4-第3章 有限元分析的力學基礎

3章有限元分析的力學基礎由固體材料組成的具有一定形狀的物體在一定約束邊界下（外力、溫度、位移約束等）變形本章的主要內容就是彈性力學中的基礎部分。變形體的描述、變量定義、分量表達變形體在外力的作用下，若物體內任意兩點之間發(fā)生相對移動，這樣的物體叫做變形體(deformedbody)狀變形體和。簡單變形體如桿、、柱等，材料力學和研究的主要對象就是簡單變形體，而有限元方法和?；咀兞?位移應該是最直接的變量，它將受3.1所示。在外部力和約束作用下的變形體在外部力和約束作用下的變形體位移的描述形狀改變的描述力的描述材料的描述圖3.1 變形體的描述描述位移是最直接的，因為可以直接觀測，描述力和材料特性是間接的，需要我們去定義新的變量，如圖3.2所示，可以看出應包括位移、變形程度、受力狀態(tài)這三個方面的變量，當然，還應有材料參數來描述物體的材料特性。27位移位移物體變形后的位置應變物體的變形程度應力物體的受力狀態(tài)材料參數物體的材料特性圖3.2變形體的描述及所需要的變量總之，在材料確定的情況下，基本的力學變量應該有：·位移(displacement)(描述物體變形后的位置)·應變(strain)()·應力(stress)()對于任意形狀的變形體，我們希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用 微小體元(representativevolume)dxdydz的分析方法來定義位移、應變、應力這三類變量?；痉匠蘢xdydz：·受力狀況的描述：平衡方程(equilibriumequation)·變形程度的描述：幾何方程(strain-displacementrelationship)·物理方程(應力應變關系或本構方程)(stress-strainrelationshiporequation)彈性體的基本假設為突出所處理問題的實質，并使問題有得以簡單化和抽象化，在彈性力學中，提出以下五個基本假定本假定。(continuity)象。(homogeneity)各個位置材料的描述是相同的。力學)(isotropy)上具有相同特性，因此，同一位置材料在各個方向上的描述是相同的。(linearelasticity)恢復原狀，因此，描述材料性質的方程是線性方程。小變形(small)假定，即物體變形遠小于物體的幾何尺寸，因此在建立方程時，可以忽略高28階小量()。以抓住問題的實質。平面問題的基本力學方程平面問題(2-dimensionalproblem)，簡稱2D問題。狀況)。如前所述，描述這樣的對象需要三大類變量、三大類方程和邊界條件。三大類方程為·)·)·材料的物理方程(變形體的內部、邊界)邊界條件為·)·)三大類方程之一：力的平衡方程微小體元上的平面應力分量平面空間特殊方向(z)上，因此，認為在沿厚(adxdy_t(t)，如圖3.4()x方向和沿y((normalstress))(shearstress)3.4邊tbc_tad_txdxcd_tab_tydy的距離。下面給出各個側面上的應力定義：P lim x

(3.1)yx A0Ayy其中Ay

表示法線方向沿y軸的平面，P

為作用在A

x方向的分量，若用指標符號來表示，可寫成

。若改變(3.1)式中的下標，可以得到各個側面上沿各個方向的應力。xyyx 21xy3.4bx和byx方向和y方向的(bodyforce)。29xy受力面的法線方向 力的方向圖3.3應力符號的含義圖3.4 空間坐標系中的平面問題(z方向無任何力，其等厚度為在推導平衡方程之前，做好以下準備。準備1：應力的增量計算在推導平衡方程時，需要計算不同位置截面上的應力，不同截面的幾何位置將有一個dx或dy的差別，以xx為例，由高等數學中的Taylor級數展開，有 (xdx,y)

(x,y)

(x,y) 2xx dx xx

(x,y)

(dx)2

(3.2)xx xx略去二階以上微量，有

x 2x2(x,y) (xdx,y)xx

(x,y) xx dxx

(3.3)對應于bc_t 對應于ad_t側面上的正應力側面上的正應準備2：應考慮各個方向合力的平衡在表達各個面上的合力時應注意以下幾點：①有四個側面，在平衡方程中，應考慮所有合力的平衡；②應力在經過dx或dy變化后的位置上有增量表達；③約定：正應力沿外法線方向為正，剪應力的正方向如圖3.4所示；④應力在各個側面上為均勻分布。微小體元的幾個平衡關系對如圖3.4所示的微小體元dxdy_t(平面問題)，應考慮以下平衡關系：①沿x方向所有合力的平衡；30②沿y方向所有合力的平衡；③所有合力關于任一點的力矩平衡。就平衡關系①，有F 0 (3.4)x具體地，有 (xy)dytxx

