工程力學(xué)靜力學(xué)與材料力學(xué)-A-彎曲強(qiáng)度剪力圖與彎矩

范欽珊教育與教學(xué)工作室Wednesday,December14,2022工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué)）課堂教學(xué)軟件(7)返回總目錄第7章A

彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)返回總目錄桿件承受垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時(shí)，其軸線將彎曲成曲線，這種受力與變形形式稱為彎曲（bending）。主要承受彎曲的桿件稱為梁（beam）。

在外力作用下，梁的橫截面上將產(chǎn)生剪力和彎矩兩種內(nèi)力。在很多情形下，剪力和彎矩沿梁長度方向的分布不是均勻的。對梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，需要知道哪些橫截面可能最先發(fā)生失效，這些橫截面稱為危險(xiǎn)面。彎矩和剪力最大的橫截面就是首先需要考慮的危險(xiǎn)面。研究梁的變形和剛度雖然沒有危險(xiǎn)面的問題，但是也必須知道彎矩沿梁長度方向是怎樣變化的。

第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

彎曲時(shí)，由于橫截面上應(yīng)力非均勻分布，失效當(dāng)然最先從應(yīng)力最大點(diǎn)處發(fā)生。因此，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算不僅要考慮內(nèi)力最大的“危險(xiǎn)截面”，而且要考慮應(yīng)力最大的點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為“危險(xiǎn)點(diǎn)”。絕大多數(shù)細(xì)長梁的失效，主要與正應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)力的影響是次要的。本章將主要確定梁橫截面上正應(yīng)力以及與正應(yīng)力有關(guān)的強(qiáng)度問題。本章首先介紹如何建立剪力方程和彎矩方程；怎樣根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖與彎矩圖，討論載荷、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系及其在繪制剪力圖和彎矩圖中的應(yīng)用；然后應(yīng)用平衡、變形協(xié)調(diào)以及物性關(guān)系，建立確定彎曲的應(yīng)力和變形公式；最后介紹彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)方法。

第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

工程中的彎曲構(gòu)件剪力方程與彎矩方程載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系梁的內(nèi)力及其與外力的相互關(guān)系剪力圖與彎矩圖結(jié)論與討論第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

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返回工程中可以看作梁的桿件是很多的:橋式吊車的大梁可以簡化為兩端餃支的簡支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布載荷q)的作用下,大梁將發(fā)生彎曲。

工程中的彎曲構(gòu)件

第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

工程中可以看作梁的桿件是很多的:石油、化工設(shè)備中各種直立式反應(yīng)塔，底部與地面固定成一體，因此，可以簡化為一端固定的懸臂梁。在風(fēng)力載荷作用下，反應(yīng)塔將發(fā)生彎曲變形。

工程中的彎曲構(gòu)件

第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

工程中可以看作梁的桿件是很多的:火車輪軸支撐在鐵軌上，鐵軌對車輪的約束，可以看作鉸鏈支座，因此，火車輪軸可以簡化為兩端外伸梁。由于軸自身重量與車廂以及車廂內(nèi)裝載的人與貨物的重量相比要小得多，可以忽略不計(jì)，因此，火車輪軸將發(fā)生彎曲變形。工程中的彎曲構(gòu)件

