無窮小量與無窮大量階的比較課件

數(shù)學(xué)分析1定義:極限為零的變量稱為無窮小定義1如果對于任意給定的正數(shù)E(不論它多么小),總存在正數(shù)δ(或正數(shù)X),使得對于適合不等式0<x-x<8(或x>X)的一切x,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式f(x)<e那末稱函數(shù)∫(x)當(dāng)x→>x0(或x→∞)時為無窮小記作limf(x)=0(或limf(x)=0)x→x0x→0例如,liminx=0,∴函數(shù)sinx是當(dāng)x→時的無窮小數(shù)學(xué)分析1數(shù)學(xué)分妮lim函數(shù)是當(dāng)x→∞時的無窮小x→0xlim=0,∴數(shù)列(-1)是當(dāng)n→∞時的無窮小注意1稱函數(shù)為無窮小,必須指明自變量的變化過程;2無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;3零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)數(shù)學(xué)分妮2數(shù)學(xué)分析2無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1limf(x)=A分f(x)=A+a(x)其中α(x)是當(dāng)x→x0時的無窮小證必要性設(shè)limf(x)=A,令a(x)=f(x)-A,x→x0則有l(wèi)ima(x)=0,∴∫(x)=A+α(x)充分性設(shè)f(x)=A+a(x)其中α(x)是當(dāng)x→x時的無窮小AUlimf(x)=lim(A+a(x))=A+lima(x)=A.x→x0x→xx→x0數(shù)學(xué)分析3數(shù)學(xué)分析意義1將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);2給出了函數(shù)f(x)在x附近的近似表達式∫f(x)≈A,誤差為a(x)3無窮小的運算性質(zhì):定理2在同一過程中有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小證設(shè)a及β是當(dāng)x→>∞0時的兩個無窮小VE>0,3N1>0,N2>0,使得數(shù)學(xué)分析4數(shù)學(xué)分析當(dāng)x>N時恒有l(wèi)<;當(dāng)x>N時恒有B<取N=max{N1,N2}當(dāng)x>N時,恒有a±β≤a+22∴α土β→0(x→∞)注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小例如n→Q時,是無窮小,但n個之和為不是無窮小數(shù)學(xué)分析5數(shù)學(xué)分析定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小證設(shè)函數(shù)在U"(x0,81)內(nèi)有界則彐M>0,81>0,使得當(dāng)0<x-x0<8時恒有u≤M又設(shè)α是當(dāng)x→x時的無窮小∴VE>0,382>0,使得當(dāng)0<x-x<82時恒有αk<5M數(shù)學(xué)分析6數(shù)學(xué)分析取δ=mn{81,62},則當(dāng)0<x-x0<8時,恒有u·al=u:al<MM∴當(dāng)x→x時,n·a為無窮小推論1在同一過程中有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小例如當(dāng)x→0時,xsin-,x2arctan都是無窮小數(shù)學(xué)分析7數(shù)學(xué)分析二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大定義2如果對于任意給定的正數(shù)M(不論它多么小),總存在正數(shù)δ(或正數(shù)x),使得對于適合不等式0<x-x0<8(或x>X)的一切x,所對應(yīng)的函數(shù)值∫(x)都滿足不等式|f(x)>M則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時為無窮小,記作limf(x)=∞(或lim∫(x)=∞)x→》x→∞數(shù)學(xué)分析8數(shù)學(xué)分析特殊情形:正無窮大,負無窮大lim∫(x)=+∞(或Iim∫(x)=-∞)x→>x0(x-∞)(x→∞)注意1無窮大是變量不能與很大的數(shù)混淆;2切勿將lmf(x)=認為極限存在x→x03無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大數(shù)學(xué)分析9數(shù)學(xué)分析y=-sIn例如,當(dāng)x→>0時,y=-sin是一個無界變量,但不是無窮大(1)取x0=(k=0,1,2,3,)2k兀+兀y(x0)=2kπ+當(dāng)k充分大時,y(x0)>M無界,(2)取x(k=0,1,2,3,…)Tk充分大時,xk<8,但y(xk)=2resin2k兀=0<M不是無窮大數(shù)學(xué)分析10無窮小量與無窮大量階的比較課件11無窮小量與無窮大量階的比較課件12無窮小量與無窮大量階的比較課件13無窮小量與無窮大量階的比較課件14無窮小量與無窮大量階的比較課件15無窮小量與無窮大量階的比較課件16無窮小量與無窮大量階的比較課件17無窮小量與無窮大量階的比較課件18無窮小量與無窮大量階的比較課件19無窮小量與無窮大量階的比較課件20無窮小量與無窮大量階的比較課件21無窮小量與無窮大量階的比較課件22無窮小量與無窮大量階的比較課件23無窮小量與無窮大量階的比較課件24無窮小量與無窮大量階的比較課件25無窮小量與無窮大量階的比較課件26無窮小量與無窮大量階的比較課件27無窮小量與無窮大量階的比較課件28無窮小量與無窮大量階的比較課件29無窮小量與