分部積分法：bu(x)v(x)dxu(x)v(x)bbu （1）

xlnx1（2（2000--1）1

2xx21x2arctan0lnln3lnln22) (3)122ln 7fx

1ex x ，求

f

1e121

1x設(shè)f(x在區(qū)間aa上可積，則 f(x)aa

f(x)dx

f

f(x)x4sin

1arcsin1 1 2

【例1】計(jì)算由下列曲線圍成的平面圖形的面xyx2yxyexyexx13

（2）ee12（08—3）yf(xf(x在區(qū)間[0,a上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分axf(x)dx0 多元函數(shù)微分學(xué)模塊一多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)與可微限及二重極限1D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)于任意一點(diǎn)xyDzxy的二元函數(shù)zfxy2】zfxyDx0y0DA，使得0，總0x yx y2200

fxyA，則稱當(dāng)xy趨近于

,

時(shí)，函fxy的重極限為A.記 (x,y)x0,y0

fxyAy1cos(x2y2

fx,yA答案：

(x,y)(0,0)ln(1x2y2 ,(x,y)(0,【例2】f(x,y)x2 ，證明： f(x,y)不存 (x,y)(0, (x,2、連續(xù)4.3zfxy在x0y0(x,y

z (x,y

fx0x,y0yfx0,y00 (x,y)x0,y0

fx,yfx0,y04zf(xyP0x0y0Dyy0xx0處有增量x，相應(yīng)的函數(shù)有增量zf(x0x,y0f(x0y0，若極限limf(x0x,y0)f(x0,y0 存在，則稱函數(shù)zf(xyP0x0y0處x的偏導(dǎo)數(shù)存在，并定義此極限值為函數(shù)zf(xy)Px,y)處x的偏導(dǎo)數(shù)

, ,f(x,y)

y

y

xxx0y

limf(x0,y0y)f(x0,y0) 記作 , ,f(x,y) (x0,y0

(x0,y0

y(x0,y0

3f(xyx2

,(x,y)(0,

在(0,0)處的連續(xù)性和偏導(dǎo)的存答案：不連續(xù);三、可微與全微分

,(x,y)(0,6zf(xy在點(diǎn)(xy的全增量zf(xxyyf(xyzAxByox2y2AB僅依賴于(xy而與xyzf(xy在點(diǎn)(xy可微AxByzf(xy在點(diǎn)(x,y的全微分，記作dz，即dzAxBy四．相互關(guān)系4.5zf(xy在點(diǎn)(x0y0zf(xy在點(diǎn)(x0y0

zzxzyo x2x24.6zf(x

zz在(xyx(x2y2)sin ,(x,y)(0,0)4f(xy

x2

討論此函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的連續(xù)性，偏導(dǎo)性以及可微 ,(x,y)(0,答案：函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)可微模塊二一．基本公式基本原則f(x,yg(x,yaf(x,y)bg(x,y)af(x,y)bg(x,y),a,b f(x,y)g(x,y)g(x,y)f(x,y)f(x,y)g(x,f(x,y)

g(x,y)f(x,y)f(x,y)g(x, ,g(x,y)xg(x,y) g2(x,f(x,y)exylnxy2f(x,y)f(x,y)yexy

，f(x,y)xexy 2 x x dzyexy dxxexy 2 xy2 xy2 f(x,y)yxy1，f(x,y)xyln dzyxy1dxxyln2】zxexyx1)ln(1y，則