第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

屋頂大梁上的孔為什么開在中間？上、下兩邊各開一個(gè)半圓孔可以嗎？工程中的彎曲構(gòu)件

第7章A彎曲強(qiáng)度(1)－剪力圖與彎矩圖

梁為什么做做成變截面面的？孔開在哪里里最合理?梁為什么可可以開孔？？工程中的彎彎曲構(gòu)件第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖梁的內(nèi)力及及其與外力力的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖返回梁的內(nèi)力及及其與外力力的相互關(guān)關(guān)系應(yīng)用平衡的的概念和截截面法，不不僅可以確確定梁上任任意橫截面面上的內(nèi)力力——剪力力和彎矩，，而且可以以確定剪力力和彎矩沿沿梁長度方方向的變化化規(guī)律。平衡包括：：整體平衡衡和局部平平衡。第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖剛體平衡概概念的擴(kuò)展展和延伸：：總體平衡衡，則其任任何局部也也必然是平平衡的?？傮w平衡與與局部平衡衡的概念梁的內(nèi)力及及其與外力力的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剛體平衡衡概念的的擴(kuò)展和和延伸：：總體平平衡，則則其任何何局部也也必然是是平衡的的?？傮w平衡衡與局部部平衡的的概念梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖應(yīng)用截面面法可以以確定桿桿件任意意橫截面面上的內(nèi)力分量量用假想截截面從所所要求的的截面處處將桿截截為兩部部分考察其中中任意一一部分的的平衡由平衡方方程求得得橫截面面的內(nèi)力力分量FQM梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖應(yīng)用截面面法和平平衡的概概念，不不難證明明：當(dāng)梁梁上的外外力（包包括載荷荷與約束束力）沿沿桿的軸軸線方向向發(fā)生突突變時(shí)，，剪力和和彎矩的的變化規(guī)規(guī)律也將將發(fā)生變變化。所謂外力力突變，，是指有有集中力力、集中中力偶作作用，以以及分布布載荷間間斷或分分布載荷荷集度發(fā)發(fā)生突變變的情形形。梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖某一截面面上的內(nèi)內(nèi)力與作作用在該該截面一一側(cè)局部部桿件上上的外力力相平衡衡；在載荷無無突變的的一段桿桿的各截截面上內(nèi)內(nèi)力按相相同的規(guī)規(guī)律變化化；桿件內(nèi)力力變化的的一般規(guī)規(guī)律梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖根據(jù)以上上分析，，不難得得到結(jié)論論：桿件各截截面上內(nèi)內(nèi)力變化化規(guī)律隨隨著外力力的變化化而改變變。梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖所謂剪力力和彎矩矩變化規(guī)規(guī)律是指指表示剪剪力和彎彎矩變化化的函數(shù)數(shù)或變化化的圖線線。這表表明，如如果在兩兩個(gè)外力力作用點(diǎn)點(diǎn)之間的的梁上沒沒有其他他外力作作用，則則這一段段梁所有有橫截面面上的剪剪力和彎彎矩可以以用同一一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)方程或或者同一一圖線描描述。梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖描述內(nèi)力力變化規(guī)規(guī)律有兩兩種方法法：1.數(shù)數(shù)學(xué)方程程——剪剪力方程程與彎矩矩方程；；2.圖圖形———剪力圖圖與彎矩矩圖。兩種描述述方法都都要：1.確確定變化化區(qū)間；；2.遵遵循正負(fù)負(fù)號規(guī)則則。梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖根據(jù)以上上分析，，在一段段桿上，，內(nèi)力按按某一種種函數(shù)規(guī)規(guī)律變化化，這一一段桿的的兩個(gè)端端截面稱稱為控制制面（controlcross-section））。據(jù)此此，下列列截面均均可為控控制面：：集中力作作用點(diǎn)的的兩側(cè)截截面；集中力偶偶作用點(diǎn)點(diǎn)的兩側(cè)側(cè)截面；；均布載荷荷（集度度相同））起點(diǎn)和和終點(diǎn)處處的截面面。變化區(qū)間間——控制面梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖外力規(guī)律律發(fā)生變變化截面面——集集中力、、集中力力偶作用用點(diǎn)、分分布荷載載的起點(diǎn)點(diǎn)和終點(diǎn)點(diǎn)處的橫橫截面。。變化區(qū)間間——控制面梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剪力與彎彎矩的正正負(fù)號規(guī)規(guī)則剪力FQ(FQy或FQz)的確定：使截開部分桿件產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動者為正；逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動者為負(fù)。