(x,y)dytxx

(x,ydy)dxtyx

(x,y)dxtbyx

dxdyt0bc_t側面上x方向的合力 ad_t側面上x方向的合力bc_t側面上x方向的合力ad_t側面上x方向的合力cd_t側面上x方向的合力ab_t側面上x方向的合力體積合力(x方向)其中b和b分別為沿x方向和y方向的單位體積力。利用(3.3)式，上式化為x y

xx

xxdxdyt dyt xx yx

yxdydxt x dxtbyx

dxdyt0

(3.5)進一步化簡后，有 xx yxb 0

(3.6)x y x同理，就平衡關系②，由Fy0，有yyxyb

0 (3.7)y x y就平衡關系③(力矩平衡)，對微小體元dxdy_t的中心點求力矩，由Mo0，得

dy dy yx

dy dxt dxtyx y

2 2 dx dx

(3.8) xy

xydx dyt dyt 0 xy x 2 2略去高次項后，有 (3.9)xy yx(reciprocaltheoremofshearstress)程中去。微小體元的平衡方程歸納以上的推導，平面問題的平衡方程為31xx

b 0xyyxy

b 0y

(3.10) xy yx如果代換其中的第三式，則(3.10)式可寫為兩個方程，即xx

b 0x x y

(3.11)yyxyb

0y

y 三大類方程之二：變形的幾何方程設一個變形體微小體元的平面直角在變形前為APB，而變形后為APB，P點變形到P點的x方向位移為u，y方向位移為v，如圖3.5所示。圖3.5 平面問題中的變形表達應變的定義從圖3.5可以看出，平面物體在受力后，其幾何形狀的改變主要在兩個方向：沿各個方向上的長度變化以及夾角的變化，下面給出具體的描述。x方向的相對伸長量為uPAPAxdxu

(3.13)xx PA dx xy方向的相對伸長量為vPBPB dy

(3.14)yy PB dy 定義夾角的變化PA線與PA線的夾角為 vdxv

(3.15)dx PB線與PB線的夾角為32 u u

dyy

u

(3.16)dy y則定義夾角的總變化為

(3.17)xy 平面變形體的幾何方程歸納以上方程，則平面問題中定義應變的幾何方程為 uxx x vyy y

(3.18)xy y 寫成指標形式 1ij 2

i,j

u j,i

(3.19)由幾何方程可以看出，就平面問題，如果已知2uv(3.18)式惟一求出332個位移分量u和3個應變分量滿足一定的關系(compatibility其物理意義是，材料在變形過程中應是整體連續(xù)的，不應出現(xiàn)“撕裂”和“重疊”現(xiàn)象，如圖3.6所示。(a)變形前 (b)變形后的“撕裂”現(xiàn)象 (c)變形后“重疊”現(xiàn)象(d)協(xié)調的變形狀圖3.6 變形的協(xié)調性基于幾何方程，可以推導出變形協(xié)調條件為xxy2

yyx2

3uy2

3vx2y

(3.20)2 u v 2

xyy x 2即 xx

2

2 xy

(3.21)y2

x

xy只有滿足了變形協(xié)調條件(3.21)的應變分量或應力分量(該方程也可通過物理方程用應力分量來表33達)，才能惟一確定變形體的連續(xù)位移場。三大類方程之三：材料的物理方程材料的物理方程也叫做材料的應力應變關系或本構方程。根據廣義 Hooke定律Hookelaw)，平面應力情況下的物理方程為E 1Exx xx 1yy E

yy xx

(3.22) 1xy G xy 寫成矩陣形式為：

1 E E 1

0 0 x y E E

yxy 0

0

)

xy或逆形式

E E xx 12

xx yy Eyy 1

yy xx

(3.23) xy

xy 其中E(elasticmodulus)modulus)，G(Shearmodulus)，為泊松比(Poission’sratio)，且有關系G E2)