(1,0)答案：dz(1,0)2edxe二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（1）若zf(u,v)f((t(t))，

f f u f f f f（2）若zf(u,v)f((x,y),(x,y))，則 u v u

v f f fzf(u,vf((xyy，則

ux，

u

v 【例3】設(shè)z u為連續(xù)可12,fyf1y

uuf(xxy)，vg(xxy)x三、隱函數(shù)求導(dǎo)5zz(xyze2x3z2y確定,則3zz 6】F(xyyzzx0，求dz(F'F')dx(F'F'答案：dz F'F 二重積分一、定ni表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積.在每個(gè)閉區(qū)域i上任取一點(diǎn)(i,i)，并計(jì)算和式f(i,i)inDf(xy)dxdyDf(x,y)dxdylimf(, d0D（二重積分的幾何意義）二元函數(shù)的zf(x,y)圖像是 中的一個(gè)曲面，當(dāng)f(x,y)0時(shí)，f(x,D二、性f(x,y)g(x,y)dxdyf(x,y)dxdyg(x, D【性質(zhì)2 DDD1D2，則有f(xy)dxdyf(xy)dxdyf(x 4】（比較定理）Df(xyg(xy f(x,y)dxdyg(x, 推論1Mm分別為函數(shù)fx,y)在區(qū)域D上的最大值與最小值，為區(qū)域D的面積，則有mf(x,y)dxdyMD設(shè)函數(shù),D點(diǎn)(,使得f(xy)dxdyf(,)D【例1】I1 x2y2d,I2cos(x2y2)d,I3

D{(x,y)xy12)22) (A)I3I2I1.(B)I1I2I3.三、計(jì)算（直角坐標(biāo)

I2I1I3.(D)I3I1I1、定限方法D2】xydxdyDx0,y0,x1,y1DD3】xydxdyDy0,yxx1D12DD3D432、積分次序的選擇D6】計(jì)算xydxdyyxyD

1xy2922yDD

2【例8】計(jì)算 3D1x2y2

22

DD

y2xydxdyDyxy1,x029xD【例10】計(jì)算sin2ydxdy，其中D:yx,y xD 8 2【例11】設(shè)函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則二重積分dxsinxf(x,y)dy等于 2 0dyarcsinyf(x, （B）0dyarcsinyf(x,arcsin （C）

f(x, （D）

f(x, 2【例12】積分0dxxe 答案：1(1e4).2三、計(jì)算（極坐標(biāo)1、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互之間的轉(zhuǎn)化公式x2【例13】計(jì)算 dxdy,D:x2x2D2、定限的方法x2【例14】計(jì)算 dxdy,D:1x2y24,x2D答案：x2【例15】計(jì)算 dxdy,D:x2x2D x2D【例16】計(jì)算 dxdy,D:xyx2D

11答案

2ln3222【例17設(shè)區(qū)D(xy)x2y21x0，計(jì)算二重ID

1 dxdy1答案：ln22D18計(jì)算x21y2tany)dxdyDx2y2D15微分方程概F(x,f,f',f'',...,f(n))0y(x)F(x,,,,...,(n)0成為恒等式，稱之 y(xyyx 分方1、可分離變量方程yf(x)gy的方程稱為可分離變量方程2yx【例2】微分方程yy(1x)的通解 xy2、齊次方程dyy的方程稱為齊次方程 x【例3】微分方程dyy1y3滿足 (