FQFQ彎矩M(My或Mz)的確定：使梁產(chǎn)生上凹、下凸變形的彎矩為正；反之為負(fù)。

梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FNFNFQFQ梁的內(nèi)力力及其與與外力的的相互關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖返回剪力方程程與彎矩矩方程指定橫截截面上彎彎矩和剪剪力的確確定剪力方程程和彎矩矩方程的的建立第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖指定橫截截面上彎彎矩和剪剪力的確確定剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖應(yīng)用截面面法確定定某一指指定橫截截面上的的剪力和和彎矩，，首先，，需要用用假想橫橫截面從從指定橫橫截面處處將梁截截為兩部部分。然然后，考考察其中中任意一一部分的的受力，，由平衡衡條件，，即可得得到該截截面上的的剪力和和彎矩。。剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FPll例題1ABCD一端固定定另一端端自由的的梁，稱稱為懸臂梁(cantileverbeam)。梁承承受集中中力FP及集中力力偶MO的作用。MO=2FPl試確定:截面C及截面D上的剪力力和彎矩矩。C、D截面與加加力點(diǎn)無無限接近近。剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FPFPllABCDMO=2FPl解：1.應(yīng)應(yīng)用靜力力學(xué)平衡衡方程確確定固定端的約束力力。2.應(yīng)應(yīng)用截面面法確定定C截面上的的內(nèi)力分分量用假想截截面將梁梁C截面處截截開，以以左邊部部分為平平衡對象象。因?yàn)橥饬αεc梁軸軸線都在在同一平平面內(nèi)，，而且沒沒有沿桿桿件軸線線方向的的外力作作用，所所以橫截截面上沒沒有軸力力和扭矩矩，只有有剪力和和彎矩兩兩種內(nèi)力力分量。。MA＝0AClFPMA＝0剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：2.應(yīng)應(yīng)用截面面法確定定C截面上的的內(nèi)力分分量CAFPlMA＝0假設(shè)截開開橫截面面上的剪剪力和彎彎矩均為為正方向向。根據(jù)據(jù)截開的的局部平平衡建立立平衡方方程：所得結(jié)果果均為正正值，這這表明所所假設(shè)的的C截面上的的剪力和和彎矩的的正方向向是正確確的。剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：3.應(yīng)應(yīng)用截面面法確定定D截面上的的內(nèi)力分分量AFPMA＝0llMO=2FPlD用假想截截面將梁梁D截面處截截開，以以左邊部部分為平平衡對象象。剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl解：3.應(yīng)應(yīng)用截面面法確定定D截面上的的內(nèi)力分分量假設(shè)截開開橫截面面上的剪剪力和彎彎矩均為為正方向向。根據(jù)據(jù)截開的的局部平平衡建立立平衡方方程：因?yàn)镈截面無限限接近B截面，所所以式中中MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD剪力方程程與彎矩矩方程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖解：4.討論論本例中所選選擇的研究究對象都是是C、D截面以左部部分梁，因因而需要首首先確定左左端的約束束力。如果果以C、D截面以右部部分梁作為為平衡對象象，則無需需確定約束束力，計(jì)算算過程會更更簡單。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl例題1剪力方程和和彎矩方程程的建立剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖為了建立剪剪力方程和和彎矩方程程，必須首首先建立Oxy坐標(biāo)系，其其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，x坐標(biāo)軸與梁梁的軸線一一致，坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)O一般取在梁梁的左端，，x坐標(biāo)軸的正正方向自左左至右，y坐標(biāo)軸鉛垂垂向上。建立剪力方方程和彎矩矩方程時(shí)，，需要根據(jù)據(jù)梁上的外外力(包括括載荷和約約束力)作作用狀況，，確定控制制面，從而而確定要不不要分段，，以及分幾幾段建立剪剪力方程和和彎矩方程程。確定了分段段之后，首首先，在每每一段中任任意取一橫橫截面，假假設(shè)這一橫橫截面的坐坐標(biāo)為x；然后從這這一橫截面面處將梁截截開，并假假設(shè)所截開開的橫截面面上的剪力力FQ(x)和彎矩M(x)都是正方向向；最后分分別應(yīng)用力力的平衡方方程和力矩矩的平衡方方程，即可可得到剪力力FQ(x)和彎矩M(x)的表達(dá)式，，這就是所所要求的剪剪力方程FQ(x)和彎矩方程程M(x)。剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖建立剪力方方程和彎矩矩方程的方法與過程，實(shí)際上與前前面所介紹紹的確定指指定橫截面面上的剪力力和彎矩的的方法和過過程是相似似的，所不不同的，現(xiàn)現(xiàn)在的指定定橫截面是是坐標(biāo)為x的橫截面。。需要特別注注意的是，，在剪力方方程和彎矩矩方程中，x是變量，而FQ(x)和M(x)則是x的函數(shù)。剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖圖與彎彎矩圖圖剪力方方程與與彎矩矩方程程第7章章A彎彎曲曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖圖與彎彎矩圖圖例題題2懸臂梁梁在B、C兩處分分別承承受集集中力力FP和集中中力偶偶M＝2FPl的作用。。梁的的全長長為2l。試寫出出：梁的剪剪力方方程和和彎矩矩方程程。FPllABCMO=2FPl剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖解：1．確定控制面面和分段本例將通過過考察截開開截面的右右邊部分平平衡建立剪剪力方程和和彎矩方程程，因此可可以不必確確定左端的的約束力。。2．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端端A為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系。由于梁在固固定端A處作用有約約束力、自自由端B處作用有集集中力、中中點(diǎn)C處作用有集集中力偶，，所以，截截面A、B、C均為控制面面。因此，，需要分為為AC和CB兩段建立剪剪力和彎矩矩方程。FPllABMO=2FPlCOyx剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖解：3．建立剪力方方程和彎矩矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB兩段分別以以坐標(biāo)為x1和x2的橫截面將將梁截開，，并在截開開的橫截面面上，假設(shè)設(shè)剪力FQ(x1)、FQ(x2)和彎矩M(x1)、M(x2)都是正方方向，然后后考察截開開的右邊部部分梁的平平衡，由平平衡方程即即可確定所所需要的剪剪力方程和和彎矩方程程。剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖解：3．建立剪力方方程和彎矩矩方程FQ(x)M(x)對于AC段梁的剪力力和彎矩方方程，在x1處截開后，，考察右邊邊部分的平平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB根據(jù)平衡方方程x1剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖解：3．建立剪力方方程和彎矩矩方程得到AC段的剪力方程程與彎矩方方程：FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CB剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖FQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方方程和彎矩矩方程得到CB段的剪力方程程與彎矩方方程：FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B上述結(jié)果表表明，AC段和CB段的剪力方方程是相同同的；彎矩矩方程不同同，但都是是x的線性函數(shù)數(shù)。對于CB段梁的剪力力和彎矩方方程，在x2處截開后，，考察右邊邊部分的平平衡。根據(jù)平衡方方程x2一端為固定定鉸鏈支座座、另一端端為輥軸支支座的梁，，稱為簡支梁(simplesupportedbeam)。梁上承承受集度為為q的均布載荷荷作用，梁梁的長度為為2l。試寫出：該梁的剪力力方程和彎彎矩方程。。qllBAC例題3剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖解：1．確定約束力力llBACqFRBFRA因?yàn)橹挥秀U鉛垂方向的的外力，所所以支座A的水平約束束力等于零零。又因?yàn)闉榱旱慕Y(jié)構(gòu)構(gòu)及受力都都是對稱的的，故支座座A與支座B處鉛垂方向向的約束力力相同。于是，根據(jù)據(jù)平衡條件件不難求得得：剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖Oyx解：2．確定控制面面和分段因?yàn)榱荷现恢蛔饔糜羞B連續(xù)分布載載荷(載荷荷集度沒有有突變)，，沒有集中中力和集中中力偶的作作用，所以以，從A到B梁的橫截面面上的剪力力和彎矩可可以分別用用一個(gè)方程程描述，因因而無需分分段建立剪剪力方程和和彎矩方程程。llBACqFRBFRA3．