(3.24)邊界條件Su p 邊界條件(boundaryBC=S+S，其中SSu p p位移邊界條件在平面問題中，有關于x方向和y方向的位移邊界條件，即34uu

在S上 (3.25)vv u其中u和vSuxy為給定的位移邊界。力的邊界條件對于如圖3.7所示的力邊界條件，p和p 可分為所作用的沿x方向和y方向的面力在力的邊x y界上取微小體元dxdy_t(平面問題)并考察它的平衡問題。圖3.7 邊界條件由微小體元的x方向合力平衡，有 dytxx

dxtpx

dst0 (3.26)注意ds為邊界上斜邊的長度，邊界外法線n的方向余弦為n dy/ds，n dx/ds，則上式簡化為x y nxx x

n pyx y x

(3.27)同樣，可建立y方向合力和力矩的平衡方程；將微小體元的三個平衡方程匯總，有 nxx x

nyx

pxnyy y

nxy

p 在S上y p

(3.28)xy yx其中S為給定的力邊界，由于 ，則重寫上式，有p xy yx nxx x

nyx

px 在S上

(3.29) nyy y

nxy

p py邊界條件匯總將位移邊界條件記為BC(u)，將力邊界條件記為BC(p)。綜上所述，將邊界條件寫成指標形式。BC(u)

u u 在S上i i u

(3.30)BC(p)

n pij j

在S上p

(3.31)n其中為邊界一點上外法線的方向余弦。nj35空間問題的基本力學方程空間問題(3-dimensionalproblem)，簡稱3D問題?？蓪?D問題的基本方程推廣到3D問題，圖3.8為3D情形下的應力分量。圖3.8 空間問題中的應力分量空間問題的基本力學變量xy方向、zv，w)，而應力分量有9個，見圖3.8，由剪應力互等，有 ， ， ，因此獨立xy yx yz zy zx xz的應力分量為6個，應變分量的情況與應力相同，空間問三大類變匯總如下位移分量v w應變分量：xx應力分量：xx

yy zzyy

xyxy

yzyz

zxzx空間問題的三大類力學方程和邊界條件可以完全按平面問題的推導方法，或直接將2D情形下的方程進行擴展得到以下方程。平衡方程xx

b 0 xx y z xyyyzy

0

(3.32)x y z y xz

zzb 0 x y z z 幾何方程36 u, xx x

v, y

w z v u w v w u

(3.33) , , xy x y yz y z zx x z) 1xx E

yy

zz1 yy E

xx

zz 1

(3.34) zz E

xx yy 1 ,xy G xy

1 , G yz

1 G zx 或寫成另一種形式 Exx 12 Eyy 12 E

xx yyyy xx

zz zz

(3.35)zz 12 zz xx yy G ,xy xy

G , yz

G zx(BC)位移邊界條件BC(u)uuvvww

在S上 u

(3.36)力邊界條件BC(p) n nxx x yx

n p zx z xnxy x

nyy

n p zy z y

在S上 (3.38)pnxz x

n yz y

n pzz z z以上變量和方程是針對從任意變形體中所取出來的dxdydz微小體元來建立的，因此，無論所研究對象)和邊界條件BC(u)及BC(p)如何處理變形體的幾何形狀和邊界條件。37彈性問題中的能量表示彈性問題中的自然能量包括兩類：①施加外力在可能位移上所做的功，②變形體由于變形而存儲的能量。(余能()等，下面分別給出具體的表達式。外力功的和(workbyforce)包括這兩部分力在可能位移上所做的功。①在力邊界條件上，由外力(面力)p在對應位移u上所做的功(在S上)。i i p②在問題內部，由體積力b在對應位移u上所做的功（在內）i i則外力的總功為W

(bubx

vby

w)dpupS x p

vpz

wdA

(3.39) bu i i

d

pudAS i ip應變能)(strain。3D與應變的對應關系為 xx

zz xy

zx xx yy

xy yz zx變的應變能。下面分別討論這兩種情形下應變能計算。對應于正應力與正應變的應變能3.9Oxy平面內考察由于主應力和主應變的作用所產生的應變能。設在微小體元d=dxdydz上只作用 與，這時微體的厚度為dz，則由圖3.9中的力與位移的關系，即F~uxx xx曲線(可由試驗所得)，可求得微體上的應變能為U(,)

1Fu12 2

xx

dx)1xx 2

dxx xx

(3.40)則在整個物上， xx

所產生的應變能為U

1 d

(3.41)(,)

(,)