y

2lnlnx4【997

x2y2dxxdy0,(x0y2答案：yy23、一階線性微分方程

x1【例5】微分方程xy2yxlnx滿足y(1)1的解 9xln

3xft 6】f(xf(x

3

dt

f(x4、伯努利方程*（數(shù)學(xué)一、二

a

在方程兩端同時(shí)除以y得 yp(x)分方1、二階線性方程

q(x)，令z 得 p(x)zq(x)，將原方程化為一階線11)定義y''P(xyQ(x)yf(x的方程稱之為二階線性微分方程f(x0，則稱該方程為二階齊次線性微分方程1：y(xy''P(xy'Q(x)y0的解，則ky(xy''P(x)y'Q(x)y0 設(shè)y1x)、y2x)y''P(xyQ(xy0yy1xy2x)y''P(xy'Q(x)y0 2：y(xy''P(xy'Q(xyf(x)y(xy''P(x)y'Q(x)y0 yy1(x)y2 為方程y''P(x)y'Q(x)yf 的解.設(shè)y1(x),y2 為非齊次方 y''P(xyQ(x)yf(xyy(xy(xy''P(x)y'Q(x)y0 定理3y(xy(x)為齊次方程y''P(xy'Qxy的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，y*(x y''P(x)y'Q(x)yf的任一特解，則yC(y)x非齊次方程 y'Px' Qx)的通解，其中CC 定理4（疊加原理設(shè)y(x)為方程y''P(x)y'Q(x)yf(x)的特解，y(x)為方程y''P(x)y'Q(x)y 的特解，則yky(x)ky(x)為方程y''P(x)y'Q(x)ykf(x)k (x)的解1 2 1 2 (B)y1(x)Cy1(x)y2(x)(C)Cy1(x)y2(x) (D)y1(x)Cy1(x)y28】yxex2exyxexe2xyxex3exe2x y''P(xyQ(x)yf(x的解，求其通解.答案Cex e2x y''P(xyQ(x)yf(xP(x),Q(x均恒為常數(shù)，則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.y''pyqyf(x的方程的求解y''pyqy0對(duì)應(yīng)的特征方程r2prq求出特征方程的兩個(gè)根r1,r2根據(jù)r1,r2ypyqy0r2prq0的兩個(gè)根r1r1r2為兩個(gè)不同yCer1xCer2 r1,r2為兩個(gè)相同y(CC r1r2為一對(duì)共軛復(fù)根y(CcosxCsin y''pyqyf該方程的通解為CyCyy*，其中CyCy為齊次線性微分方程的通解 為非齊次線性微分方程的特解1 2 1 2下面討論y*的求f(xf(xpn(x為ny*R(x（y*R(x為n次多項(xiàng)式 y*xRny*x2Rnf(xexp(x)n次多項(xiàng)n式不是特征y*exRn是單特征y*xexRn是重特征y*x2exRnfex[p(x)cospm(x)sini不是特y*ex(R(x)cosxS(x)sin （kmaxmnSk(x為k次多項(xiàng)式i是特征根y*xex(R(x)cosxS(x)sin [例9]：求下列微分方程的特解

x2x (x21xcosx2sin Ce2xCe2xxe2x 11】3y2yy2y0y答案CcosxCsinxC 12具有特y1exy22xexy33ex3階常系數(shù)齊次線性微分方程(A)yyyy （B）yyyy(C)y6y11y6y （D）y2yy2y2、可降階的高階微分方程*（數(shù)學(xué)一、二yf(xy')型的方 '2）yfyy')

dpdy

p,代入原方程

dy '13】求微分方程yyy2偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一．定 若 f(x,y)的偏導(dǎo) 的偏導(dǎo)數(shù)仍然存在，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為fx,y的二階偏導(dǎo)數(shù)。二階偏導(dǎo)數(shù)總

2z

2z

2z

x

y

x

y f''(x,y)，f''(x,y)，f''(x,y)，f''(x,y) 二．計(jì)算1設(shè)函Fxy

1

2dt

2設(shè)u

siny

x1excosxxsinxex,x1excosxxsinxe 2）定理：zf(xy2 2導(dǎo)數(shù)相等，即yxxy 2

2

2，

在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合3zx2y2

x，

y2xyx2x2y2

arctan 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 2zf(esinyecosy求xyfzf(xeyxyf

2．2

excosyf1sinyf2e2xsinycosyf11cos2yf12sinycosyf2zy

y

（2） e e xe 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用基本概念【定義4.9設(shè)點(diǎn)P0x0y0為函zf(x,y的定義域D的內(nèi)點(diǎn)，若P0的鄰域U(P0，使得對(duì)任意異于P0的點(diǎn)xyU(P0fxyf(x0y0（fxyf(x0y0，則稱函數(shù)zf(xyP0處取得極大值（或極小值P0zf(x,y)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極值的必要條件4.12zf(xy)在(x0y0)fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0極值的充分條件【定理4.13設(shè)函數(shù)zf(xy)(x0y0)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又設(shè)fx(x0y00fy(x0y00.