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端端A為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖xxFRAFQ(x)M(x)OyxllBACqFRBFRA解：4．確定剪力方方程和彎矩矩方程由左段梁的的平衡條件件以A、B之間坐標(biāo)為為x的任意截面面為假想截截面，將梁梁截開，取取左段為研研究對象，，在截開的的截面上標(biāo)標(biāo)出剪力FQ(x)和彎矩M(x)的正方向向。剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖OyxllBACqFRBFRA解：4．確定剪力方方程和彎矩矩方程由左段梁的的平衡條件件得到梁的剪剪力方程和和彎矩方程分別為這一結(jié)果表表明，梁上上的剪力方方程是x的線性函數(shù)數(shù)；彎矩方方程是x的二次函數(shù)數(shù)。xFQ(x)M(x)FRA剪力方程與與彎矩方程程第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖載荷集度、、剪力、彎彎矩之間的的微分關(guān)系第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖返回繪制剪力圖圖和彎矩圖圖有兩種方方法：第一種方法法是：根據(jù)剪剪力方程和和彎矩方程程，在FQ-x和M-x坐標(biāo)系中首首先標(biāo)出剪剪力方程和和彎矩方程程定義域兩兩個(gè)端點(diǎn)的的剪力值和和彎矩值，，得到相應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)；然然后按照剪剪力和彎矩矩方程的類類型，繪制制出相應(yīng)的的圖線，便便得到所需需要的剪力力圖與彎矩矩圖。載荷集度、、剪力、彎彎矩之間的的微分關(guān)系系第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖繪制剪力圖圖和彎矩圖圖的第二種種方法是：先在FQ-x和M-x坐標(biāo)系中標(biāo)標(biāo)出控制面面上的剪力力和彎矩?cái)?shù)數(shù)值，然后后應(yīng)用載荷荷集度、剪剪力、彎矩矩之間的微微分關(guān)系，，確定控制制面之間的的剪力和彎彎矩圖線的的形狀，因因而無需首首先建立剪剪力方程和和彎矩方程程。載荷集度、、剪力、彎彎矩之間的的微分關(guān)系系第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖根據(jù)相距dx的兩個(gè)橫截截面截取微微段的平衡衡，可以得得到載荷集集度、剪力力、彎矩之之間存在下下列的微分分關(guān)系：載荷集度、、剪力、彎彎矩之間的的微分關(guān)系系第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖將FQ(x)對x求一次導(dǎo)數(shù)數(shù)，將M(x)對x求一次和和二次導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，得得到OyxllBACqFRBFRA載荷集度度、剪力力、彎矩矩之間的的微分關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖式中等號號右邊的的負(fù)號，，是由于于作用在在梁上的的均布載載荷是向向下的。。因此規(guī)規(guī)定：對于向上上的均布布載荷，，微分關(guān)關(guān)系式中中的載荷荷集度q為正值；；對于向向下的均均布載荷荷，載荷荷集度q為負(fù)值。載荷集度度、剪力力、彎矩矩之間的的微分關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖上述微分分關(guān)系，，也說明明剪力圖圖和彎矩矩圖圖線線的幾何何形狀與與作用在在梁上的的載荷集集度有關(guān)關(guān)。載荷集度度、剪力力、彎矩矩之間的的微分關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剪力圖的的斜率等等于作用用在梁上上的均布布載荷集集度；彎彎矩圖在在某一點(diǎn)點(diǎn)處的斜斜率等于于對應(yīng)截截面處剪剪力的數(shù)數(shù)值。如果一段段梁上沒沒有分布布載荷作作用，即即q＝0，這這一段梁梁上剪力力的一階階導(dǎo)數(shù)等等于零，，彎矩的的一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)等于于常數(shù)，，因此，，這一段段梁的剪剪力圖為為平行于于x軸的水平平直線；；彎矩圖圖為斜直直線。如果一段段梁上作作用有均均布載荷荷，即q＝常數(shù)，，這一段段梁上剪剪力的一一階導(dǎo)數(shù)數(shù)等于常常數(shù)，彎彎矩的一一階導(dǎo)數(shù)數(shù)為x的線性函函數(shù)，因因此，這這一段梁梁的剪力力圖為斜斜直線；；彎矩圖圖為二次次拋物線線。彎矩圖二二次拋物物線的凸凸凹性與與載荷集集度q的正負(fù)有有關(guān)：當(dāng)當(dāng)q為正(向向上)時(shí)時(shí)，拋物物線為凹凹曲線，，凹的方方向與M坐標(biāo)正方方向一致致，：當(dāng)當(dāng)q為負(fù)(向向下)時(shí)時(shí)，拋物物線為凸凸曲線，，凸的方方向與M坐標(biāo)正方方向一致致。