無窮大量階的比較課件30無窮小量與無窮大量階的比較課件31無窮小量與無窮大量階的比較課件32無窮小量與無窮大量階的比較課件33無窮小量與無窮大量階的比較課件34無窮小量與無窮大量階的比較課件35數(shù)學(xué)分析1定義:極限為零的變量稱為無窮小定義1如果對于任意給定的正數(shù)E(不論它多么小),總存在正數(shù)δ(或正數(shù)X),使得對于適合不等式0<x-x<8(或x>X)的一切x,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式f(x)<e那末稱函數(shù)∫(x)當(dāng)x→>x0(或x→∞)時為無窮小記作limf(x)=0(或limf(x)=0)x→x0x→0例如,liminx=0,∴函數(shù)sinx是當(dāng)x→時的無窮小數(shù)學(xué)分析36數(shù)學(xué)分妮lim函數(shù)是當(dāng)x→∞時的無窮小x→0xlim=0,∴數(shù)列(-1)是當(dāng)n→∞時的無窮小注意1稱函數(shù)為無窮小,必須指明自變量的變化過程;2無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;3零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)數(shù)學(xué)分妮37數(shù)學(xué)分析2無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1limf(x)=A分f(x)=A+a(x)其中α(x)是當(dāng)x→x0時的無窮小證必要性設(shè)limf(x)=A,令a(x)=f(x)-A,x→x0則有l(wèi)ima(x)=0,∴∫(x)=A+α(x)充分性設(shè)f(x)=A+a(x)其中α(x)是當(dāng)x→x時的無窮小AUlimf(x)=lim(A+a(x))=A+lima(x)=A.x→x0x→xx→x0數(shù)學(xué)分析38數(shù)學(xué)分析意義1將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);2給出了函數(shù)f(x)在x附近的近似表達式∫f(x)≈A,誤差為a(x)3無窮小的運算性質(zhì):定理2在同一過程中有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小證設(shè)a及β是當(dāng)x→>∞0時的兩個無窮小VE>0,3N1>0,N2>0,使得數(shù)學(xué)分析39數(shù)學(xué)分析當(dāng)x>N時恒有l(wèi)<;當(dāng)x>N時恒有B<取N=max{N1,N2}當(dāng)x>N時,恒有a±β≤a+22∴α土β→0(x→∞)注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小例如n→Q時,是無窮小,但n個之和為不是無窮小數(shù)學(xué)分析40數(shù)學(xué)分析定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小證設(shè)函數(shù)在U"(x0,81)內(nèi)有界則彐M>0,81>0,使得當(dāng)0<x-x0<8時恒有u≤M又設(shè)α是當(dāng)x→x時的無窮小∴VE>0,382>0,使得當(dāng)0<x-x<82時恒有αk<5M數(shù)學(xué)分析41數(shù)學(xué)分析取δ=mn{81,62},則當(dāng)0<x-x0<8時,恒有u·al=u:al<MM∴當(dāng)x→x時,n·a為無窮小推論1在同一過程中有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小例如當(dāng)x→0時,xsin-,x2arctan都是無窮小數(shù)學(xué)分析42數(shù)學(xué)分析二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大定義2如果對于任意給定的正數(shù)M(不論它多么小),總存在正數(shù)δ(或正數(shù)x),使得對于適合不等式0<x-x0<8(或x>X)的一切x,所對應(yīng)的函數(shù)值∫(x)都滿足不等式|f(x)>M則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時為無窮小,記作limf(x)=∞(或lim∫(x)=∞)x→》x→∞數(shù)學(xué)分析43數(shù)學(xué)分析特殊情形:正無窮大,負無窮大lim∫(x)=+∞(或Iim∫(x)=-∞)x→>x0(x-∞)(x→∞)注意1無窮大是變量不能與很大的數(shù)混淆;2切勿將lmf(x)=認為極限存在x→x03無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大數(shù)學(xué)分析44數(shù)學(xué)分析y=-sIn例如,當(dāng)x→>0時,y=-sin是一個無界變量,但不是無窮大(1)取x0=(k=0,1,2,3,)2k兀+兀y(x0)=2kπ+當(dāng)k充分大時,y(x0)>M無界,(2)取x(k=0,1,2,3,…)Tk充分大時,xk<8,但y(xk)=2resin2k兀=0<M不是無窮大數(shù)學(xué)分析45無窮小量與無窮大量階的比較課件46無窮小量與無窮大量階的比較課件47無窮小量與無窮大量階的比較課件48無窮小量與無窮大量階的比較課件49無窮小量與無窮大量階的比較課件50無窮小量與無窮大量階的比較課件51無窮小量與無窮大量階的比較課件52無窮小量與無窮大量階的比較課件53無窮小量與無窮大量階的比較課件54無窮小量與無窮大量階的比較課件55無窮小量與無窮大量階的比較課件56無窮小量與無窮大量階的比較課件57無窮小量與無窮大量階的比較課件58無窮小量與無窮大量階的比較課件59無