2 xx xx38圖3.9 正應力與正應變產生的應變能(另外兩個方向上的主應力和主應變(yy

，yy

所產生的應變能與上面的計算公式類似。)zz)對應于剪應力與剪應變的應變能xy3.10dxdydzxy

與，這xydz時微體的厚度為，由于dzxy

是剪應力對，即為xy

和，將其分解為兩組情況分別計算變形能，如圖yx3.10所示。由 與 的作用，在微體上產生的應變能力xy xyU(,)xy

12

dxdzyx

12

dydzdxxy

(3.42)12

yx

1 d2 xy xy圖3.10 剪應力與剪應變產生的應變能在整個物體上，xy

與 所產生的應變能為xyU 1

d (3.43),)xy 2 xy xy另外的剪應力和剪應變( 與 ， 與 )所產生的應變能與上面的計算公式類似。yz yz zx zx整體應變能由疊加原理，將各個方向的正應力與正應變、剪應力與剪應變所產生的應變能相加，可得到整體應變能U1 2

xxxx

yy

zz

xy

zx

yz yz

(3.44)若用指標形式來寫變形體的應變能，則有

(3.45)39系統(tǒng)的勢能對于受外力作用的變形體，基于它的外力功(3.39)和應變能(3.44)的表達，定義系統(tǒng)的勢能(Potentialenergy)為IIUW12

xxxx

yy

zz

xy

yz

du x

vby

ux Sp

vp

wdAz

(3.46)1dbudpudA2 ij

i

S ii3.6 虛功方程條件的任何可能的無限小位移，虛位移不改變物體上原有外力的作用。物體上的外力在虛位移上所。對于剛體，作用在其上的平衡力系在任意虛位移上的總虛功必等于零，這就是剛體的虛位移原理。實際上，它是以功的形式表達的剛體平衡條件。方程推導出來的，因此，理解虛功方程的實質，對于今后理解、推導單元的剛度矩陣、載荷向節(jié)點的移置等很有幫助。vx3.11所示。該物體是在體積力分量F、vxFF 的作用下、在自由邊界c上所受表面上的分量為F、F 、F的作用下、在約束邊界c的vy vz 1 x y z 2作用下，處于平衡狀態(tài)?？梢韵胂?，在以上載荷作用下，物體肯定發(fā)生了變形，在物體內部肯定引起了真實的應力： x y

z xy

yz zx

T。顯然，物體就是在這樣一種條件下，處于平衡狀態(tài)，每個微單元體上的力系也都是一個平衡力系。40圖3.11 現(xiàn)在設想該變形體發(fā)生了任意的虛位移{f*}u* v* w*T，相應的虛應變 *}**x y

** *z xy yz

*Tzx

，我們來計算相應的虛功。我們可以從兩個方面著手來計算虛功。一個是從整體的角度，計算變形體上的外力在相應的虛位移上的虛功；另一個是從微觀的角度，計算每一個微單元體上的力在相應的虛位移上的虛功，然后積分求和，得到總的虛功，再根據從這兩個角度計算得到的虛功相等這一條件來得到虛功方程。整體的角度：作用在微單元體上的平衡力系中有體積力和各側面上的應力組成的力系，因此，作用在所有微單元體上的力系的虛功之總和W*也相應地由兩部分組成：總W*W*總 體

W*側面力F式中，體力的總虛功W* F

u*F v*F

w*

；微單元體各側面力的總虛W* 。又體力 V

vy vz

側面力可分為兩部分：一部分是物體內部相鄰單元體公共側面上的側面力的總虛功，另一部分是物體邊界c2上的虛位移為零，所以相應的側面力的虛功也

用的自由邊界c1 上的表面力虛功不為零，故有W*

Fu*

Fv*

Fw*dA。因此：側面力

x y z W*(Fu*Fv*Fw*)dVFu*Fv*F

w*dA(3.47)總 V vx vy vz x y z微觀的角度：因為每個微單元體的虛位移可以分解剛體虛位移和變形虛位移兩部分，所以W*也總相應地由兩部分組成：W*W*總 剛

W*變形式中，平衡力系在剛體虛位移上的總虛功W*剛體

0，只有在變形虛位移上的總虛功W*變形

0。3.12aydxdzy向虛變形位移*dy上所作的虛變形功為

y*dxdydzxz方向還有y

y*dxdydz和x x

y*dxdydz。由圖3.1