2016學年第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷卷答案

2015~2016（A （7分A“甲城市氣溫不低于20oCB“乙城市氣溫不低于20oCC“甲、乙兩座城市氣溫較高者不低于20oCD“甲、乙兩座城市氣溫較低者不低于20oC已知：PA0.3，PB0.4，PC0.2PD．PABPAPBPAB0.30.4PAB，PCDPCPDPCD0.2PDPCD，CDABCDABPCDPABPCDPAB，00.5PDPD0.5（14分甲擲一枚硬幣，該硬幣時正面向上的概率為0.8，甲看到結(jié)果后告訴乙，然而，當甲到乙處時會他會將正確結(jié)果告訴乙．求：⑴乙得知硬幣正面向上的概率是多少？（4分）⑵乙得知正確結(jié)果的概率是多少？（4分）⑶假設(shè)乙得知硬幣正面向上，那么，硬幣真的是正面向上的概率是多少？（6分）ABCD⑴所求概率為PC，由全概率公式，PCPBPCBPBPCBPDPDPBPDBPBPDB0.40.50.610.8⑶所求概率為PAC，由條件概率的計算公式，得PACPAC，PPACPBPACBPBPACBPBPABPCABPBPACB0.40.50.80.60.8PACPAC0.64160.9411764706 （10分51010分鐘而離開的概率（4分由推斷該銀行的服務(wù)十分繁忙（6分．由于 量X服從1的指數(shù)分布，所以X的概率密度函數(shù)5

e

x0xP顧客等待時間10分鐘PX10⑵設(shè)Y10分鐘的次數(shù)，則Y~7所以PY3C3e231e240.0484944577

e2．（9分設(shè)隨量X的密度函數(shù)

2xfXx

0x而YsinX，試求 量Y的密度函數(shù)fYy 量X在區(qū)間0，上取值，可知隨 量YsinX在區(qū)間0，1上取值．設(shè)隨量Y的分布函數(shù)為FYy，則有①.y0FYy0②.如果0y12arcsin xdx 0

arcsin③.y1FYy即

y

FY

xdx 0

0yyfyFy

arcsiny

2arcsiny 1y1y

0y 即

11y fy

0y（8分

1

10

1設(shè)隨量X與Y相互獨立，X~N ，Y~N ．求數(shù)學期望EXY 2 2因為隨量X與Y相互獨立，而且都服從正態(tài)分布，因此隨ZXEZEXYEXEY110，DZDXYDXDY111 所以， 量ZXY~N0,EX

E1

zfZzz

e2dz z 0

2zz222022 22（15分設(shè)平面區(qū)域D由直線yx，y0，x1，x2所圍，二維 量X

Y服從區(qū)域D上的勻分布．求：⑴二維 量X

Y的聯(lián)合密度函數(shù)f

；⑵ 量Y的邊緣密度 X數(shù)fy（6分；⑶求條件密度函數(shù) xy（5分 XD2Axdx1

2223221所以，而為 量X Y的聯(lián)合密度函數(shù)f

2y3

yDy⑵當0y1 2 1fYyf1當1y

ydx3dx32 2

2 yfYy

f

ydx3dx

2y所以，隨量Y的邊緣密度函數(shù)233Yfy223Y

0y1y2其⑶當0y1

y203 x

f

0x1 fXfY

y 其當1y2時

y22y0，此時條件密度函數(shù)為 x

f

2

yx2fXfY

y

（8分 獨立地擲n次令X表示1點出現(xiàn)的次數(shù)，Y表示6點出現(xiàn)的次數(shù)求covX YX,Y（

第i次拋擲出現(xiàn)1點，Y 第i次拋擲出現(xiàn)6點，i

2,

n 反

2,

n；Y

2,

反X 1

1 Xi~B 6，YYi~B 6i i 所以EXEYnvarXvarY5n 由于covX YEXYEXEY，故下面計算EXY XYXiYjXiYi2XiYjXi與Yj都取值0或者1，且在第i

j

i

i次拋擲時，不可能既出現(xiàn)1點，又出現(xiàn)6點，

再由于當ijXi與Yjn所以EXYn

EXY2EXY2EXEYnn1i

ii

i i

nn1n2covX

E

EXE

covX covX Y varX 361X,

（8分一報亭出售4種報紙，它們的價格分別為

別為

1的分布函數(shù)x的值Xk：該天售出第kk XkX EXk kEX2k

2 2

5011

EX2

kkXkk

X Xkk

k

PX450

450 k

kk k

（9分X等可能地取值

5，從中抽取一個樣本量為4的樣本

X2

X4X1

X2

X4的分布律X1的取值為

5 6kPX1k

，k

2 444

44P

P

P

34P PPX14

P4

5，245， PX5PX51 （12分X~N2是已知參數(shù)，20是未知參數(shù)．XX

是從該 ⑴.當20為未知，而 2

2

22

2xi

因而2

2122

1

xi22

40解得21n

2因此，2的極大似然估計量為?21n

X

2i⑵.X~N2i

Xi~N0

X所以

~2

2所以E

?

1 2

E