載荷集度度、剪力力、彎矩矩之間的的微分關(guān)關(guān)系第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖返回作用在梁梁上的平平面載荷荷如果不不包含縱縱向力，，這時(shí)梁梁的橫截截面上只只有剪力力FQ和彎矩M兩種內(nèi)力力分量。。表示剪剪力和彎彎矩沿梁梁軸線方方向變化化的圖形形，分別別稱為剪剪力圖（（diagramofshearingforces）和彎矩矩圖（diagramofbendingmoment）。剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖剪力圖與與彎矩圖圖的繪制制方法與與軸力圖圖和扭矩矩圖大體體相似，，但略有有差異。。主要步步驟如下下：根據(jù)載荷荷及約束束力的作作用位置置，確定定控制面面。應(yīng)用截面面法確定定控制面面上的剪剪力和彎彎矩?cái)?shù)值值(假定定剪力和和彎矩都都為正方方向)。。建立FQ-x和M–x坐標(biāo)系，，并將控控制面上上的剪力力和彎矩矩值標(biāo)在在相應(yīng)的的坐標(biāo)系系中。應(yīng)用平衡衡微分方方程確定定各段控控制面之之間的剪剪力圖和和彎矩圖圖的形狀狀，進(jìn)而而畫出剪剪力圖與與彎矩圖圖。剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖FA簡支梁受受力的大大小和方方向如圖圖所示。。例題41kN.m2kN1.5m1.5m1.5m試畫出：：其剪力圖圖和彎矩矩圖,并并確定剪剪力和彎彎矩絕對對值的最最大值。。解：1．確定約束束力求得A、B兩處的約約束力FRA＝0.89kN,FRF＝1.11kNFRAFRF根據(jù)力矩矩平衡方方程剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖解：2．確定控制制面在集中力力和集中中力偶作作用處的的兩側(cè)截截面以及及支座反反力內(nèi)側(cè)側(cè)截面均均為控制制面，即即A、B、C、D、E、F各截面均均為控制制面。3．建立坐標(biāo)標(biāo)系建立FQ-x和M-x坐標(biāo)系。。xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEFA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFFRA剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖5．根據(jù)微分分關(guān)系連連圖線因?yàn)榱荷仙蠠o分布布載荷作作用，所所以剪力力FQ圖形均為為平行于于x軸的直線線。xFQ/kNOxM/kN.mO解：4．應(yīng)用截面面法確定定控制面面上的剪剪力和彎彎矩值，，并將其其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中中。1.11f0.89dd,e1.665f0b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA彎矩M圖形均為為斜直線線。于是是，順序序連接FQ－x和M－x坐標(biāo)系中中的a、b、c、d、e、f各點(diǎn)，便便得到梁梁的剪力力圖與彎彎矩圖。。剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎曲曲強(qiáng)度(1)－－剪力圖圖與彎矩矩圖c0.335xFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRAc0.3355．確定剪力與彎彎矩的最最大絕對對值從圖中不不難得到到剪力與與彎矩的的絕對值值的最大大值分別別為(發(fā)生在在EF段)(發(fā)生在在D、E截面上)剪力圖與與彎矩圖圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖從所得到的的剪力圖和和彎矩圖中中不難看出出AB段與CD段的剪力相相等，因而而這兩段內(nèi)內(nèi)的彎矩圖圖具有相同同的斜率。。此外，在集集中力作用用點(diǎn)兩側(cè)截截面上的剪剪力是不相相等的，而而在集中力力偶作用處處兩側(cè)截面面上的彎矩矩是不相等等的，其差差值分別為為集中力與與集中力偶偶的數(shù)值，，這是維持持DE小段和BC小段梁的平平衡所必需需的。建議大家自自行驗(yàn)證。。剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖xFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRAc0.335例題5qBADa4aqaFAyFBy梁由一個(gè)固固定鉸鏈支支座和一個(gè)個(gè)輥軸支座座所支承，，但是梁的的一端向外外伸出，這這種梁稱為為外伸梁(overhangingbeam)。梁的受受力以及各各部分尺寸均示于圖中中。試畫出：其剪力圖和和彎矩圖,并確定剪剪力和彎矩矩絕對值的的最大值。。解：1．確定約束力力根據(jù)梁的整整體平衡，，由求得A、F兩處的約束束力剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖qBADa4aqaFAyFByCOxFQOxM解：2．確定控制面面由于AB段上作用有有連續(xù)分布布載荷，故故A、B兩個(gè)截面為為控制面，，約束力FBy右側(cè)的C截面，以及及集中力qa左側(cè)的D截面，也都都是控制面面。3．建立坐標(biāo)系系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖qaqBADa4aFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2解：4．確定控制面面上的剪力力和彎矩值值，并將其其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。。剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖OxFQOxMdqaqBADa4aFAyFBy5．根據(jù)微分關(guān)關(guān)系連圖線線對于剪力圖圖：在AB段上，因有有均布載荷荷作用，剪剪力圖為一一斜直線，，于是連接接a、b兩點(diǎn)，即得得這一段的的剪力圖；；在CD段，因無分分布載荷作作用，故剪剪力圖為平平行于x軸的直線，，由連接c、d二點(diǎn)而得，，或者由其其中任一點(diǎn)點(diǎn)作平行于于x軸的直線而而得到。剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2OxFQOxMd5．根據(jù)微分關(guān)關(guān)系連圖線線對于彎矩圖圖：在AB段上，因有有均布載荷荷作用，圖圖形為二次次拋物線。。又因?yàn)閝向下為負(fù)，，彎矩圖為為凸向M坐標(biāo)正方向向的拋物線線。于是，，AB段內(nèi)彎矩圖圖的形狀便便大致確定定。為了確確定曲線的的位置，除除AB段上兩個(gè)控控制面上彎彎矩?cái)?shù)值外外，還需要要確定在這這一段內(nèi)二二次拋物線線有沒有極極值點(diǎn)，以以及極值點(diǎn)點(diǎn)的位置和和極值點(diǎn)的的彎矩?cái)?shù)值值。從剪力力圖上可以以看出，在在e點(diǎn)剪力為零零。剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖eeEqaqBADa4aFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2OxFQOxMdqAExE6．確定彎矩圖圖極值點(diǎn)的的位置81qa2/32剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖eeEqaqBADa4aFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2OxFQOxMd7．確定剪力與彎矩矩的最大絕絕對值從圖中不難難得到剪力力與彎矩的的絕對值的的最大值分分別為剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖81qa2/32eeEqaqBADa4aFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2OxFQOxMd注意到在右邊邊支座處，，由于有約束力的作作用，該處處剪力圖有有突變（支支座兩側(cè)截截面剪力不不等），彎矩圖在該該處出現(xiàn)折折點(diǎn)（彎矩矩圖的曲線線段在該處處的切線斜斜率不等于于斜直線cd的斜率）。。剪力圖與彎彎矩圖第7章A彎彎曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖與彎彎矩圖81qa2/32eeEqaqBADa4aFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2OxFQOxMdxQFQxqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq例題題6剪力圖圖與彎彎矩圖圖第7章章A彎彎曲曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖圖與彎彎矩圖圖qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例題題7剪力圖圖與彎彎矩圖圖第7章章A彎彎曲曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖圖與彎彎矩圖圖qqFQ例題題8剪力圖圖與彎彎矩圖圖第7章章A彎彎曲曲強(qiáng)度度(1)－剪剪力圖圖與彎彎矩圖圖剪力圖圖與彎彎矩圖圖的繪繪制方方法小小結(jié)：：根據(jù)載載荷及及約束束力的的作用用位置置，確確定控控制面面。應(yīng)用截截面法法確定定控制制面上上的剪剪力和和彎矩矩?cái)?shù)值值(假假定剪剪力和和彎矩矩都為為正方方向)。建立FQ一x和M一x坐標(biāo)系系，并并將控控制面面上的的剪力力和彎彎矩值值標(biāo)在在相應(yīng)應(yīng)的坐坐標(biāo)系系中。。應(yīng)用平平衡微微分方方程確確定各各段控控制面面之間間的剪剪力圖圖和彎彎矩圖圖的形形狀，，進(jìn)而